【创新设计】2011届高三数学一轮复习 第4知识块第3讲平面向量的数量积及平面向量应用举例课件 北师大版

1、【考纲下载考纲下载】1. 理解平面向量数量积的含义及其物理意义理解平面向量数量积的含义及其物理意义2了解平面向量的数量积与向量投影的关系了解平面向量的数量积与向量投影的关系3掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算4能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系垂直关系5会用向量方法解决某些简单的平面几何问题会用向量方法解决某些简单的平面几何问题6会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.第第3 3

2、讲讲 平面向量的数量积及平面向量应用举例平面向量的数量积及平面向量应用举例1数量积的概念数量积的概念 (1)定义：已知两个非零向量定义：已知两个非零向量a和和b，它们的夹角为，它们的夹角为，则，则 叫做叫做a与与 b的数量积，记作的数量积，记作ab，即，即ab ； (2)几何意义：数量积几何意义：数量积ab等于等于a的长度与的长度与b在在a方向上的投影方向上的投影|b|cos 的乘积的乘积 【思考思考】 向量的数量积是一个数量，它的符号是怎样确定的向量的数量积是一个数量，它的符号是怎样确定的？ 答案：答案：当当a，b为非零向量时，为非零向量时，ab的符号由夹角的余弦来确定；当的符号由夹角的余弦

3、来确定；当 00；当；当90180时，时，ab0；当；当a与与b至少有一个至少有一个 为零向量或为零向量或90时，时，ab0.|a|b|cos |a|b|cos 2数量积的性质数量积的性质(e是单位向量，是单位向量，a，e) (1)eaae . (2)当当a与与b同向时，同向时，ab ；当；当a与与b反向时，反向时，ab ；特别地，；特别地， aa 或或|a| . (3)ab . . (4)cos . (5)|ab|a|b|. 提示：提示：当当a0，时，时，ab0，但，但ab0时不能得到时不能得到a0或或b0，因为，因为ab时，时， 也有也有ab0.|a|cos|a|b|a|b|a|2ab0.

4、3数量积的运算律数量积的运算律 (1)abba (2)(a)b a(b) (3)(ab)c . 提示：提示：(1)若若a、b、c是实数，则是实数，则abacbc(a0)；但对于向量，就没；但对于向量，就没 有这样的性质，即若向量有这样的性质，即若向量a、b、c满足满足abac(a0)，则不一定有，则不一定有bc， 即等式两边不能同时约去一个向量即等式两边不能同时约去一个向量 (2)数量积运算不适合结合律，即数量积运算不适合结合律，即(ab)ca(bc)，这是由于，这是由于(ab)c表示一表示一个个 与与c共线的向量，共线的向量，a(bc)表示一个与表示一个与a共线的向量，而共线的向量，而a与与

5、c不一定共线，不一定共线， 因此因此(ab)c与与a(bc)不一定相等不一定相等(ab)acbc4数量积的坐标运算数量积的坐标运算 (1) 若若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则，则ab .x2y2x1x2y1y2(4)设设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则，则ab .x1x2y1y20 .1已知已知|a|2，|b|4，ab4，则，则a与与b的夹角为的夹角为() A30 B60 C150 D120解析：解析：又又0，180，120.答案答案：D2若向量若向量a(1,2)，b(1，3)，则向量，则向量a与与b的夹角等于的夹角等于() A45 B60 C120 D135又又0，180，13

6、5.答案：答案：D3两个非零向量两个非零向量a、b互相垂直，给出下列各式：互相垂直，给出下列各式： ab0；abab；|ab|ab|；|a|2|b|2(ab)2；(ab) (ab)0.其中正确的式子有其中正确的式子有() A2个个 B3个个 C4个个 D D5个个解析：解析：ab0，正确，正确，ab与与ab方向不同，错误方向不同，错误|ab|2|a|2|b|2 2ab|a|2|b|2，|ab|2|a|2|b|22ab|a|2|b|2，|ab|ab|.正正确确(ab)2|a|2|b|22ab|a|2|b|2.正确正确当当|a|b|时时(ab)(ab)0不成立错误，故选不成立错误，故选B项项答案：

7、答案：B4(2009江苏卷江苏卷)已知向量已知向量a和向量和向量b的夹角为的夹角为30，|a|2，|b| ，则向量，则向量a和和 向量向量b的数量积的数量积ab_. 解析：解析：ab|a|b|cos 2 cos 303. 答案：答案：3利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：法：1a2aa|a|2或或|a| 已知已知a、b满足满足|ab| |ab|，|a|b|1，求，求|3a2b|.思维点拨：思维点拨：由由|ab| |ab|平方后寻找平方后寻找ab.解：解：由由|ab| |ab|得，得，|ab|23|a

8、b|2，即即(ab)23(ab)2，a22abb23(a22abb2)，8ab2a22b22|a|22|b|24，即即ab ，【例例1】由于两个非零向量由于两个非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，a，b的夹角为的夹角为满足满足0180，所以用所以用【例例2】 已知三个向量已知三个向量a、b、c两两所夹的角都为两两所夹的角都为120，|a|1，|b|2， |c|3，求向量，求向量abc与向量与向量a的夹角的夹角 思维点拨：思维点拨：先求先求(abc)a，再求，再求|abc|.解：解：由已知得由已知得(abc)aa2abac12cos 1203cos 120 ，设向量设向量abc与向量与向

9、量a的夹角为的夹角为，则，则即即150，故向量故向量abc与向量与向量a的夹角为的夹角为150.1.两个向量平行的充要条件：两个向量平行的充要条件：(1)ab|ab|a|b|ab|a|b|或或ab|a|b|.(2)ab且且a0存在实数存在实数，使，使ba.2两个非零向量垂直的充要条件两个非零向量垂直的充要条件两非零向量垂直，则它们的数量积等于两非零向量垂直，则它们的数量积等于0. 【例例3】 已知向量已知向量a(1,2)，b(2,1)，k k，t为正实数，向量为正实数，向量xa(t21)b， yk ka b，问是否存在，问是否存在k k，t使使xy？若存在，求出？若存在，求出k k的取值范的取

10、值范围；围； 若不存在，请说明理由若不存在，请说明理由. 思维点拨：思维点拨：先求先求x、y的坐标，再利用的坐标，再利用xy列方程列方程解：解：xa(t21)b(2t21，t23)，假设存在正实数假设存在正实数k k，t使使xy，整理得整理得tk k(t21)10，则满足上述等式的正实数，则满足上述等式的正实数k k，t不存在，所以不不存在，所以不 存在存在k k，t使使xy. 拓展拓展3：本例中的条件不变，若本例中的条件不变，若xy，求，求k k的最小值的最小值 解：解：a(1,2)，b(2,1)，ab0， 又又xy，t为正实数，为正实数，k k 2，当且仅当，当且仅当t1时，时，k k2，

11、k k的最小值为的最小值为2.用含有三角函数的坐标表示向量，就使得向量与三角函数建立了密切的内在用含有三角函数的坐标表示向量，就使得向量与三角函数建立了密切的内在联系通过向量的坐标运算，将向量条件转化为三角函数关系是解题的第一联系通过向量的坐标运算，将向量条件转化为三角函数关系是解题的第一层内容；根据题目要求，求解余下的三角函数问题是解题的第二层内容利层内容；根据题目要求，求解余下的三角函数问题是解题的第二层内容利用这个分层求解的策略，可将向量与三角函数的综合问题化为两个基本问题用这个分层求解的策略，可将向量与三角函数的综合问题化为两个基本问题来解决来解决【例例4】 已知已知a(cos ，si

12、n )，b(cos ，sin )(0) (1)求证：求证：ab与与ab互相垂直；互相垂直； (2)若若k kab与与a k kb的模相等，求的模相等，求(其中其中k k为非零实数为非零实数)(2)解：解：k kab(k kcos cos ，k ksin sin )，ak kb(cos k kcos ，sin k ksin )，2kcos()2kcos()又又k0，cos()0.而而0， .证明：证明：(1)(ab)(ab)a2b2|a|2|b|2(cos2sin2)(cos2sin2)0，ab与与ab互相垂直互相垂直 变式变式4：(2010广东惠州调研广东惠州调研)已知向量已知向量a(sin

13、，cos )， b( ，1)， 其中其中 . (1)若若ab，求，求sin 和和cos 的值；的值； (2)若若f()(ab)2，求，求f()的值域的值域 即函数即函数f()的值域为的值域为(7,9.【方法规律方法规律】1数量积数量积ab中间的符号中间的符号“”不能省略，也不能用不能省略，也不能用“”来替代来替代2要熟练类似要熟练类似(ab)(satb)sa2(ts)abtb2的运算律的运算律(、s、tR)3求向量模的常用方法：利用公式求向量模的常用方法：利用公式|a|2a2，求模的运算转化为向量的数量积的，求模的运算转化为向量的数量积的运算运算4可以用向量的数量积公式解决有关夹角和垂直问题，

14、但要注意两种公式的灵活可以用向量的数量积公式解决有关夹角和垂直问题，但要注意两种公式的灵活运用运用 5利用向量垂直的充要条件研究几何中线与线垂直的问题，常建立适当的坐标系，利用向量垂直的充要条件研究几何中线与线垂直的问题，常建立适当的坐标系，得到简单的向量坐标，减少运算量，实现了平面几何问题转化为数量的运算得到简单的向量坐标，减少运算量，实现了平面几何问题转化为数量的运算.(12分分)设向量设向量e1，e2，满足，满足|e1|2，|e2|1，e1，e2的夹角为的夹角为60，若向量，若向量2te17e2与向量与向量e1te2的夹角为钝角，求实数的夹角为钝角，求实数t的取值范围的取值范围【阅卷实录阅卷实录】【教师点评教师点评】【规范解答规范解答】 接上面的解，设接上面的解，设2te17e2(e1te2)(0)，其中其中0 向量向量2te17e2与向量与向量e1te2的夹角为的夹角为.实数实数t的的取值范围为：取值范围为：