定积分——求曲线的弧长

1、平面曲线的弧长平面曲线的弧长定义定义: 若在弧若在弧 AB 上任意作内接折线上任意作内接折线 ,0M1iMiMnMAByox当折线段的最大当折线段的最大边长边长 0 时时, 折线的长度趋向于一个确定的极限折线的长度趋向于一个确定的极限 ,此极限为曲线弧此极限为曲线弧 AB 的弧长的弧长 , 即即并称此曲线弧为可求长的并称此曲线弧为可求长的.iiMM1定理定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的任意光滑曲线弧都是可求长的.( (证明略证明略) )ni 10lims机动 目录 上页 下页 返回 结束 则称则称精选ppt一、一、 弧微分弧微分)(xfy 设设在在(a , b)内有连续导数内有连续导数, 其

2、图形为其图形为 AB,弧长弧长)(xsAMsxsMMMMxMMMMMMxyx22)()(MMMM2)(1xyxsxsx0lim)(2)(1yxAB)(xfy abxoyxMxxMy1lim0MMMMx机动 目录 上页 下页 返回 结束 精选ppt则弧长微分公式为则弧长微分公式为ttytxsd)()(d22 )(xs2)(1yxysd)(1d2或或22)(d)(ddyxs若曲线由参数方程表示若曲线由参数方程表示:)()(tyytxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 弧微分公式弧微分公式sdyxabo(1) 曲线弧由直角坐标方程给出曲线弧由直角坐标方程给出:)()(bxaxfy)(xfy 弧长元

3、素弧长元素(弧微分弧微分) :xxxdxyd12因此所求弧长因此所求弧长xysbad12xxfbad)(1222)(d)(ddyxs机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2) 曲线弧由参数方程给出曲线弧由参数方程给出:)()()(ttytx弧长元素弧长元素(弧微分弧微分) :因此所求弧长因此所求弧长tttsd)()(22tttd)()(2222)(d)(ddyxs机动 目录 上页 下页 返回 结束 (3) 曲线弧由极坐标方程给出曲线弧由极坐标方程给出:)()( rr,sin)(,cos)(ryrx令因此所求弧长因此所求弧长d)()(22rrsd)()(22yxd)()(22rr则得则得sd弧长

4、元素弧长元素(弧微分弧微分) :机动 目录 上页 下页 返回 结束 )ch(cxccxccsh1例例9. 两根电线杆之间的电线两根电线杆之间的电线, 由于其本身的重量由于其本身的重量,)(chbxbcxcy成悬链线成悬链线 .求这一段弧长求这一段弧长 . 解解:xysd1d2xcxdsh12xcxdchbxcxs0dch2cxc sh20bcbcsh22chxxeex )(chx2shxxeex )(sh xxshxch机动 目录 上页 下页 返回 结束 cxbboy下垂下垂悬链线方程为悬链线方程为例例10. 求连续曲线段求连续曲线段ttyxdcos2解解:,0cosx22xxysd1222的弧长的弧长.xxd)cos(12202xxd2cos22200sin22222x4机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例11. 计算摆线计算摆线)cos1 ()sin(tayttax)0( a一拱一拱)20(t的弧长的弧长 .解解:tstytxd)()(d2dd2dd )cos1 (22tata22sintdttad)cos1 (2ttad2sin2ttasd2sin2202cos22ta02a8机动 目录 上页 下页 返回 结束 xyoa2d222aa例例12. 求阿基米德螺线求阿基米德螺线相应于 02一段的弧长一段的弧长 . 解解:)0( aarxa2oar d)(