解直角三角形专项复习资料配套练习

1、考点二十六：解直角三角形聚焦考点温习理解锐角三角函数的定义在 RtABC中，Z C= 90° ,AB= c, BO a, AO b正弦：./A的对边asinA 仝、由一斜边c余弦：A /A的邻边bc0sA而、由斜边c余切：/A的对边atanA=/A勺邻边=b、特殊角的三角函数值asin acos atan a30°12出2在 345°立2返2160°金212V3、解直角三角形 解直角三角形的常用关系在 RtABC中，Z C= 90° ,则：(1)三边关系：a2+b2 = c2;(2)两锐角关系：/ A+ /B= 90° ;(3)边与角

2、关系：sinA = cosB= a , cosA= sinB = b , tanA=a; ccb(4)sin 2A+ cos2A= 1四、解直角三角形的应用常用知识1 .仰角和俯角：仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角2 .坡度和坡角坡度：坡面的铅直.高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作“，i =tan a坡度越大，a角越大，坡面 3 .方向角（或方位角）指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90。的水平角叫做方向角W匕北偏东30度北偏西70度 瓷T东

3、西南方向南偏东50度名师点睛典例分类考点典例一、锐角三角函数的定义【例1】4ABC中，a, b, c分别是/ A, / B, /C的对边，如果a2+b2= c2,那么下列J结论正确的是（）A. csin A= aB. bcosB= cC. atan A= bD. ctan B= b【答案】A.【解析】试题分析：由于 a2+b2=c2,根据勾股定理的逆定理得到 ABC是直角三角形，且/ C=90 ,再根据锐角三角 函数的定义即可得到正确选项.试题解析：: a2+b2=c2,. ABC是直角三角形，且/ C=90° .A> sinA= 则MnA=a.故本选项正确； c4 * *B*

4、 cosB= 则zsBc=a.故本选项错误？ cC、tanA'，贝 = b.故本选项错误? b tan AD、tanB= ?则atanB=b.故本选项错误. a故选A.考点：勾股定理的逆定理；锐角三角函数的定义.【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，锐角三角函数的定义，解决本题的关键是分清锐角三角函数 的关系.【举一反三】（2015.山东日照，第10题，3分）如图，在直角ABAD中，延长斜边BD至U点C,使DC= BD,连接AC,若tanB=5,23则tan/CAD的值（）V3 V3 11A. B.C. ； D. 1【答案】D【解析】试题分析：解：如图，延长 AD,过点C作C吐AD垂

5、足为E,. tanB=-,即旦!=苫,3 AB 3设 AD=5x 则 AB=3x, /CDEW BDA /CEDW BAD.CDH ABDA，克里上AB AD BD 2.CE=x, DEj,2 2X.AE2 x .tan /CAD&J.AE 5考点：解直角三角形.考点典例二、锐角三角函数的计算【例 2】在 ABC中，如果/ A / B满足 |tanA-1|+(cosB-1) 2=0,那么/ C=2【答案】75°【解析】试题分析：先根据中，8组求出NA及NB的度数，进而可得出结论.试题解析：丁ABC 中，taiiA-l - (cosB- ) =0.t n A= 1 , cos3

6、=一，/A=45" , ZB=60° ，AZC=75e考点：特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方.【点睛】利用特殊角的三角函数值进行数的运算，往往与绝对值、乘方、开方、二次根式相结合.此题考 查了特殊角的三角形函数值及绝对值、偶次方的非负性，属于基础题，关键是熟记一些特殊角的三角形函 数值，也要注意运用三角形的内角和定理.【举一反三】在 ABC中，若 |cosA- - |+ (1-tanB ) 2=0,则 / C 的度数是()2A. 45° B . 60° C. 75° D, 105°【答案】【解析】试题分析

7、：根据非负数的性质可得出cosA及tanB的值，继而可得出 A和B的度数，根据三角形的内角和定理可得出/ C的度数.试题解析：由题意，得 cosA= 1 , tanB=1 ,2/ A=60° , / B=45° ,./C=180° -/A-/B=180° -60 ° -45° =75° .故选：C.考点：特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；三角形内角和定理.考点典例三、解直角三角形1【例3】在 ABC中，AD是BC边上的图，/ C=45 , sinB= , AD=1.求BC的长.【答案】2J2+1

8、.【解析】试题分析:；先由三角形的高的定义得出,再解R1AADB,得出ABj 根据勾股定理 求出BD=20 ,解RL6ADC,得出IXA1 j然后根据BOBADC即可求解，, 3 1试题解析:在比AABD中，,二sinB= 二一，又AD=1,BgAB'AI凡二 BI> d-f =20 .在 RlZkADC 中，=/OlV , .CI>=AI>1.二 BC=EADC=2 正 7 .考点：解直角三角形；勾股定理.【点睛】本题考查了三角形的高的定义，勾股定理，解直角三角形，难度中等，分别解RtAD* RtAADC得出BD=2,2, DC=1是解题的关键.将三角形转化为直角三

9、角形时，注意尽量不要破坏所给条件.【举一反三】 如图，在 ABC中，/ A=30° , / B=45° , AC=2j3 ,求 AB的长.【答案】3+ .1 3【解析】试题分析：过 C作CD!AB于D,求出/ BCD=/ B,推出BD=CD根据含30度角的直角三角形求出 CD 根据 勾股定理求出AD,相加即可求出答案.试题解析：过 C作CDL AB于D, / ADCW BDC=90 , / B=45° , / BCDW B=45° ,CD=BD . /A=30° , AC=2i/3,.CD=, 3 ,BD=CD= 3 ,由勾股定理得：AD= .

10、 AC2 - CD2 =3,AB=AD+BD=3+ 3答：AB的长是3+J3考点：解直角三角形；等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理.考点典例四、解直角三角形的实际运用【例4】小明在热气球 A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC,并测得B, C两点的俯角分别为 45。和35° ,已知大桥 BC与地面在同一水平面上，其长度为100m。请求出热气球离地面的高度。（结果保留整数，参考数据：sin35【答案】233m【解析】10,试题分析：作AD，CB延长线于点 D,根据RtACD / ABD的正切值得出 CDAD;根据RtABD中/ ABD7的正切值得出 BD=AD根据 BC=

11、CD- DB=100求出AD的长度.试题解析：如图，作 AD±CB延长线于点DD在 RtMBD中，/ ABD=45由题 BC =CD -DB =100答：热气球到地面的距离约为233米AD710 一由题知：/ ACD=35、/ ABD=45 在 Rt ACD43, Z ACD=35 tan 35 =定一 所以 CD =-0 ADCD 107ADtan 45 0=1所以 BD = ADBD .10 一所以一AD -AD =100 解得 AD 定233m 7考点：三角函数的应用【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是理解仰角、俯角的定义，要注意根据题意构 造直角三角形，并解

12、直角三角形；注意掌握数形结合思想与方程思想的应用.【举一反三】（2015.山东烟台，第22题，9分）（本题满分9分）如图1,滨海广场装有可利用风能、太阳能发电的风光互补环保路灯，灯杆顶端装有风力发电机，中间装有太阳能板，下端装有路灯。该系统工作过程中某一时刻的截面图如图2,已知太阳能板的支架BC垂直于灯杆OF,路灯顶端E距离地面6米，DE=1.8米，/CDE =60° ,且根据我市的地理位置设定太阳能板AB的倾斜角为43°, AB=1.5米，CD=1米。为保证长为1米的风力发电机叶片无障碍旋转，叶片与太阳能板顶端A的最近距离不得少于 0.5米，求灯杆 OF至少要多高？（利用

13、科学计算器可求得sin 430 ft： 0.6820 ,cos43° 也 0.7314, tan 43° % 0.9325 ,结果保留两位小数）【答案】7.70【解析】试题分析：解直角处C求出线段初的长度，再解直角DEG求出线段DG的长，进而求出DF的长，即可 求出电线杆的长为DFKID+AC+1. 5.试题解析：在RtAACB中，AC=cosZCAB - AB的倾斜角为43Q ,5.iC=0. 7314X1. 51.0971,过点 E 作 EG_L0F,又/CDE80".：.DG= g¥/CDEDE= cg60* Xi. S=0, 5X1, S=0.

14、（米.DF=6-0.9=5.1 （米）,'QFDFyD+AC+L 5=5.1+1+1. 0971+1. 5=7, 69717. 7。1米）答：火T杆 OF至少要7.70米.考点：解直角三角形课时作业能力提升、选择题1.（2015乐山）如图，已知A.ABC的三个顶点均在格点上，则 cosA的值为（2.332,5【答案】D.【解析】试题分析：过 B点作BD±AC,如图，由勾股定理得,AB= . 12 32j7T0, AD=722 +22 =22 , cosA= = 2拆 故选。AB .105考点：1.锐角三角函数的定义；2.勾股定理；3.勾股定理的逆定理；4.网格型.2. （20

15、15 辽宁大连）如图，在 ABC 中，/ C=90° , AC=2 点 D 在 BC 上，/ ADC=2 B, AD=J5 ,则 BC的长为（AA. 3 3-1 B. 3+1 C. . 5-1 D. .5+1【答案】D【解析】试题分析：在 AADC 中,NC=AT , AC=2,所I认 CD=-AC' = Ji厨= 1,因为Nadc=2/&所以/e二/bat1所以 即二知二退，所以 肌二6+1,故选 人考点：解直角三角形.3. (2015 黑龙江哈尔滨)如图：某飞机在空中A处探测到它的正下方地平面上目标C,此时飞机飞行高度AC= 1200m,从飞机上看地平面指挥台B的

16、俯角a =30©,则飞机A与指挥台B的距离为()(A) 1200m(B) 1200.2 m (C)12003 m (D)2400m【答案】D【解析】 AC1试题分析：根据平行线的性质可得：/ B=Z ”=30。，根据RtABC的三角函数可得：sin Z B=AC =-,则AB 2AB=2AC=2X 1200=2400(m).考点：三角函数的应用.4.(2015 湖北衡阳，12题，3分)如图，为了测得电视塔的高度AB,在D处用高为1米的测角仪CD测得电视塔顶端 A的仰角为30。，再向电视塔方向前进 100米到达F处，又测得电视塔顶端 A的).仰角为60° ,则这个电视塔的高度

17、 AB (单位：米)为(A. 50 3【答案】CAB. 51 C . 506+1D. 101【解析】试题分析:依题意得N.aCG=30= /AEG吨一 NA5G是AC三的外角,4（7 J3J3可得 CE=AEN100m,在 RtAAZG 中，sin600 =-=? AG=sin60OjAE=100x = 5。小，AE22根据题意BG=EF-CD=1米，所以电视塔的高度AB=aG-BG=M#+】米，考点：解直角三角形的应用5. （2015.山东泰安，第14题）（3分）如图，轮船从 B处以每小时60海里的速度沿南偏东 20°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东50。方向上，轮船航行

18、40分钟到达C处，在C处观测灯塔 A位于北偏东10。方向上，则 C处与灯塔A的距离是（）个北一户东A. 20海里 B . 40海里 C双3海里3诞海里3【答案】D.【解析】试题分析：如图，作AML BC于M由题意得，/DBC20。则 / AB(= / ABD- / C BD=50 - 20° =30 , BD/0_40 一 一 .,/ DBA50 , BG60X r二40 海里，/ NCA10 ,60CN, / BCN/ DBC20 , / AC二/ ACN /BCN10 +20 =30 ,ACB/ABC30 ,，ABAC_ 1 一 一. AML BC于 MCl=BC=20 海里，在

19、直角 ACM2中，. / AMC90 , / ACM30 ,AGCMcos._ ACM20 40、. 3、332（海里）.故选D.考点：解直角三角形的应用 -方向角问题.3C6. （3分）（2015?聊城，第10题）湖南路大桥于今年 5月1日竣工,为徒骇河景区增添了一道亮丽的风景线.某校数学兴趣小组用测量仪器测量该大桥的桥塔高度，在距桥塔AB底部50米的C处，测得桥塔顶部 A的仰角为41.5（如图）.已知测量仪器 CD的高度为1米，则桥塔AB的高度约为（A.34 米B.38米试题分析：借助仰角构造直角三角形并解直角三角形，过D作D吐AB于E,在RtADE中利用三角函数即可求得 AE AE=DE

20、- tan41 , 5° =50X0.88=44 米，贝U AB=AE+BE=44+1=4张.故选CDC5眯考点：解直角三角形的应用 -仰角俯角问题、填空题7.（2015.天津市，第2题，3分）cos45邛勺值等于（）（A） -（B）巫（C）立222【答案】B.【解析】试题分析：根据特殊角的三角函数值即可得考点：特殊角的三角函数值 .cos45B.8. (2015 内江)在 ABC43, / B=30 , AB=12, AG=6,则 BG=【答案】673 .K解析】试题分析30 ",=12,是直角三角形，,5C=,曲 -AC：* =65故答案为：6/3考点：1.含30度角的

21、直角三角形；2.勾股定理.9.（2015 黑龙江哈尔滨）如图，点_， ， 4D 在 A ABC的边 BC 上，/ C+/ BAD=/ DAQ tan / BAD,AD=765 ,CD=13则线段 AC的长为【答案】4,13【解析】D试题分析：过点 A作A已BC,然后根据/BAD的正切值以及角度之间的关系和AR CD的长度大小求出 AC的长度.考点：三角函数的应用考点：1.解直角三角形；2.等腰三角形的性质；3.勾股定理.图310. (2015 黑龙江省黑河市、齐齐哈尔市、大兴安岭)BD为等月ABC的月AC上的高，BD=1, tan / ABD J3 ,则CD的长为【答案】2+J3或2J3或13

22、【解析】 试题分析：分三种情况：如图1,4为钝角，心肛 在兄封£?中瓦E才甑/题，物J5, 说2,，心北二52 +退，如图2,/为锐角/褥/小在用板中盼13tan/邓注出二心出，语2一FB2,：工氏2-忑 如图3, 降叫 二房必然，J.ADCD,在兄中，初=1, tan/ABk正* ：,AD= f勺2 4忑或2 一4或.综上所述，S的长为：2 +行或2/或立，故答案为:11. （2015 辽宁大连）如图，从一个建筑物的A处测得对面楼 BC的顶部B的仰角为32° ,底部C的俯角 为45° ,观测点与楼的水平距离 AD为31cm,则楼BC的高度约为 m（结果取整数）.

23、（参考数据：sin320.5 , cos32 ° = 0.8 , tan32 °0.6）B【答案】50【解析】试题分析：BC=BD+CD=ADtan32 ° +ADX tan45 ° =31X0.6+31 X 1=49.6 =50,故答案为 50m.考点：解直角三角形的应用.12. （2015 湖北黄冈，20题，分）（7分）如图，在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的A处朝正南方向撤退，红方在公路上的B处沿南偏西60。方向前进实施拦截.红方行驶1000米到达C处后，因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西45。方向前进了相同的距离， 刚好在D

24、处成功拦截蓝方.求 拦截点D处到公路的距离（结果不取近似值）.【答案】500+ 500衣.【解析】试题分析：过B作AB的垂线，过C作AB的平行线，两线交于点E;过C作AB的垂线，过D作ABW平行线， 两线交于点F,则/E=/F=90° ,拦截点D处到公路的距离DAfBECF.解Rt BCE求出 BLbG1 X 1000=500 米；解 RtCDF 求出。k走。“500&米，贝U DA=BECF= （ 500 + 500& ）米.222试题解析：如图，过 B作AB的垂线，过C作AB的平行线，两线交于点 E;过C作AB的垂线，过D作AB的平行线，两线交于点F,则/ E=/

25、F=90。，拦截点D处到公路的距离 DAzB&CF.在RtABCE, : / E=90。，1 1/CB心60 , ./ BC=30 ,BE=_BC=_ X 1000=500 米；在 RtCDF 中，. / F=90 , / DCE45 ,2 2CD=AB=1000 米，CF=Y2CD=500j2米，DA=BE+CF= （ 500+50052 ）米，故拦截点 D处到公路的距离 2是(500 500,2 )米.考点：解直角三角形的应用 -方向角问题.13.（2015.宁夏，第13题，3分）如图，港口 A在观测站O的正东方.向，OA=4,某船从港口 A出发，沿北偏 东15。方向航行一段距离后

26、到达B处，此时从观测站 O处测得该船位于北偏东 60。的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为.【答案】2 2.【解析】试题分析：如图，过点 A作AD, OB于D.先解RtAAOtD得出ADOA=2再由 ABD等腰直角三角形,2得出 BD=AD=2 则 AB=/2AD=272.考点：解直角三角形的应用（方向角问题）；特殊角的三角函数值 三、解答题14. （2015 湖北鄂州，21题，9分）如图，某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆的高度.已知小亮站着 测量，眼睛与地面的距离（AB是1.7米，看旗杆顶部E的仰角为30。；小敏蹲着测量，眼睛与地面的距离（C。是0.7米，看旗杆顶部E的仰角为45&#

27、176; .两人相距5米且位于旗杆同侧（点B D、F在同一直线上）（1） （6分）求小敏到旗杆的距离DF.（结果保留根号）（2） （3分）求旗杆EF的高度.（结果保留整数.参考数据：J2/.4,彩电1.7）【答案】（1） 4+ 3< 3米.（2）10米.【解析】试题分析：过点 A作AMML EF于M,过点C作CNL EF于N,设CN=x，则EN=x, AM=5+x,可求EM在Rt AAEM 中利用三角函数关系可求出 DF的长.（2）由EM+FMO"求出EF的长.试题解析：（1）过点A作AML EF于点M,过点C作CN! EF于点N.设CN= x在 Rt AECN中，. / EC

28、N=45EN=CNxEM=x+0.7- 1.7=x 1BD=5 . AM=BF=5x在 Rt A AEM43,EAM=30EM _ ,3AM 一 33= （x 5）3解得x = 4 3 3即 DF= 4+ 3 43（米）（2） EF= x +0.7=4+ 343+0.7=4+3X1.7+0.7=9.8 =10（米） 考点：解直角三角形的应用 -仰角俯角问题.15. . （2015 湖北荆门，21题，分）如图，在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的A处朝正南方向撤退，红方在公路上的B处沿南偏西60。方向前进实施拦截，红方行驶1000米到达C处后，因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏

29、西45。方向前进了相同的距离，刚好在D处成功拦截蓝方，求拦截点D处到公路的距离（结果不取近似值）.【答案】500 500.2 .【解析】试题分析：过B作AB的垂线，过C作AB的平行线，两线交于点E;过C作AB的垂线，过D作AB的平行线， 两线交于点F,则/E=/F=90° ,拦截点D处到公路的距离DafBE+CF.解Rt BCE求出 BE=1BC=1 x 1000=500 米；解 RtCDF 求出 CF=CD=500y2米，贝U DA=BE+CF= （500 + 50072）米.222试题解析E如图，过B作VE的垂线，过C作上8的平行线，两线交于点勺过。作."的垂线，过D作

30、 月5的平行线，两线交于点巳则4>/吟9。1拦截点9处到公路的B自离以二彩+CF,在欧中, 丁/a90° , ZCBZ=60° ,L X 1000=5。米） 在式rACD尸中,，ZF=90a ,27 ZDCF=45° , CZ>=1000 米，*立 CD= 50短米,：.D且=RE+CF= （500+50072 ）米,故拦截 7-点。处到公路的距离是（500+5000 ）米.考点：解直角三角形的应用 -方向角问题.16. （2015 辽宁丹东）23.如图，线段 AB, CD表示甲、乙两幢.居民楼的高，两楼间的距离BD是60米.某人站在A处测得C点的俯角为37° , D点的俯角为48°