函数的微分(-54)ppt课件

1、主要内容主要内容微分的定义；微分的定义；微分的几何意义；微分的几何意义；求函数的微分；求函数的微分；微分在近似计算中的运用微分在近似计算中的运用.一、问题的提出一、问题的提出实例实例: :正方形金属薄片受热后面积的改动量正方形金属薄片受热后面积的改动量. .200Ax 0 x0 x,00 xxx 变到变到设边长由设边长由2( )A xx 002200()()()AA xxA xxxx .)(220 xxx )1()2(,;xA 的的线线性性函函数数 且且为为的的主主要要部部分分,.xx 的的高高阶阶无无穷穷小小 当当很很小小时时可可忽忽略略:)1(:)2(x x 2)( x xx 0 xx 0

2、220()lim0()().xxxxx 面积函数面积函数再如再如, ,30,.yxxxy 设设函函数数在在点点处处的的改改变变量量为为时时 求求函函数数的的改改变变量量3300()yxxx .)()(3332020 xxxxx )1()2(,很很小小时时当当 x 02023()3.xyxxxx ),()2(xox 的高阶无穷小的高阶无穷小是是既容易计算又是较好的近似值既容易计算又是较好的近似值2320000330()()limlim() xxxxxxxxx 2303()()()xxxx 00(),()xx )1(问题问题: :这个线性函数这个线性函数( (改动量的主要部分改动量的主要部分) )

3、能否一切函数的改动量都有可微的条能否一切函数的改动量都有可微的条件件? ?它是什么微分的定义它是什么微分的定义? ?如何求如何求? ?二、微分的定义是什么？二、微分的定义是什么？定义定义000000000( ),(),( ),( ),()()(,.)xxxxyf xxxxAxyf xxyf xxxdydf xyf xxf xAdyAxoxAxx 设设函函数数在在某某区区间间内内有有定定义义及及在在这这区区间间内内如如果果成成立立 其其中中 是是与与无无关关的的常常数数则则称称函函数数在在点点可可微微 并并且且称称为为函函数数在在点点相相应应于于自自变变量量增增量量的的微微分分记记作作或或即即.

4、dyy 微微分分叫叫做做函函数数增增量量的的线线性性主主部部( (微分的本质微分的本质) )定义的几点阐明：定义的几点阐明：;)1(的线性函数的线性函数是自变量的改变量是自变量的改变量 xdy ;)()2(高高阶阶无无穷穷小小是是比比xxodyy ;,0)3(是是等等价价无无穷穷小小与与时时当当ydyA dyy 1( )()AxxoxAxAx ).0(1 x;)(,)4(0有关有关和和但与但与无关的常数无关的常数是与是与xxfxA ).(,)5(线性主部线性主部很小时很小时当当dyyx (定理定理)三、可微的条件三、可微的条件( (什么样的函数可微？什么样的函数可微？) )000( )()(

5、).f xxAfxf xx 函函数数在在点点可可微微, ,且且的的充充要要条条件件是是函函数数在在点点处处可可导导定理定理0000()( )()()xxdyfxxf xxyfxxx 函函数数在在点点可可导导证证(1) 必要性必要性,)(0可可微微在在点点xxf),( xoxAy ,)(xxoAxy 000()()limlimxxyoxfxAxx .A ).(,)(00 xfAxxf 且且可导可导在点在点即函数即函数(2) 充分性充分性0(),yfxx 即即,)(0可导可导在点在点函数函数xxf),(lim00 xfxyx 0lim0,x 且且0(),yfxxx 从从而而),0(0 x0()()

6、,yfxxox 00limlim0,xxxx 00( ),().f xxfxA 函函数数在在点点可可微微且且( ),( ),( ).yf xxdydf xdyfxx 函函数数在在任任意意点点 的的微微分分 称称为为函函数数的的微微分分 记记作作或或即即例例1 1解解, ,.yxdy 求求( )1,dyxxxx ,yx 由由于于故故得得.dydxx 什么意思？什么意思？自变量的增量就是自变量的微分：自变量的增量就是自变量的微分：函数的微分可以写成函数的微分可以写成: :该例阐明该例阐明: :xdx ( )dyfx dx ( )( )df xfx dx 或或 ( ),( ).dydyfx dxfx

7、dx当当时时 有有即函数即函数 f (x) 在点在点 x 处的导数等于函数的处的导数等于函数的微分微分 d y 与自变量的微分与自变量的微分 d x 的商的商, 故导数故导数也也可称为微商可称为微商.例例2 2解解213yxxx 求求函函数数在在和和处处的的微微分分。2()dyxx 2x x2, x 1xdy 12xx x 6. x 3xdy 32xx x 例例3 3解解32,0.02.yxxx 求求函函数数当当时时的的微微分分xxdy )(3.32xx 2220.020.023xxxxdyxx 0.24 ,.xxdxdxx 通通常常把把自自变变量量 的的增增量量称称为为自自变变量量的的微微分

8、分 记记作作即即(.( )fxxdyfx dx ).(xfdxdy .dydx 即即函函数数的的微微分分与与自自变变量量的的微微分分之之商商等等于于该该函函数数的的导导数数导导数数也也叫叫 微微商商练练 习习02x解解0 xxdy 02()xxxx 02xx00.820.2x四、微分的几何意义四、微分的几何意义)(xfy 0 xMNTdyy)( xo xyo x 几何意义几何意义:(如图如图)( ),( )( , )f xxxxyf xP x y 函函数数在在点点 处处的的微微分分表表示示为为：相相应应于于自自变变量量的的改改变变量量曲曲线线在在点点的的切切线线上上纵纵坐坐标标的的改改变变量量

9、。xx0 P ,.xMMNMP 切切线线当当很很小小时时 在在点点的的附附近近可可近近似似曲曲线线段段代代替替段段 xyoMN.f (x)dy x )(0 xf d()yyx xyx0lim tan 很很小小时时当当 x 0()f xx xxf )(00 xxx 0)(0 xf()x .dydy =tan x微分的几何意义微分的几何意义 y即：即：. y问题：何时问题：何时dy y ?xxfxf )()(xyody x d d()yyx 很很小小时时当当 x 0 xxx 0)(0 xf()x dy y y 微分的几何意义微分的几何意义.dy y.导数与微分的区别导数与微分的区别:000001.

10、( )(),()(),.f xxfxdyfxxxxx 函函数数在在点点处处的的导导数数是是一一个个定定数数而而微微分分是是的的线线性性函函数数 它它的的定定义义域域是是实实际际上上 它它是是无无穷穷小小)(limlim0000 xxxfdyxxxx . 0 000000002.,()( )(,(),()()( )(,().fxyf xxf xdyfxxxyf xxf xx 从从几几何何意意义义上上来来看看是是曲曲线线在在点点处处切切线线的的斜斜率率 而而微微分分是是曲曲线线在在点点处处的的切切线线方方程程在在点点的的纵纵坐坐标标增增量量五、微分的求法如何求五、微分的求法如何求? ?dxxfdy

11、)( 求法求法: : 计算函数的导数计算函数的导数, , 乘以自变量的微分乘以自变量的微分. .1.根本初等函数的微分公式根本初等函数的微分公式xdxxxdxdxxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxddxxxdCdcotcsc)(csctansec)(seccsc)(cotsec)(tansin)(coscos)(sin)(0)(221 2222()ln()11(log)(ln )ln11(arcsin )(arccos )1111(arctan )(cot)11xxxxad aaadxd ee dxdxdxdxdxxaxdxdxdxdxxxdxdxd arcxdxxx 2. 2. 函

12、数和、差、积、商的微分法那么函数和、差、积、商的微分法那么2)()()()(vudvvduvududvvduuvdCduCuddvduvud 3.3.复合函数的微分法那么复合函数的微分法那么 设设 ，那么复合函数，那么复合函数 的微分为的微分为 dydy dudydxdxdxdu dx ( ),( )yf u ux ( )yfx 即即( ) ( )( ) ( )( )dyfu dufx dxfxx dx 六、微分方式的不变性六、微分方式的不变性(1),( );xdyfx dx 若若 是是自自变变量量时时(2) ( ),( ),yf x txtxt 若若是是中中间间变变量量时时即即另另一一变变量

13、量 的的可可微微函函数数则则( )( ),yf xfx 设设函函数数有有导导数数( )( )dyfxt dt ,)(dxdtt .)(dxxfdy 结论：结论：,( )xyf x 无无论论 是是自自变变量量还还是是中中间间变变量量 函函数数的的微微分分形形式式总总是是微分方式的不变性微分方式的不变性dxxfdy)( 我们发现我们发现 y = f (u), y = f (u),当当 u u 为中间变为中间变量量时的微分方式与时的微分方式与 u u 为自变量时的微分的形为自变量时的微分的形式一样式一样 , ,均为均为 dy = f dy = f (u) du , (u) du , 这种性质这种性质

14、称为称为函数的一阶微分方式不变性函数的一阶微分方式不变性 . .例例4 4解一解一sin(21),.yxdy设设求求(sin )dydu )12()12cos( xdxdxx2)12cos( .)12cos(2dxx cosudu 21sin .uxyu 设设，则则利用微分方式的不变性利用微分方式的不变性解二解二( )sin(21)fxx 2cos(21)x( )dyfx dx .)12cos(2dxx cos(21) (21)xx ( )sin(21),yf xx利用微分与导数的关系利用微分与导数的关系例例5 5解一解一.,cos31dyxeyx求求设设 1 3(cos)xdyd ex 1

15、31 3cos(13 )( sin)xxx edxex dx 1 31 33cos( sin )xxx edxex dx )(cos)(cos3131xdeedxdyxx 1 3(3cossin ).xexx dx 解二解二1 3( )cosxyf xex 1 31 3) cos(cos()xxexex 1 31 3cossi3nxxexex 1 3cos)( )(xexfx 1 3( coss)3inxexx ( )dyfx dx 1 3( cossi3n ).xexx dx 练练 习习21.ln(),.xyxedy设设求求sin,.axyebxdy 2.2.设设求求答答 案案21.ln()

16、xdydxe 解解一一：221()xxd xexe 221(12 )xxex dxxe 2212.xxxedxxe 22121.,xxxeyxe 解解二二：.2122dxexxedyxx 2. 解解一一：sin()(sin)axaxbx d eedbxsin()cos()axaxbx edaxebxd bx(sin)axdyd ebx sincosaxaxabx edxbebxdx ( cossin).axebbxabx dx sin()cosaxaxbxa edxebbxdx 2. 解解二二：() sin(sin)axaxebxebx sincosaxaxaebxbebx (sin)axye

17、bx ( cossin).axebbxabx ( )dyfx dx ( cossin).axebbxabx dx 例例6 6解解在以下等式左端的括号中填入适当的函在以下等式左端的括号中填入适当的函数数,使等式成立使等式成立.(1) ();(2)()cos.dxdxdtdt 22(1)()()()2,d xCd xd Cxdx 22111(2)() ()222xdxxdxd xCdxC 21()2xC (2)(sin)cos,dttdt 1cos(sin)tdtdt 1(sin)cos.dtCtdt 1(sin);dt 练习练习解解在以下等式左端的括号中填入适当的函在以下等式左端的括号中填入适当

18、的函数数,使等式成立使等式成立.22(1) ()sec 3;(2)(sin)() ().dxdxdxdx (1)(tan3)(tan3 )()dxCdxd C 221sec 3(3sec 3)311(tan3 )(tan3 )33xdxxdxdxdx22sec 3(3 )3sec 3xdxxdx 22(sin)2 cos(2)1()2dxxx dxdxdxx 24cos,xxx 22(sin)(4cos) ().dxxxxdx 七、七、 微分在近似计算中的运用微分在近似计算中的运用 在处置实验数据时，经常会遇到一在处置实验数据时，经常会遇到一些比较难算公式。假设直接用公式进展些比较难算公式。假

19、设直接用公式进展计算，那是很费力的。利用微分有时可计算，那是很费力的。利用微分有时可以把有些复杂的计算公式用简单的近似以把有些复杂的计算公式用简单的近似公式替代。公式替代。1 1、计算函数增量的近似值、计算函数增量的近似值00()()0,yf xxfxx 若若在在点点处处的的导导数数且且很很小小时时000()xxxxydyfxx 例例7 710.01.cmcmg有有一一批批半半径径为为的的球球，为为了了提提高高球球面面的的光光洁洁度度，要要镀镀上上一一层层铜铜，厚厚度度为为估估计计每每只只球球需需用用铜铜多多少少 ？分析分析根根据据题题意意可可知知，要要求求每每只只球球所所需需铜铜的的克克数数

20、，344(10.01),33V 即即求求镀镀铜铜部部分分的的体体积积铜铜的的密密度度mV 而这个运算量是很大的，于是我们而这个运算量是很大的，于是我们想到用微分这个线形主部来近似取代变想到用微分这个线形主部来近似取代变化量。化量。解解,.RV由由已已知知设设球球的的半半径径为为体体积积为为01(),Rcm 34,3VR 0.01,R 324()4,3VRR00R RR RVdV 40.01 0R RVR 204 RR 30.126().cm 00R RR RmVdV8.90.1261.12( ).g 练练 习习10,0.05,?半半径径厘厘米米的的金金属属圆圆片片加加热热后后 半半径径伸伸长长

21、了了厘厘米米 问问面面积积增增大大了了多多少少解解2,Ar 设设10,0.05.rr 厘厘米米厘厘米米2AdArr 210 0.05 2(). 厘厘米米 在计算函数值时在计算函数值时, ,经常会遇到一些比经常会遇到一些比较难算的函数。假设直接用公式进展计较难算的函数。假设直接用公式进展计算，那是很费力的。利用微分有时可以算，那是很费力的。利用微分有时可以把难算的函数用容易算的点的函数值求把难算的函数用容易算的点的函数值求其近似值替代其近似值替代 。2 2、计算函数的近似值、计算函数的近似值0(1)( )f xxx 求求在在附附近近的的近近似似值值)()(00 xfxxfy .)(0 xxf .)()()(000 xxfxfxxf )(很小时很小时x 三角函数的函数值，可以用在特殊点三角函数的函数值，可以用在特殊点处的函数值求微分近似替代。处的函数值求微分近似替代。例例8 8o osin30 30 利利用用微微分分计计算算的的近近似似值值. .解解( )sin,f xx 设设( )cos ,()fxxx 为为弧弧度度0,6360 xx 1()sin,662f 3()cos,662f o osin30 30sin()6360 sincos66 3601322360 0.5076. 练练 习习.0360c