2011年高考数学总复习 提能拔高限时训练：等差数列与等比数列的综合问题（练习+详细答案）大纲人教版

1、提能拔高限时训练61 等差数列与等比数列的综合问题一、选择题1.等比数列an的公比为q,则“q1”是“对于任意自然数n,都有an+1an”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件解析:当a10时,条件与结论均不能由一方推出另一方.答案:D2.若a,b,c是互不相等的实数,且a,b,c成等差数列,c,a,b成等比数列,则abc等于 ( )A.(-2)14 B.123 C.234 D.(-1)13解析:由已知得由消b,得2a2-ac-c20.abc,c-2a.代入,得,abc(-2)14.答案:A3.互不相等的三个正数x1、x2、x3成等比数列,且点P1

2、(logax1,logby1)、P2(logax2,logby2)、P3(logax3,logby3)三点共线(a0且a1,b0且b1),则y1、y2、y3( )A.成等差数列,但不成等比数列B.成等比数列而不成等差数列C.成等比数列也可能成等差数列D.既不成等比数列又不成等差数列解析:P1、P2、P3三点共线,共线.(logax2-logax1)·(logby3-logby1)-(logax3-logax1)·(logby2-logby1)0,即.x1、x2、x3成等比数列,(0q1,q为公比).logaq0,即.y22y1·y3.y1、y2、y3成等比数列,当

3、y1y2y30时也有y22y1y3.答案:C4.已知-9,a1,a2,-1四个实数成等差数列,-9,b1,b2,b3,-1五个实数成等比数列,则b2(a2-a1)等于( )A.8 B.-8 C.±8 D.解析:公差d×(-1)-(-9),a2-a1d,b22(-1)×(-9)9,又有b2-9·q20,b2-3,从而b2(a2-a1)(-3)×()-8.答案:B5.设等差数列an的公差d不为0,a19d,若ak是a1与a2k的等比中项,则k等于( )A.2 B.4 C.6 D.8解析:由题意得ak2a1·a2k,即9d+(k-1)d29

4、d·9d+(2k-1)d,得k4或k-1(舍去).答案:B6.设Sn是等差数列an的前n项和,已知S636,Sn324,Sn-6144,则n等于( )A.15 B.16 C.17 D.18解析:Sn324,Sn-6144,Sn-Sn-6an-5+an-4+an180.又S6a1+a2+a636,a1+ana2+an-1a6+an-5,6(a1+an)36+180216a1+an36.由,有n18.答案:D7.已知集合Anx|2nx2n+1,且x7m+1,m、nN*,则A6中各元素之和为( )A.792 B.890 C.891 D.990解析:由A6得64x128,则有647m+112

5、8,得9m18,易知A6中有9个元素且构成等差数列,首项为71,第9项为127,从而所求元素之和为.答案:C8.数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,的第1 000项等于( )A.42 B.45 C.48 D.51解析:将数列分段,第1段1个数,第2段2个数,第n段n个数,设a1 000k,则a1 000在第k个数段,由于第k个数段共有k个数,则由题意k应满足1+2+(k-1)1 0001+2+k,解得k45.答案:B9.下列命题中正确的是( )A.若数列an的前n项和是Snn2+2n-1,则an为等差数列B.若数列an的前n项和是Sn3n-c,则c1是an为等比

6、数列的充要条件C.常数列既是等差数列又是等比数列D.等比数列an为递增数列的充要条件是公比q1解析:A项不正确.因为从第二项起成等差数列,而第一项不适合.C项不正确.因为零数列是等差数列而不是等比数列.D项不正确.因为当a10,q1时,数列an是递减的.答案:B10.一套共7册的书计划每两年出一册,若出完全部各册书公元年代之和为13 958,则出齐这套书的年份是( )A.1994 B.1996 C.1998 D.2000解析:设出齐这套书的年份是n,则从出第一套书到出齐这套书的年份成一等差数列an,a1n-12,d2,S713 958,.n2 000.答案:D二、填空题11.数列an是等比数列

7、,下列四个命题:an2、a2n是等比数列;lnan是等差数列;、|an|是等比数列;kan、an+k(k0)是等比数列.正确的命题是_.解析:an必须是正数才有意义;an+k在公比q为1时才成立.答案:12.已知a、b、c成等比数列,如果a、x、b和b、y、c都成等差数列,则_.解析:baq,caq2,.答案:213.已知an是等差数列,a4+a66,其前5项和S510,则其公差d_.解析:由a4+a66,得a53,又,a11.4da5-a12,.答案:14.对于大于或等于2的自然数m的n次幂进行如图方式的“分裂”.仿此,52的“分裂”中最大的数是_,若m3的“分裂”中最小的数是211,则m的

8、值为_.解析:521+3+5+7+9,52的“分裂”中最大的数是9.m3211+(211+2)+211+2(m-1)211m+m(m-1),m2-m-2100,m15或-14(舍去),m15.答案:9 15三、解答题15.数列an中,a12,an+1an+cn(c是常数,n1,2,3,),且a1,a2,a3成公比不为1的等比数列.(1)求c的值;(2)求an的通项公式.解:(1)a12,a22+c,a32+3c,因为a1,a2,a3成等比数列,所以(2+c)22(2+3c),解得c0或c2.当c0时,a1a2a3,不符合题意舍去,故c2.(2)当n2时,由于a2-a1c,a3-a22c,an-

9、an-1(n-1)c,所以an-a11+2+3+(n-1)c.又a12,c2,故an2+n(n-1)n2-n+2(n2,3,).当n1时,上式也成立,所以ann2-n+2(n1,2,).16.(2009河南南阳高三第一学期期末测试,理22）数列an的前n项和为Sn,且Snn2+2n,数列bn中bnN*，b11，bn是an中的第bn-1项（n2).(1)求an的通项公式；（2）证明存在t,使bn+t为等比数列；（3）证明bn+12bn;.解:（1）当n1时，S1a11+23,当n2时，anSn-Sn-1n2+2n-(n-1)2-2(n-1)2n+1,综上，知an2n+1,nN*.(2)证明：bn

10、abn-12bn-1+1,bn+12(bn-1+1).存在常数t1,使得bn+1是以2为首项，2为公比的等比数列.(3)证法一:由(2)知bn2·2n-1,bn2n-1.bn+1-2bn2n+1-1-(2·2n-2)10.bn+12bn.记,则.又bn0,由bn+12bn，知,故.证法二:将bn2n-1代入Tn并利用2n-12n-1(n2),即(n2).当n2时,.当n1时,Tn12.综上,Tn2.教学参考例题 志鸿优化系列丛书【例1】 已知an是等比数列，a12,a318;bn是等差数列，b12,b1+b2+b3+b4a1+a2+a320.(1)求数列bn的通项公式；（2

11、）求数列bn的前n项和Sn的公式；（3）设Pnb1+b4+b7+b3n-2,Qnb10+b12+b14+b2n+8,其中n1,2,试比较Pn与Qn的大小，并证明你的结论.解:(1)设an的公比为q,由a3a1q2,得,q±3.当q-3时,a1+a2+a32-6+181420,这与a1+a2+a320矛盾,故舍去.当q3时,a1+a2+a32+6+182620,故符合题意.设数列bn的公差为d,由b1+b2+b3+b426,得.又b12,解得d3,所以bn3n-1.(2).(3)当n20时,PnQn;当n19时,PnQn;当n18时,PnQn.证明如下:b1,b4,b7,b3n-2组成以3d为公差的等差数列,所以.b10,b12,b14,b2n+8组成以2d为公差的等差数列,b1029,所以.所以.所以对于正整数n,当n20时,PnQn;当n19时,PnQn;当n18时,PnQn.【例2】 在公差为d(d0)的等差数列an和公比为q的等比数列bn中,已知a1b11,a2b2,a8b3.(1)求d、q的值;(