4.1.1-圆的标准方程课件(人教A版必修2)

1、赵州桥，建于隋炀帝大业年间（赵州桥，建于隋炀帝大业年间（595-605595-605年），至今已有年），至今已有14001400年的历史，出自著名匠师李春之手，是今天世界上最年的历史，出自著名匠师李春之手，是今天世界上最古老的单肩石拱桥古老的单肩石拱桥, ,是世界造桥史上的一个创造。是世界造桥史上的一个创造。 我们在前面学过，在平面直角坐标系中，两我们在前面学过，在平面直角坐标系中，两点确定一条直线，一点和倾斜角也能确定一条直点确定一条直线，一点和倾斜角也能确定一条直线线在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？AMrxOy1、什么是圆？、什么是圆？ 如如图，

2、在一个平面内，线段图，在一个平面内，线段CP绕它固定的一个绕它固定的一个端点端点C旋转一周，另一个端点旋转一周，另一个端点P所形成的图形叫做圆所形成的图形叫做圆。2、圆有什么特征呢？、圆有什么特征呢？思考：思考： 在平面直角坐标系中，在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？如何确定一个圆呢？圆心确定圆的位置圆心确定圆的位置半径确定圆的大小半径确定圆的大小(1)圆上各点到定点（圆心圆上各点到定点（圆心)的距的距离都等于定长（半径离都等于定长（半径r)；(2)到定点的距离等于定长的点到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上都在同一个圆上. 当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定当圆心位置与半径大小确

3、定后，圆就唯一确定了了因此一个圆最基本要素是因此一个圆最基本要素是圆心和半径圆心和半径xOyA(a,b)Mr(x, y) 如图，在直角坐标系中，圆心（点）如图，在直角坐标系中，圆心（点）A的位置用的位置用坐标坐标 (a,b) 表示，半径表示，半径r的大小等于圆上任意点的大小等于圆上任意点M(x, y)与圆心与圆心A (a,b) 的距离的距离 符合上述条件的圆的集合是什么？你能用描述法符合上述条件的圆的集合是什么？你能用描述法来表示这个集合吗？来表示这个集合吗？rMAMp|符合上述条件的圆的集合：符合上述条件的圆的集合：xOyA(a,b)Mr(x, y) 圆上任意点圆上任意点M(x, y)与圆心

4、与圆心A (a,b)之间的距离能之间的距离能用什么公式表示？用什么公式表示？rMAMp|rbyax22)()(222)()(rbyax.21221221yyxxPP根据两点间距离公式：根据两点间距离公式：则点则点M、A间的距离为：间的距离为：.22byaxMA即：即： 是否在圆上的点都适合这个方程？是否适合这是否在圆上的点都适合这个方程？是否适合这个方程的坐标的点都在圆上？个方程的坐标的点都在圆上？222)()(rbyax 点点M(x, y)在圆上，由前面讨论可知，点在圆上，由前面讨论可知，点M的坐的坐标适合方程；反之，若点标适合方程；反之，若点M(x, y)的坐标适合方程，的坐标适合方程，这

5、就说明点这就说明点 M与与圆心的距离是圆心的距离是 r ，即点即点M在在圆心为圆心为A (a, b)，半径为半径为r的圆上的圆上 把这个方程称为圆心为把这个方程称为圆心为A(a, b)，半径长为半径长为r 的圆的圆的方程，把它叫做的方程，把它叫做圆的标准方程圆的标准方程. 即即 (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2称为圆心为称为圆心为A(a,b),半径长为半径长为r的的圆的标准方程圆的标准方程问题问题:圆的标准方程有什么特征圆的标准方程有什么特征?（1）有两个变量）有两个变量x,y，形式都是与某个实数差的平方；，形式都是与某个实数差的平方；（2）两个变量的系数都是）两个变量的系数都是1

6、 （3）方程的右边是某个实数的平方，也就是一定为正数。）方程的右边是某个实数的平方，也就是一定为正数。222)()(rbyax 因为圆心是原点因为圆心是原点O(0, 0)，将，将x0，y0和半径和半径 r 带入圆的标准方程：带入圆的标准方程： 圆心在坐标原点圆心在坐标原点，半径长为半径长为r 的圆的方的圆的方程程是什么？是什么？ 得得：222)0()0(ryx 整理得整理得：222ryx 例例1 写出圆心为写出圆心为 ，半径长等于，半径长等于5的圆的方程，的圆的方程，并判断点并判断点 ， 是否在这个圆上是否在这个圆上)3, 2( A)7, 5(1M) 1, 5(2M 解：解：圆心是圆心是 ，半

7、径长等于，半径长等于5的圆的标准的圆的标准方程是：方程是：)3, 2( A25) 3()2(22yx 把把 的坐标代入方程的坐标代入方程 左右两边相等，点左右两边相等，点 的坐标适合圆的方程，所以点的坐标适合圆的方程，所以点 在这个圆上；在这个圆上；)7, 5(1M25) 3()2(22yx1M1M) 1, 5(2M2M2M 把点把点 的坐标代入此方程，左右两边的坐标代入此方程，左右两边不相等，点不相等，点 的坐标不适合圆的方程，所以点的坐标不适合圆的方程，所以点 不不在这个圆上在这个圆上 怎样判断点怎样判断点 在圆在圆 内呢？内呢？还是在圆外呢？还是在圆外呢？),(000yxM222)()(

8、rbyaxAxyoM1M2M3 从上题知道，判断一个点在不在某个圆上，只需从上题知道，判断一个点在不在某个圆上，只需将这个点的坐标带入这个圆的方程，如果能使圆的将这个点的坐标带入这个圆的方程，如果能使圆的方程成立，则在这个圆上，反之如果不成立则不在方程成立，则在这个圆上，反之如果不成立则不在这个圆上这个圆上 怎样判断点怎样判断点 在圆在圆 内呢？内呢？还是在圆外呢？还是在圆外呢？),(000yxM222)()(rbyaxAxyoM1M2M3 可以看到：点在圆外可以看到：点在圆外点到圆心的距离大于半径点到圆心的距离大于半径 r ； 点在圆内点在圆内点到圆心的距离小于半径点到圆心的距离小于半径 r

9、 例例2 2 的三个顶点的坐标分别的三个顶点的坐标分别A A(5,1), (5,1), B B(7,(7,3)3)，C C(2, (2, 8)8)，求它的外接圆的方程求它的外接圆的方程ABC 分析分析：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆形有唯一的外接圆 解法一解法一：设所求圆的方程是：设所求圆的方程是 （1）222)()(rbyax 因为因为A(5,1), B(7,3)，C(2, 8) 都在圆上，所以它们的坐都在圆上，所以它们的坐标都满足方程（标都满足方程（1）于是）于是222222222)8()2()3()7()1 ()

10、5(rbarbarba所以，所以， 的外接圆的方程的外接圆的方程 ABC25) 3()2(22yx解此方程组，得：解此方程组，得： 分析分析：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆形有唯一的外接圆 解解： 例例2 2 的三个顶点的坐标分别的三个顶点的坐标分别A A(5,1), (5,1), B B(7,(7,3)3)，C C(2, (2, 8)8)，求它的外接圆的方程求它的外接圆的方程ABC待定系数法待定系数法.25, -3, 22rba解法二：12108642-2-4-6-8-10-12-14-16-15-10-551015

11、20OEDCBAl2l1因为A(5,1)和B(7,-3)，所以线段AB的中点的坐标为(6,-1)，直线AB的斜率1 3257ABk 因此线段AB的垂直平分线 l1 的方程是：1162yx 即：280 xy2225315rOA 所以，圆心为C的圆的标准方程是：222325xy因为B(7,-3)和C(2,-8) ，所以线段BC的中点的坐标为(4.5,-5.5)，直线BC的斜率38172BCk 因此线段BC的垂直平分线 l2 的方程是：5.514.5yx 即：10 xy ABC的外接圆的圆心O的坐标是方程组 的解28010 xyxy 解得：23xy 即 O(2,-3)圆O的半径长：练习练习:.),3

12、 , 1 () 1 , 1(轴上的圆的方程圆心在和求过点xDC 解解:.)(222ryax为依题意设所求圆的方程解方程组解方程组:2221)1(ra2223)1 (ra,10, 22ra得.10)2(22yx故所求圆的方程为 例例3 .已知圆心为已知圆心为C的圆经过点的圆经过点A(1, 1)和和B(2, 2)，且且圆心圆心C在直线上在直线上l：x y+1=0，求圆心为求圆心为C的圆的的圆的标准方程标准方程 分析分析：已知道确定一个圆只需要确定圆心的位置与半径大：已知道确定一个圆只需要确定圆心的位置与半径大小圆心为小圆心为C的圆经过点的圆经过点A(1, 1)和和B(2, 2)，由于圆心由于圆心C

13、与与A, B两点的距离相等，所以圆心两点的距离相等，所以圆心C在线段在线段AB的垂直平分线的垂直平分线 上又上又圆心圆心C在直线在直线l 上，因此圆心上，因此圆心C是直线是直线l与直线与直线 的交点，半径的交点，半径长等于长等于|CA|或或|CB|ll 解解：因为因为A(1, 1)和和B(2, 2)，所以线段所以线段AB的中点的中点D的坐标的坐标),21,23(直线直线AB的斜率的斜率:31212ABk因此线段因此线段AB的垂直平分线的垂直平分线 的方程是的方程是l)23(3121xy即即033 yx圆心圆心C的坐标是方程组的坐标是方程组01033yxyx的解的解 例例3 已知圆心为已知圆心为

14、C的圆经过点的圆经过点A(1, 1)和和B(2, 2)，且圆心且圆心C在直线上在直线上l：x y+1=0，求圆心为求圆心为C的圆的标的圆的标准方程准方程 解解：所以圆心所以圆心C的坐标是的坐标是)2, 3(圆心为圆心为C的圆的半径长的圆的半径长5) 21 () 31 (|22 ACr所以，圆心为所以，圆心为C的圆的标准方程是的圆的标准方程是25)2()3(22yx解此方程组，得解此方程组，得. 2, 3yx例4、求以c(1,3）为圆心，并和直线3x - 4y - 6 =0相切的圆的方程。222)3() 1(:ryx设所求圆的方程为的距离到直线圆心0643)3 , 1 ( yxC, 343|63

15、413|22rXC(1、3)3x-4y-6=0Y0解解:9)3() 1( :22yx故所求圆的方程为练习练习:求圆心在（求圆心在（-1, 2），与），与y轴相切的圆的方程轴相切的圆的方程所求圆的方程为:(x+1)2+(y-2)2=1解解:222)2() 1(:ryx设所求圆的方程为, 1,故圆的半径为轴相切因圆与y202C(2,2)C(-2,-2)XY-2-2Y=X练习:求圆心在直线y=x上,同时和两坐标轴相切,半径为2的圆的方程.解解:(x-2)2+(y-2)2=4 (x+2)2+(y+2)2=4依题意得所求圆的方程为XY0-1C(-1,2) 例5求经过圆上一点已知圆的方程是,222ryx.

16、),(00的切线方程yxMXY0),(00yxM解一解一:)(,00 xxkyy设切线方程为如图,00 xykOMOM的斜率为半径00,yxkOM所以垂直于圆的切线因)(0000 xxyxyy切线方程为202000,yxyyxx整理得,22020ryx200ryyxx所求圆的切线方程为例5求经过圆上一点已知圆的方程是,222ryx.),(00的切线方程yxMXY0),(00yxM解二解二:)(,00 xxkyy设切线方程为如图)(0000 xxyxyy切线方程为200ryyxx所求圆的切线方程为.000rkxyykxO的距离为到切线则圆心1|00|200kkxykr22020ryx202020

17、220220002022yxykxkyykxxk00yxk练习练习:.)6, 2(10) 1 (22的切线方程上一点写出过圆Myx解解:.1062yx所求切线方程为20000222),(ryyxxyxMryx的切线方程为上点过圆.1, 1)2(22的切线方程斜率为求圆 yx解解:. bxy设所求切线方程为12|b则2b.2 xy解解:.2 kxy设所求切线方程为1122k则, 1k.2xy的切线方程轴上的截距为在求圆2, 1)3(22yyx (1) 圆心为圆心为C(a,b)，半径为，半径为r 的圆的标准方程为的圆的标准方程为 (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2 当圆心在原点时当圆心在

18、原点时 ，圆的标准方，圆的标准方程为程为 x2 + y2 = r2 (2)推导圆的标准方程的方法与步推导圆的标准方程的方法与步骤？骤？(3)点与圆点与圆的位置关系？的位置关系？ (4) 如何求圆的标准方程如何求圆的标准方程? 由于圆的标准方程中含由于圆的标准方程中含有有 a , b , r 三个参数，因此必须具备三个参数，因此必须具备三个独立的条件三个独立的条件才能确定圆；对于由已知条件容易求得圆心坐标和圆才能确定圆；对于由已知条件容易求得圆心坐标和圆的半径或需利用圆心坐标列方程的问题一般采用圆的的半径或需利用圆心坐标列方程的问题一般采用圆的标准方程。标准方程。 (5)如何利用圆的标准方程解决实际问题如何利用圆的标准方程解决实际问题?课堂小结：课堂小结：( (x x0 0-a-a) )2 2+(+(y y0 0-b)-b)2 2= =r r2 20 0,y,y0 0)在圆上)在圆上( (x x0 0-a-a) )2 2+(+(y y0 0-b)-b)2 2 r r2 20 0,y,y0 0)在圆外)在圆外( (x x0 0-a-a) )2 2+(+(y y0 0-b)-b)2 2 r r2 20 0,y,y0 0)在圆内)在圆内5、某施工队要建一座圆拱桥，其跨度为某施工队要建一座圆拱桥，其跨度为20m， 拱高拱高为为4m，求，求该圆拱桥所在