【矩阵正定的若干判定方法探究4000字（论文）】

１前言在数学中，矩阵理论是其中的起到重要作用的核心理论之一，也是至关重要的一个基本概念，不仅代数学研究以其为主要对象展开了探究，在实际应用中也充当着重要工具的角色，它贯穿于线性代数的各个部分.在数学中，作为重要分支之一，矩阵理论不单单是基础学科之一，而且还是使用价值极大、应用极广的一种数学矩阵理论。并且由于矩阵理论在现代在几何学、物理学、概率论及最最新的优化矩阵理论等诸多热门学科中也都具有广泛的研究应用而且一直都认为是重要的热门研究课题.正定矩阵作为科学理论研究的一项重要的理论工具，在数学、自然科学、工程技术以及社会经济管理等领域中都有着很大的贡献，掌握好矩阵理论一直都是我们学好线性代数必不可少的基础条件.正定二次型在二次型理论中也一直占有很重要的基础地位，本文先是从二次型中的提出的有定性理论出发，得出矩阵了具有有定性的结论，而后对正定矩阵进行了定义。而后本文以正定矩阵为中心，对部分重要性质及其相关定理进行了证明。最后则对正定矩阵的证明过程及其各式各样的判定方法进行了论述。1.第一章预备知识1.1正定矩阵的定义定义1REF_Ref8459\r\h[2]假定全部都是实常数，存在个实变量，那么与之相关的二次齐次多项式函数，就叫做元实二次型．定义2REF_Ref8459\r\h[2]如果二次型中全部都是平方项，那么就叫做标准形，也就是．定义3REF_Ref8459\r\h[2]在二次型的标准形中，如果系数的取值只有，那么这个标准形就被叫做二次型的规范形．定义4任取一组存在非零值的实数，假使满足,那么实二次型就被叫做正定的；假使满足，那么就被叫做负定的；假使满足，那么就被叫做半正定的；假使满足，那么就被叫做半负定的；假使二次型不是半正定的，同时也不是半负定的，这时就被叫做不定的．定义5在实数域上，如果存在一个元二次型为正定二次型，那么就叫做正定矩阵；如果是负定二次型，那么就叫做负定矩阵；如果是半正定二次型，那么就叫做半正定矩阵；如果是半负定二次型，那么就叫做半负定矩阵。且有，．1.2正定矩阵的性质性质1如果是正定矩阵，那么行列式比0大．证明假定是正定矩阵．因为与单位矩阵合同，因而存在可逆矩阵使．对等式左右两侧求取行列式，这时就会有．性质2如果是一个正定矩阵，那么的全部对角元都是比0大的．证明假定，对任取，都会满足，且有，．令，代入到上式，这时有，可知，故而，，这时结论就得到了证明．性质3REF_Ref10167\r\h[7]如果是正定矩阵，则，是正定矩阵，其中．证明由是正定矩阵，可以得出的特征值，则的特征值，因此是正定矩阵．这样就可以推知的特征值，因此同样为正定矩阵．性质4在是正定矩阵的情况下，和均为正定矩阵，这里的代表的是的逆矩阵，代表的是的伴随矩阵．2.正定矩阵的判别方法2.1定义法对于阶实对称矩阵，任取一个维数为的实非零向量，均满足．此时就可以称之为正定矩阵，用来表示．该定义可以用于对是不是正定矩阵进行证明，利用该定义需对下述两点进行证明：(1)为实对称矩阵．(2)对于任取的一个非零向量，均有．定理1假定是正定矩阵，为实矩阵，并且用来表示的转置矩阵，那么是正定矩阵是以的秩为充要条件的．证明先对必要性进行证明假定是正定矩阵，那么对于任取的一个维非零列向量，有，于是，因此对于元齐次线性方程组来说，除了零解之外就没有别的解，所以的秩．再对充分性进行证明由于，所以是一个实对称矩阵.如果，那么对于齐次线性方程组来说，除了零解之外就没有别的解，所以对于任取实维非零列向量，有．又因为正定，因而就而言，满足，所以在的情况下，满足，所以是一个正定矩阵.例1假定是实矩阵，而且是列满秩的，也就是，试证为一个正定矩阵．证明第一步，由于，可以推知，为一个实对称矩阵．第二步，考虑到，那么对于齐次线性方程组来说，除了零解之外就没有别的解．所以，任取一个维列向量，一定会有，这里可以假设，那么为一组不同时等于0的实数，所以，对于任取的一个维列向量，有二次型，也就是说，二次型是正定的，因而结论得证．例2假定是矩阵，，试证：在的情况下，为一个正定矩阵．证明考虑到，所以是阶实对称矩阵，任取一个维实向量，可以使得．考虑到，，那么必定会有，而且由于，所以有，根据定义能够得出是正定矩阵．2.2标准形法（合同变换法）对于正定二次型而言，其规范形用来表示，但是对于规范形来说，其矩阵是一个单位阵，因而实对称矩阵只有在和合同的情况下才为正定矩阵。定理2如果一个矩阵为正定矩阵，那么其合同矩阵也为正定矩阵．证明假定为一个阶正定矩阵，为一个阶实对称矩阵，而且和合同，根据等价条件可知，和单位阵也是合同的。考虑到和是合同的，这时可得出和单位阵也是合同的结论，也就是为正定矩阵．例3证明：若是正定矩阵，则也是正定矩阵。证明因为是正定矩阵，所以是实对称矩阵，可逆，且即也是实对称矩阵。例4通过该法对分块矩阵为一个正定矩阵进行证明，这里的分别为阶正定矩阵．证明考虑到都是正定矩阵，那么就会有可逆矩阵与，使得下式成立，假定，那么有，而且为阶可逆矩阵．，故而，与单位矩阵合同，所以为正定矩阵．，2.3顺序主子式法存在一个矩阵，如果所有顺序主子式都比0大，那么是一个正定矩阵．利用该法对正定矩阵进行判定时，首要条件下极易求出各阶顺序主子式。而后以所有顺序主子式都比0大为条件，得出矩阵是不是正定矩阵的结论。然而，该法只可以在对部分较为简单的、所有顺序主子式都便于计算的矩阵中适用。定理3REF_Ref13080\r\h[1]对于一个实对称矩阵来说，其为正定矩阵是以其顺序主子式都比0大为充要条件的。证先对必要性进行证明即实对称矩阵正定，那么就可以推知，二次型(,,…,)==为正定的，针对所有大于1小于n的k,使得（,,…，）=，这时需对为k元正定二次型进行证明，对一组不同时取零值的实数，，…，，有（，，…，）=（，，…，，0，…,0）>0,因此，是一个k元正定二次型.由充要条件2得的矩阵行列式>0,（k=1,2,…,n）.再对充分性进行证明此时需要用到数学归纳法在n等于1的情况下，f()=,根据>0可知，f()正定．假设n-1元二次型也满足上式，这时对n元二次型进行了证明.令=，=，则=.根据的顺序主子式都比0大不难推出，的顺序主子式都是比零大的，根据假设可知，为一个正定矩阵，这时存在n-1阶可逆阵，使得=,令=,则==.令=,则==.令=,=-,则有=.等式两边求得行列式，可知=,根据>0可以推出>0.考虑到=.所以，和单矩阵是合同的.是正定矩阵．例5存在一个二次型，试对其矩阵是不是正定矩阵作出判定.解对于题中二次型来说，其矩阵可以表示为，那么各阶顺序主子式就可以求解得出，也就是：都是比0大的，因而是正定矩阵．例6二次型在等于何值的情况下为正定二次型。解对于二次型而言，其矩阵如下为让二次型正定，那么的各阶顺序主子式都是要比0大的，也就是下式成立：可知，时，二次型为正定二次型。2.4特征值法定理4REF_Ref13080\r\h[1]实对称矩阵是正定是以二次型f(,,…)=中的系数矩阵对应的都是比0大的特征值为充要条件的.证明对于实对称矩阵来看，对角化处理可以转换成这里的，即为的特征值，那么对于二次型而言，其标准形可以表示为：++…+,由于是非退化实线性变换，那么正定性不会发生改变，根据(,,…，)=++…+.正定得>0()．例7证明：二次型为正定二次型。证设的矩阵为，则由，可知的特征值，由于特征值全为正数，所以是正定矩阵，从而为正定二次型。例8设A是一个阶数为n的实对称矩阵，而且有.证明：A为正定矩阵.证设是A的任一特征值，对应特征向量为，即，代入已知等式,有，因为，故符合下式可知，由于A是一个实对称矩阵，其特征值一定为实数，故只有，即A的全部特征值就是，这就结论得证.结论本文围绕着正定矩阵展开，以其定义、性质及其多种判别方法当作理论判据，基于正定矩阵满足的定理及其具有的性质，对四种判别法进行了介绍，包括顺序主子式法、定义法、特征值法以及标准型法，利用这些判别方法来判定一个矩阵是否属于正定矩阵，且简单地举了一些实例来阐述实矩阵正定性的判定.正定矩阵涉及到了物理、概率论与统计、计量经济学等各个领域.总之，研究正定矩阵的性质和判别方法对于自然科学的发展，理论学科的进步有着不可替代的重要作用.参考文献王萼芳，石生明《高等代数》（第三版）[M].北京：高等教育出版社．何亚丽．《线性代数》[M]．科学出版社．陈大新．《矩阵理论》[M]．上海：上海交通大学出版社．刘畅．正定矩阵性质的推广［J］．沈阳师范大学学报，2009,27(3),268~271．岳贵鑫．正定矩阵及其应用[J］．辽宁省交通高等专科学院学报，2008,10(5),31~33．黄云美．正定矩阵的性质及其应用［J］．烟台职业学院学报，2011,17(3):85~88．张丹，刘庆平．正定矩阵的性质及相关问题［J］．中南大