第二章不随时间改变的电磁场ppt课件

1、第二章 不随时间改动的电磁场1、静电场和静磁场2、用分别变量法求解拉普拉斯方程3、电象法4、电荷体系在外场中的能量2.1 静电场和静磁场0tBEffJtDJH0 ,BDfJf和f为自在电荷和传导电流DE00BJHfHHnEEn )( , 0)(1212 0)( ,)(1212BBnDDnf边值关系一、电势0LLdE电场对电荷作的功与途径无关，只与起点和终点的位置有关21)()(12PPLdEPP电场对电荷作正功，电势下降。电场强度的梯度等于电势的负梯度E只需势的差值才有物理意义，假设电荷分布于有限区域，通常选取无穷远处的电势为零。PLdEP)(VrVdrxxE30)(41)(假设电荷延续分布V

2、rVdxx)(41)(0二、势的方程及边值关系/2泊松方程 为自在电荷密度为自在电荷密度0)(12EEn21在界面上，电势延续在分界面上，电势的边值条件nn1122fDDn)(12n为界面上由介质l指向介质2的法线，为界面的自在电荷面密度导体的静电条件及导体外表的边值关系(1)导体内部不带电，电荷只能分布于导体外表上 (2)导体内部电场为零 (3)导体外表上电场必沿法线方向，因此导体外表为等势面， 导体外表的电势处处相等三、独一性定理设区域V内给定自在电荷分布(x)，在V内的边境S上给定1电势 或2电势的法导游数 ,那么V 内的电势独一地确定。SSn导体外表的边值关系 常量常量n例1：求均匀电

3、场E0的电势第55页例2：两块接地的无限大导体板相互平行，在两板间区域内分布着自在电荷axx2cos)(0求导体板间的电场分布和板上感应电荷面密度解：直角坐标系中的泊松方程为2222222zyx而与y和z无关，)( ,2cos022axaaxx边境条件0axaxaxa2cos2002因此因此xeaxaE2sin200电场强度为002axaxax左板感应电荷面密度右板感应电荷面密度002)(axaxax 自在电荷与感应电荷符号相反例3：无限长圆柱导体，半径为a，单位长度荷电为，求导体柱外的电势和电场。2222221)(1zrrrrr解：在柱坐标系中在球坐标系中22222222sin1)(sins

4、in1)(1rrrrrr)( , 0)(12arrrrr导体柱外的泊松方程边境条件为： (1)在导体外表电荷密度arra02(2)选择电势参考点。在此题中，导体柱无限长，电荷分布在无限空间，不能选无限远处电势为零，可选择在某一个柱面上 r=R0R0a为零，即)( , 000aRRr21lnCrC方程的解为最后求得最后求得rR00ln2rerE02例4：在介电常数为的液面上浮着一半径为a的带电导体球，电量为Q。导体一半浸入液体中，一半在空气中介电常数0(见图)。求电势、电场和导体外表电荷分布。解：以球心为原点选取球坐标，极轴垂直液面向上。设液体中和空气中的电势分别为1和2 ，在两个区域中有)2/

5、 ,( , 012ar)2/0 ,( , 022ar边境条件是：QdSrdSrarar下半球上半球220120边值关系为2/22/1342/202/1由于轴对称性，电势与方位角无关。又由于导体外表等势，所以在上、下两个半球，都与无关。由此推测1、2都只与r有关。设rBrA21 ,这个解满足边境条件2及边值关系4，利用边值关系3，有BA 根据边境条件1，得)(20QA所以rQ)(20213021)(2rrQEE电位移矢量D为3011)(2rrQED300202)(2rrQED电场强度为E上、下半球上电荷面密度)( ,)(202011下半球aQDar)( ,)(2020022上半球aQDar请参阅

6、课本中第62页的例题2.2 用分别变量法求解拉普拉斯方程02假设自在电荷只出如今一些导体的外表上，在空间中没有其他自在电荷分布，那么选择这些导体外表作为区域V的边境，那么在V内部自在电荷密度 = 0，因此泊松方程化为比较简单的拉普拉斯Laplace方程假设求解的问题中具有对称轴，取此轴为极轴，那么电势不依赖于方位角，在球坐标系中拉氏方程的通解为nnnnnnPRbRa)(cos1)(cosnP 为勒让德函数，an和bn待定常数，由边境条件确定。cos)(cos , 1)(cos10PP例1 一个内径和外径分别为R2和R3的导体球壳，带电荷Q，同心地包围着一个半径为Rl的导体球(RlR2)使这个导

7、体球接地，求空间各点的电势和这个导体球的感应电荷P64例 介电常数为的介质球置于均匀外电场E0中，求电势。 设球半径为R0，球外为真空，这问题具有抽对称性，对称轴为经过球心沿外电场E0方向的轴线，取此轴线为极轴。解：极化电荷只存在介质球的外表，在球内和球外的两个区域没有自在电荷，故电势满足拉氏方程。nnnnnnPRbRa)(cos11球外：nnnnnnPRdRc)(cos12球内：1在无穷远处， ，那么0EE )(coscos1001RPERE所以) 1( 0 ,01naEan2R=0, 2为有限值，因此0nd3在介质球面上，R=R0RR21021 ,代入1、 2的方程中nnnnnnnnPRc

8、PRbPRE)cos()cos()(cos010100nnnnnnnnPRncPRbnPE)cos()cos() 1()(cos1002010比较P1的系数，可得0120100RcRbRE1030102cRbE由此求得000130000123 ,2EcREb比较其他Pn项的系数，可得) 1( , 0ncbnncos2cos23000001RREREcos230002RE最后电象法的根本思绪是： 利用点电荷电场的特性，用区域以外假想的点电荷替代导体外表感应电荷分布或介质界面的电荷分布对区域内电场的影响，同时保证边境条件得到满足。这样，区域内真实的点电荷与区域外假想的点电荷在所研讨区域内产生的总电

9、场就是所求的电场。2.3 电 象 法例: 设在一无限大接地导体平面上方，与平面相距为d处，有一点电荷q，求平面以上空间内的电势分布及导面子上感应电荷密度。电势满足的边境条件000zz0, 0, d点电荷q和0, 0, -d点电荷-q，相距2d，在空间产生的电势为2222220114dzyxdzyxq导面子上感应电荷密度为2/322200)(2dyxqdnz例2 如图，半径为a的接地导体球外有一点电荷q，其与导体球心相距l(la)，求导体外真空中的电势和导体球上的面电荷分布。 解：以导体球心为原点建立球坐标，极轴经过点电荷q。边境条件是0 , 0ar设象电荷q在极轴上，距原点la，同时撤掉导体球，q与原电荷q在空间任一点p(r,)产生的电势为cos2cos2412 2220rllrqrllrq要求在ra的球面上满足边境条件：0 cos2cos2412 2220allaqallaqar)cos2()cos2(222222allaqallaq上式要求对恣意 都成立，那么)()(222222laqlaqlqlq22有物理意义的解是qlaqlal ,2这样求出导体外恣意一点的电势cos21cos21422220rlarlarllrq 导体球面上感应电荷分布为：2/322220cos24laalaalqr