高数同济六版D-总复习ppt课件

1、目录 上页 下页 返回 结束 总复习总复习一、一、 重积分计算的基本方法重积分计算的基本方法 二、重积分计算的基本技巧二、重积分计算的基本技巧 三、重积分的应用三、重积分的应用 第十章 重积分的 计算 及应用 目录 上页 下页 返回 结束 二重积分的定义1. 二重积分的定义Dyxfd),(iiinif),(lim10)dd(dyx2. 二重积分的性质 (与定积分性质相似)3. 曲顶柱体体积的计算二次积分法目录 上页 下页 返回 结束 二重积分计算的基本方法二重积分计算的基本方法(1) 二重积分化为累次积分的方法直角坐标系情形直角坐标系情形 : 若积分区域为)()(,),(21xyyxybxay

2、xD那么)()(21d),(dd),(xyxybaDyyxfxyxf 若积分区域为)()(,),(21yxxyxdycyxD那么)()(21d),(dd),(yxyxdcDxyxfyyxf)(1xyy )(2xyy xybaDOxy)(1yxx Ddc)(2yxx O目录 上页 下页 返回 结束 )()(,),(21rrDDDrrfyxf)sin,cos(d),(那么)()(21d)sin,cos(drrrrf(2) 一般换元公式),(),(vuyyvuxxDyx),(,),(Dvu0),(),(vuyxJ且那么DDvuvuyvuxfyxfdd ),(),(d),(J极坐标系情形极坐标系情形:

3、 若积分区域为若积分区域为ddrr在变换下D)(1r)(2rOx目录 上页 下页 返回 结束 (3) 计算步骤及注意事项计算步骤及注意事项 画出积分域 选择坐标系 确定积分序 写出积分限 计算要简便域边界应尽量多为坐标线被积函数关于坐标变量易分离积分域分块要少累次积好算为妙图示法不等式( 先积一条线, 后扫积分域 )充分利用对称性应用换元公式目录 上页 下页 返回 结束 定义定义. 设设,),( , ),(zyxzyxfkkknkkvf),(lim10存在,),(zyxfvzyxfd),(称为体积元素, vd.dddzyx若对 作任意分割: 任意取点任意取点则称此极限为函数在 上的三重积分.在

4、直角坐标系下常写作三重积分的性质与二重积分相似.性质性质: 例如 ),2,1(nkvk,),(kkkkv以下“乘中值定理中值定理.),(zyxf设在有界闭域 上连续,则存在,),(使得vzyxfd),(Vf),(V 为 的体积, 积和式” 极限记作记作目录 上页 下页 返回 结束 1.1.利用直角坐标系计算三重积分利用直角坐标系计算三重积分方法方法1. “先一后二先一后二”方法方法2. “先二后一先二后一”方法方法3. “三次积分三次积分”),(),(21d),(ddyxzyxzDzzyxfyxvzyxfd),(zDbayxzyxfzdd),(d),(),()()(2121d),(ddyxzy

5、xzxyxybazzyxfyx具体计算时应根据vzyxfd),(vzyxfd),(三种方法(包含12种形式)各有特点,被积函数及积分域的特点灵活选择. 目录 上页 下页 返回 结束 2. 利用柱坐标计算三重积分利用柱坐标计算三重积分 ,),(3RzyxM设,代替用极坐标将yx),z（则就称为点M 的柱坐标.z200sinyzz cosx直角坐标与柱面坐标的关系:在柱面坐标系中体积元素为zvdddd因而zyxzyxfddd),(),(zFzddd其中),sin,cos(),(zfzF目录 上页 下页 返回 结束 适用范围适用范围:1) 积分域表面用柱面坐标表示时方程简单 ;2) 被积函数用柱面坐

6、标表示时变量互相分离.目录 上页 下页 返回 结束 3. 利用球坐标计算三重积分利用球坐标计算三重积分 ,),(3RzyxM设),(z其柱坐标为就称为点M 的球坐标.直角坐标与球面坐标的关系,zOMzr),(r则0200rcossinrx sinsinry cosrz 坐标面分别为常数r球面常数半平面常数锥面, rOM 令),(rMsinrcosrz MxyzO目录 上页 下页 返回 结束 rddrdd如下图, 在球面坐标系中体积元素为dddsind2rrv 因此有zyxzyxfddd),(),(rF其中)cos,sinsin,cossin(),(rrrfrF适用范围适用范围:1) 积分域表面

7、用球面坐标表示时方程简单;2) 被积函数用球面坐标表示时变量互相分离.dddsin2rrxyzO目录 上页 下页 返回 结束 重积分计算的基本技巧重积分计算的基本技巧分块积分法利用对称性1. 交换积分顺序的方法2. 利用对称性或质心公式简化计算3. 消去被积函数绝对值符号*5. 利用重积分换元公式4. 利用扩展积分域进行计算 目录 上页 下页 返回 结束 三、重积分的应用三、重积分的应用1. 几何方面面积 ( 平面域或曲面域 ) , 体积 , 形心质量, 转动惯量, 质心, 引力 证明某些结论等 2. 物理方面3. 其它方面目录 上页 下页 返回 结束 1、立体体积、立体体积 曲顶柱体的顶为连

8、续曲面),(yxfz 则其体积为DyxyxfVdd),(,),(Dyx 占有空间有界域 的立体的体积为zyxVddd目录 上页 下页 返回 结束 2、曲面的面积、曲面的面积设光滑曲面DyxyxfzS),( , ),(:yxyzxzADdd)()(122则面积 A为若光滑曲面方程为zyzxyxAdd)()(122,),( , ),(zyDzyzygx则有zyDxzxyzyAdd)()(122若光滑曲面方程为 ,),( , ),(xzDxzxzhy则有xzD目录 上页 下页 返回 结束 若光滑曲面方程为隐式,0),(zyxF那么yxzyzxDyxFFyzFFxz),(,AyxDzzyxFFFF22

9、2,0zF且yxdd目录 上页 下页 返回 结束 3、物体的质心、物体的质心zyxzyxzyxzyxxxddd),(ddd),(zyxzyxzyxzyxyyddd),(ddd),(zyxzyxzyxzyxzzddd),(ddd),(yxyxyxyxxxDDdd),(dd),(yxyxyxyxyyDDdd),(dd),(MMyMMx目录 上页 下页 返回 结束 ,),(常数时当zyx则得形心坐标：,dddVzyxxx,dddVzyxyyVzyxzzddd的体积为zyxVddd,常数时,ddAyxxxDAyxyyDdd( A 为D 的面积)得D 的形心坐标:目录 上页 下页 返回 结束 4、物体的

10、转动惯量、物体的转动惯量设物体占有空间区域 , 有连续分布的密度函数. ),(zyx因此物体 对 z 轴 的转动惯量:zyxzyxyxIzddd),()(22zyxzyxIxddd),( zyxzyxIyddd),( zyxzyxIOddd),( )(22zy )(22zx )(222zyx对 x 轴的转动惯量对 y 轴的转动惯量对原点的转动惯量目录 上页 下页 返回 结束 如果物体是平面薄片,面密度为Dyxyx),(),(DxyxyxIdd),( DOyxyxIdd),( 则转动惯量的表达式是二重积分.xDyO2y2x)(22yx DyyxyxIdd),( 目录 上页 下页 返回 结束 五、物体的引力五、物体的引力设物体占有空间区域 ,，连续),(zyx物体对位于点P0(x0, y0, z0)处的单位质量质点的引力为其密度函数),(zyxFFFF vrxxzyxGFxd)( ),(30vryyzyxGFyd)( ),(30vrzzzyxGFzd)( ),(30引力分量为 其中: 222000()()() ,rxxyyzz G