二次根式知识点及例题

1、第十六章 二次根式知识点一、二次根式1.定义：一般地，我们把形如的式子叫做二次根式，称为二次根号，二次根号下的叫做被开方数注意：(1)二次根号的定义是从形式上界定的，即必须含有二次根号“” (2)二次根式的被开方数可以是一个数字，也可以是一个代数式，但必须满足被开方数大于等于0 (3)根指数是2，这里的2可以省略不写 (4)形如的式子也是二次根式，它表示b与的乘积例题：1.下列各式中，一定是二次根式的是 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)2.下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A. B.（x为任意实数） C.（m为任意实数） D.练习：1.下列各式中，一定是二次根式的是

2、(1) (2) (3) (4) (5) (6)2.下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A. B.（x为任意实数） C.（m为任意实数） D.知识点二、二次根式有意义的条件1.从总体上描述：在二次根式中，当时，有意义，当时，无意义2.从具体的情况总结，如下：(1)单个二次根式如有意义的条件：；(2)多个二次根式相加+有意义的条件：；(3)二次根式作为分式的分母如有意义的条件：；(4)二次根式作为分式的分子如有意义的条件：例题：1.当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义(1) (2) (3) (4) (5) (6)2.函数自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3.若有意义，则

3、x的取值范围是_练习：1.若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2.下列四个式子中，x的取值范围为的是（ ） A. B. C. D. 3.有意义的x 的取值范围是_知识点三、二次根式的性质（重点，难点）性质1：式子具有双重非负性，它即表示二次根式，又表示非负数的算式平方根，具体描述为：(1)是非负数，的最小值是0；(2)的被开方数是非负数注意：几个非负数的和为0时，这几个非负数必须同时为0例题：1.(2015.外国语期末卷)若，则=_2.若，则=_3.若，则=_4.若，求的值_5.若，求x，y的值练习：1. (2015.铜盘中学期末卷)若x，y为实数，且,则

4、的值为_2.若，则=_3.已知,b为实数，且，求，b的值4.若，求的值性质2：，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身注意：不能忽略这一限制条件，导致类似的错误性质3：，即当一个数为非负数时，它的平方的算术平方根等于它本身，记为；当一个数为非负数时，它的平方的算术平方根等于它的相反数，记为注意：不要认为一定是非负数，从而出现如的错误与的区别与联系：表达式区别意义不同表示非负数的算式平方根的平方表示实数的算术平方根取值范围不同为任意实数运算结果不同运算顺序不同表示非负数先开平方再作平方表示对实数先平方再开平方运算联系与均为非负数，且当时，例题：1.计算：(1) (2) (3) (4) 2.计算

5、：(1) (2) (3) (4)3.当m<3时，_4.设三角形的三边长为，试化简：练习：1.计算：(1) (2) (3) (4) 2.若，则等于（ ） A. B. C. D. 3.已知实数在数轴上的位置如图所示，化简：4.已知为实数，求代数式的值知识点四、二次根式的乘除1. 二次根式的乘法法则：提示：(1)在设计二次根式运算时没有特备说明，所有字母都表示正数；(2)可以是数，也可以是代数式，但必须是非负的推广：2. 的逆运用：（）例题：1. 计算：(1) (2) (3) (4) (5) (6) 2. 化简：(1) (2) 3. (1)比较与的大小_， (2)比较的大小_练习：1.计算：

6、(1) (2) (3) (4) 2. 化简：(1) (2) 3.比较的大小_，(2)比较的大小_3.分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。有理化因式：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个二次根式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下：单项二次根式有理化因式两项二次根式有理化因式分母有理化的方法与步骤：（1） 现将分子、分母化成最简二次根式；（2） 将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；（3） 最后结果必须化成最简二次根式或有理式。例题：1. 化简为（ ） A. B. C. D. 2.下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D

7、. 3.已知a=，b=，则a与b的大小关系式是a b.5.将下列各式分母有理化.(1) (2) (3) （4） （5） （6）（mn）练习：1.已知a=，b=，则a与b的关系是（ ） A. a=b B. ab=1 C. a=-b D. ab=-12. 满足不等式<x<的整数共有（ ）个 A. 4 B. 5 C. 6 D. 73.的倒数是 .4. 设，则、c从小到大的顺序是 .5.将下列各式分母有理化.（1） （2） （3） （4）4.二次根式的除法法则：提示：乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式例题：1.

8、 计算：(1) (2) (3)练习：1. 计算：(1) (2) (3) 4.最简二次根式：(1)被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；(2)被开方数中不含分母，小数；(3)分母中不含根式例题： 1.下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2.(2014.华伦单元卷)把根号外的因式移动到根号内的结果是（ ） A. B. C. D. 3.是整数，则正整数的最小值是（ ） A.4 B. 5 C. 6 D. 7练习：1.下列根式中不是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D.2.下列各式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3.化简二次根式的结果是（ ）

9、 A. B. C. D. 4.已知a<b，则化简的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5.是整数，则正整数的最小值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 66.李明的作业本上有四道题：(1)，(2)， (4)，(4)，如果你是他的数学老师，请找出他做错的题是（ ） A. (1) B. (2) C. (3) D. (4)知识点五、二次根式的加减1. 加减法：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并注意：同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式，例如和3。一个二次根式不能叫同类二次根式，至少两个二

10、次根式才有可能称为同类二次根式。 要判断几个根式是不是同类二次根式，须先化成最简二次根式后，再判断。例题：1.下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2.填空 (1)5+2= (2)+ (3)= (4) = 3.计算(1) (2) (3) (4) 练习：1. (2014.外国语学校期中卷)下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. (2015.平南县月考卷)若，则x的值为（ ） A. 4 B. 2 C. 2 D.43.计算(1) (2) (3) (4) 2.混合运算：有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算

11、例题： 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2.下列计算正确的有（ ）， A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个3.正方形的对角线长是cm，则正方形的周长是 ，面积是 4.计算(1) (2) (3) (4) 5.若3，m，5三角形的三边，化简6.化简求值：，其中x=5练习：1.下列化简或计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2.已知，则代数式的值是（ ） A. 24 B. C. D. 3. 已知矩形的周长为()cm，一边长为()cm，矩形的另一边长为 ，面积为 4. 计算：(1) (2) (3) (4) (5) (6) 5.先将÷化简，然后自选一个合适

12、的x值，代入化简后的式子求值6.(2014.华南实验中学期末卷)先化简，再求值：，其中+1，-1知识点六、二次根式强化1.非负数和为0：0 + 0 = 01.若，则 2.已知0，求的值3.若三角形的三边、满足，若第三边为奇数，求的值4. 已知x，y为实数，且满足，求的值2.： 得：1.当x_时，式子有意义2.已知，则2xy的值为（ ） A. -15 B. 15 C. D. 3.(2014.华伦单元卷)若，则x-y的值为（ ） A. -1 B. 1 C. 2 D. 34.若实数a,b,c满足，试求的值3.绝对值结合数轴化简：1.(2014黔南州)实数a在数轴上的位置如图，化简= 2.(2015春

13、姜堰市期末)已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：3.若，试化简：4.若 ，则1.如果成立，那么x的取值范围是（ ） A. x > 0 B. x0 C. x < 0 D. x02.，则x的取值范围是（ ） A. x2 B. x0 C. x x2 D. x25.整体化简：先判断根号有意义的取值范围，再看整体正负值不变1.(2010祁门县校级模拟)使式子成立的条件是（ ） A. a5 B. a5 C. 0a5 D. 0a52.把中根号外的移入根号内得（ ）. A. B. C. D.6.：配方成平方和为0的形式1.已知，求的值2.已知，求的值7.乘法公式的灵活运用1.若，则xy

14、的值为（ ） A. B. C. D. 2.如果，那么的值等于（ ） A. B. C. D. 3.(2010祁门县校级模拟)计算= 4.已知，求的值.，求的值5.已知，求的值6.已知，求的值8.整数和小数1.星期天，张明的妈妈和张明做了一个小游戏，张明的妈妈说：“你现在学习了二次根式，若x表示的整数部分，y表示它的小数部分，我这个纸包里的钱是元，你猜一猜这纸包里的钱是多少？若猜对了，这纸包里的钱全给你”请问他妈妈包里的钱是 2.x、y分别为8的整数部分和小数部分，则 3.(2011凉山州)已知a、b为有理数，m、n分别表示的整数部分和小数部分，且，则2a+b= 9.其他1.(2014.英才单元卷)当a= 时，代数式取值最小，最小值为 2.(2015永州模拟)设，那么的整数部分是 3.(2014.十九中期末卷)仿照式子的化简方法：，则式子化简的结果是 4.若，则 5.若，求：的值6.观察下列分母有理化的计算：，从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算：+1）= 7.(2013黔西南州)阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如。善于思考的小明进行了以下探索：设（其中a、b、m、n均为整数），则有。，。这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的