2011年高考数学总复习 提能拔高限时训练：函数性质的综合应用（练习+详细解析）大纲人教版

1、提能拔高限时训练15 函数性质的综合应用一、选择题1.设函数f(x)(xR)是奇函数,f(x+2)f(x)+f(2),则f(5)等于( )A.0 B.1 C. D.5解析:由已知f(-1)-f(1),且f(1)f(-1+2)f(-1)+f(2),所以f(2)f(1)-f(-1)1,f(3)f(2)+f(1),f(5)f(2)+f(3).故选C.答案:C2.设函数f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数,若f(1)1,则a的取值范围是( )A. B.且a1 C.或a-1 D.解析:,f(-1)-f(1)-1,.答案:D3.定义在R上的函数f(x)不是常数函数,且满足f(x-1)f(x+1),f(

2、x+1)f(1-x),则f(x)( )A.是奇函数也是周期函数 B.是偶函数也是周期函数C.是奇函数但不是周期函数 D.是偶函数但不是周期函数解析:f(x+1)f(x-1),f(x+2)f(x).f(x)的最小正周期为2.又f(1+x)f(1-x),f(x)的对称轴为x1.f(-x)f(-x-1+1)f1-(-x-1)f(x+2)f(x),f(x)是偶函数.选B.答案:B4.定义在R上的周期函数f(x),其周期T2,直线x2是它的图象上的一条对称轴,且f(x)在-3,-2上是减函数,如果A、B是锐角三角形的两个内角,则( )A.f(sinA)f(cosB) B.f(cosB)f(sinA) C

3、.f(sinA)f(sinB) D.f(cosB)f(cosA)解析:f(x)的周期T2,且f(x)在-3,-2上是减函数,f(x)在-1,0上是减函数.x2是f(x)图象的一条对称轴,T2,f(x)的图象关于y轴对称.f(x)在0,1上是增函数.A、B是锐角三角形的内角,A+B90°.90°A90°-B0.sinAsin(90°-B)cosB.f(sinA)f(cosB).答案:A5.下面四个结论:偶函数的图象一定与y轴相交;奇函数的图象一定通过原点;偶函数的图象关于y轴对称;既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)0(xR).其中正确命题的个数是(

4、)A.1 B.2 C.3 D.4解析:偶函数的图象关于y轴对称,但不一定与y轴相交,反例:yx-2,yx0等,错误,正确.奇函数的图象关于原点对称,但不一定经过原点,反例:yx-1,错误.若yf(x)既是奇函数又是偶函数,由定义可得f(x)0,但未必xR.(只要定义域关于原点对称就可以)答案:A6.若xR、nN*,定义:x(x+1)(x+2)(x+n-1),例如:(-5)×(-4)×(-3)×(-2)×(-1)-120,则函数的奇偶性为( )A.是偶函数而不是奇函数B.是奇函数而不是偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数解析: x(x

5、-9)(x-8)x(x+8)(x-9)+19-1x2(x2-92)(x2-1).答案:A7.f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数,且f(2)0,在区间(0,6)内f(x)0解的个数的最小值是( )A.2 B.3 C.4 D.5解析:f(2)f(5)0,f(0)f(3)0,f(2)f(-1)-f(1)0,f(1)f(4)0.f(x)0在(0,6)内至少有5个根,x1,2,3,4,5.答案:D8.已知命题p:函数yloga(ax+2a)(a0,a1)的图象必过定点(-1,1);命题q:若函数yf(x-3)的图象关于原点对称,则函数f(x)关于点(3,0)对称.那么( )A.“p且q”为真 B.

6、“p或q”为假 C.p真q假 D.p假q真解析:只需检验当x-1时,ylogaa1,知命题p为真;因yf(x-3)向左平移3个单位得到yf(x),故函数yf(x)的图象关于点(-3,0)对称,所以命题q为假,故选C.答案:C9.已知f(x)是定义在R上的且以2为周期的偶函数,当0x1时,f(x)x2,如果直线yx+a与曲线yf(x)恰有两个交点,则实数a的值是( )A.0 B.2k(kZ)C.2k或(kZ) D.2k或(kZ)解析:用数形结合法.由题意可作出函数的大致图象(如图),满足条件的直线有L1和L2两类,L1这种情况的a0,L2这种情况的.又函数的周期为2,故所求a的值为2k或(kZ)

7、.答案:C10.给出定义:若x(其中m为整数),则m叫做离实数x最近的整数,记作x,即xm.函数f(x)|x-x|(xR).对于函数f(x),现给出如下判断:函数yf(x)是偶函数;函数yf(x)是周期函数;函数yf(x)在区间(,上单调递增;函数yf(x)的图象关于直线(kZ)对称.则判断正确的结论的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4解析:对:当x(,),mZ时,-x(,),xm,-x-m.f(-x)|-x-x|-x+m|x-m|x-x|f(x);当,mZ时,f(x)f(-x),故函数yf(x)是偶函数.对:对任意x(,x+1(,x+1m+1.f(x+1)|x+1-x+1|x+1-

8、m-1|x-m|x-x|f(x).故函数yf(x)是以1为周期的周期函数.对:,f(0)|0-0|0,错误.对:函数yf(x)是偶函数,即f(-x)f(x),又函数yf(x)是以1为周期的周期函数,即f(x+1)f(x),f(x+1)f(-x).故函数yf(x)的图象关于直线(kZ)对称.答案:C二、填空题11.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)x2-2x+1,则f(x)的表达式为_.解析:f(x)是奇函数,f(-0)-f(0).f(0)0.当x0时,-x0,则f(-x)x2+2x+1.f(-x)-f(x),f(x)-x2-2x-1.答案: 12.函数f(x)对于任意实数x满

9、足条件,若f(1)-5,则ff(5)_.解析:由得,所以f(5)f(1)-5,则ff(5)f(-5)f(-1).答案:13.已知函数yf(x)是奇函数,当x0时,f(x)3x-1,设f(x)的反函数是yg(x),则g(-8)_.解析:当x0时,-x0,f(-x)3-x-1.又f(x)是奇函数,f(-x)-f(x),即-f(x)3-x-1.f(x)1-3-x.f-1(-8)g(-8)-log3(1+8)-log332-2.答案:-214.设f(x)是定义在R上的奇函数,且yf(x)的图象关于直线对称,则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)_.解析:yf(x)图象关于直线对称,有f(x

10、)f(1-x).又f(x)是定义在R上的奇函数,f(1)f(0)0,f(2)f(-1)-f(1)0.同理f(3)f(4)f(5)0.答案:0三、解答题15.已知yf(x)满足f(-x)-f(x),它在(0,+)上是增函数,且f(x)0,试问在(-,0)上是增函数还是减函数?证明你的结论.解:F(x)在(-,0)上是减函数.证明如下:设x1、x2是(-,0)上的两个任意实数,且x1x2,则-x1-x20.f(-x)-f(x),且f(x)在(0,+)上是增函数,f(x)0,F(x1)-F(x2).F(x)是(-,0)上的减函数.16.函数f(x)的定义域为D:x|x0,且满足对于任意x1、x2D,

11、有f(x1·x2)f(x1)+f(x2).(1)求f(1);(2)判断f(x)的奇偶性并证明;(3)如果f(4)1,f(3x+1)+f(2x-6)3,且f(x)在(0,+)上是增函数,求x的取值范围.解:(1)令x1x21得f(1)f(1)+f(1),f(1)0.(2)f(x)是偶函数.证明如下:令x1x2-x,得f(x2)f(-x)+f(-x),令x1x2x,得f(x2)f(x)+f(x),f(-x)f(x).f(x)是偶函数.(3)f(4)1,f(16)f(4)+f(4)2,f(64)f(16)+f(4)3.f(3x+1)+f(2x-6)3,f(3x-1)(2x-6)f(64).

12、f(x)在(0,+)上为增函数,f(x)是D上的偶函数,解得或x3或3x5.x的取值范围是x|或x3或3x5.教学参考例题 志鸿优化系列丛书【例1】 定义在实数集中的函数f(x),对任意x,yR,有f(x+y)+f(x-y)2f(x)·f(y),且f(0)0.(1)求证:f(0)1.(2)求证:yf(x)是偶函数.(3)若存在常数c,使,求证:对任意xR,有f(x+c)-f(x)成立.试问函数f(x)是不是周期函数.如果是,找出它的一个周期;如果不是,请说明理由.(1)证明:令xy0,则有2f(0)2f2(0),f(0)0,f(0)1.(2)证明:令x0,则有f(y)+f(-y)2f

13、(0)·f(y)2f(y),f(-y)f(y).f(x)是偶函数.(3)证明:分别用,(c0)替换x,y,有f(x+c)+f(x).f()0,f(x+c)+f(x)0,即f(x+c)-f(x).解:是.由的结论,知f(x+2c)-f(x+c)-f(x)f(x),f(x)是周期函数,2c就是它的一个周期.【例2】 设函数f(x)在(-,+)上满足f(2-x)f(2+x),f(7-x)f(7+x),且在闭区间0,7上只有f(1)f(3)0.(1)试判断函数yf(x)的奇偶性;(2)试求方程f(x)0在闭区间-2 008,2 008上的根的个数,并证明你的结论.解:(1)由f(2-x)f(2+x),得函数yf(x)的对称轴为x2,f(-1)f(5).而f(5)0f(1)f(-1),即f(x)不是偶函数.又f(x)在0,7上只有f(1)f(3)0,f(0)0.从而知函数yf(x)不是奇函数.故函数yf(x)是非奇非偶函数.(