定积分考研专题

1、精选ppt2012数学分析2第九章定积分考研专题典型例习题与考研题典型例习题与考研题-一元函数积分学一元函数积分学精选ppt20sin1sincos(03(3)10229#4(2)xdxxxp例定积分的计算重庆大学二分，华上 质进行计算。法二：利用定积分的性公式；定积分），再用法一：先求原函数（不定积分计算的一般方法LN 精选ppt变换。用三角函数的关系进行积分方法；用三角有理函数的不定先求不定积分解法一：)2) 1cossinsindxxxx 于是：参见华上则令法一：),10()8(194(12.11cos,12sin,2tan2222ptdtdxttxttxtx精选ppt Cttttdtt

2、ttttdtttttdtttttdtttttttdxxxx|21|ln21|21|ln21arctan)1ln(21)211212112111(1)21)(21(41212212111212cossinsin2222222222精选ppt Cxxxx|12tan2)2(tan|ln21)2arctan(tan)2(tan1ln(21224|12tan2)2(tan|ln21)2arctan(tan)2(tan1ln(21cossinsin202220 xxxxdxxxx所以：精选ppt Cxxxdxxxxxdxxxxxxxdxxxx|)cossin|ln(21cossin)cos(sin1 2

3、1cossin)cos(sin)cos(sin21cossinsin法二：4/|)cossin|ln(21cossinsin2/02/0 xxxdxxxx所以：精选ppt 4/21cossincossin21sincoscoscossinsin21cossinsinsincoscossincoscos2/cossinsin2/02/02/02/02/02/02/02/0dxdxxxxxdxxxxdxxxxdxxxxdxxxxdtttttxdxxxx法三：精选ppt dxxxxdxxxxpdxxfdxxfnnnnnn2/02/02/02/0cossincoscossinsin)1 (7#230(

4、)(cos)(sin或计算法三可推广：参见华上性质：法三则利用了定积分的；导数间关系，构思巧妙法二利用了双弦函数的；思路简单但计算量太大，式的不定积分一般步骤法一利用三角函数有理注：精选ppt)8) 1 (01()cossincossin(402分四东南大学练习：dxxxxx 422cossinsincos|cossincossincossin1)cos(sin)cos(sin)cos(sincossin)cossincossin(404/040402402dxxxxxxxxxxxdxxxxdxxxxdxxxxx精选ppt102ln(1)(96(5)x dx例定积分的计算山东大学一 21|)|

5、ln221(2ln)12(2ln) 1(|ln) 1() 1(ln)1ln(,) 1(,121221212212221102tttdtttdttttttd tdxxtxtx则解：令要换积分限。换元的同时记住精选ppt分）三（西师。练习6100(1110dxxx 2ln4311|)|ln48332()243(2) 1(2) 1(1111212321221210ttttdttttdtttttxdxxx精选ppt20sin3(091 cos5 5;011 6011 5032 6230#7(2)xxdxxp例 定积分的计算浙江理工大学二（ ） 分 重大三（）分；哈工大一（） 分；杭州电子工业学院一（

6、）分；华上 行变换。其方法是利用换元法进的结论。此题需要利用教材华上)2(7#230p精选ppt4| )arctan(cos2)(coscos112cos1sin2cos1sincos1sincos1sincos1sincos1sincos1sin)(cos1sin20020202020202020202xxdxdxxxdxxxxdxxxxdxxxdttttdtttdtttttxdxxxx解： 精选ppt12042(024 4xx dx例定积分的计算西师一（ ）分） tdcxbaxdcxbax并令形式法：将根式写成法二：采用根式代换方后用三角代换；法一：将根式内部配方分；此题考查根式函数的积,

7、精选ppt12042(024 4xx dx例定积分的计算西师一（ ）分） )198195(0)0(022ptxacbxaxccxtcbxax参见华上，令如果二次项系数大于，令如果二次项系数小于法三：用欧拉变换，精选ppt 4| )42sin2(cossin1) 1(1202022102102ttdtttxdxxdxxx法一：12042(024 4xx dx例定积分的计算西师一（ ）分）精选ppt 103210221032210322102221022222210102)1 (18)1 (18)1 (118)1 (8)1 (4122)1 (4,122 ,12,2,2)2(2dttdttdtttd

8、tttdtttttdxxxdtttdxtxttxtxxdxxxxdxxx则令法二：太难！?精选ppt122015(026 4( )32( ),( )_f xxf x dxf x dx例 定积分的计算 西师一（ ）分）设则 5| )2()23()(, 121)23()()(23)()(213212211021010210 xxdxxdxxfCCdxCxdxxfCdxxfxxfCdxxf则两边积分得到：对，达式。令此题需要先明确函数表精选ppt06|sin|(042 10nxx dxn例 定积分的计算，其中 为正整数武汉理工一（ ） 分） 积分区间进行分段。应考虑先去绝对值，将函数取绝对值，分析：

9、此题涉及到被积精选ppt。解：211)1(11)1(10) 12(| )cos(sin) 1(sin) 1(|sin|nkxxxxdxxdxxxnknkkkknkkkkn 精选ppt1207( )|,0,),( )(9813F yxyxdx yF y例 定积分的计算设求的最小值。重庆大学二分） 的范围。量所不同的是需要考虑变绝对值，分析：此题同样需要去y精选ppt10102|1|)(dxyxxdxyxxyF解： )1(01),10(011yxyxyxyxy 时，当321| )32()1 ()(0110103210yyxxdxyxxyFyxy时，当精选ppt 32131)3121()321(31

10、21| )32(| )32()1 ()1 ()(222221/132/10321/1/10yyyyyyyyxxyxxdxyxxdxyxxyFyyyy精选ppt ), 1 (32131 1 , 0321)(2yyyyyyF所以：61) 1 ()( 10 10)(1 , 0FyFmyFx的最小值为内，内单调递减，所以其在，在而精选ppt 03)(,33)(), 1 (433yyFyyyFy时，当唯一的极小值点。内在区间为函数且所以), 1 ()(3, 0)3(33yFF3321931)3()(333), 1(FyFmx?61332193133精选ppt 成立。而272433232934612193

11、43321933321931333333321934)3(), 0)(33FyF上的最小值为在区间所以函数精选ppt220811arctan( 2 tan ),1 sin21(013 61 sinxxIdxx例定积分的计算已知求积分上海大学 一（ ）分） 0)tan2arctan(21sin11002xdxxILN公式：解：用公式。利用处不成立，故不能直接在系由在于题目所给导数关上述解法是错误的。理LNx2精选ppt220811arctan( 2 tan ),1 sin21(013 61 sinxxIdxx例定积分的计算已知求积分上海大学 一（ ）分） 0221sin111sin1121002

12、2dxdxxx因为：从另一方面也可看出，精选pptvvuuvvuuxxdxxdxxdxxdxxdxxI|)tan2arctan(21lim|)tan2arctan(21limsin11limsin11limsin11sin11sin11)2(0)2(2)2(02)2(2/22/0202解： 精选ppt2)2(2)tan2arctan(21lim)tan2arctan(21lim)2()2(vuvu 02cos11dxxI类例：求积分精选ppt21219(ln(1)(0041x xxdxx例定积分的计算。山东大学一（ ）2| )arctan(0)111 (1)1ln(11)1ln(1111211

13、2211221122xxdxxdxxxxdxxxdxxxxx解：精选ppt）一（陕西师范大学。练习：403() 1ln(ln2002200224200312dxxxxxdxxe奇偶性。对第二个积分用函数的分部积分法，提示：对第一个积分用精选ppt2010101( ),(1).01(014 5xxxxf xf xdxexe例定积分的计算设求华南理工大学 一（ ） 分）区间进行分段。函数的分段情况对积分一般要根据提示：分段函数的积分精选ppt)1ln(2ln2|1|ln|1|ln111)()()(1) 1(11001100110011120etedttdteedttfdttfdttftxdxxft

14、tt解：精选ppt22211(Schwarz):( )( ) , ( ) ( )( )( )(0110237#6)bbbaaaf xg xa bf x g x dxfx dxgx dxp例积分不等式问题证明施瓦茨不等式若和在上可积，则哈工大八分；华上精选ppt精选ppt2212( ) , ( )1,( )cos)( )sin)1(0110237#6)babbaaf xa bf x dxkNf xkxdxf xkxdxp例积分不等式问题若在非负连续，对任意有哈工大八分；华上可证。提示了：利用上例结果精选ppt，同理，证明：bababababababababakxdxxfkxdxxfkxdxxfk

15、xdxxfdxxfdxkxxfdxxfkxdxxfxfkxdxxf22222222sin)()sin)(cos)(cos)()()cos)() )()cos)()()cos)(精选ppt。所以：1)(sin)cos(sin)(cos)()sin)()cos)(222222babababababadxxfdxkxkxxfkxdxxfkxdxxfkxdxxfkxdxxf精选ppt)2(7#237;12209()(1)(, 0)(,)(2pabdxxfdxxfmxfbaxfbaba华上分）三（浙江理工大学证明：上可积，且在设函数练习：)1 (00()(1)(, 0)(,)(2二山东大学证明：上连续，

16、且在设函数abdxxfdxxfxfbaxfbaba精选ppt精选ppt分六练习：北京师范大学1599精选ppt精选ppt10013( )0101,( )( )(02 10;1976)f xf x dxf x dx例积分不等式问题设在 ，上连续单调递减，当证明：西师四 分 苏联高校竞赛25125031993; 520749#200ppp月第一版，年与方法高教社的典型问题斐礼文编数学分析中例出版社选讲西南师范大学周忠群数学分析方法；典习题解析参见孙涛数学分析经精选ppt49#200p典习题解析参见孙涛数学分析经精选ppt49#200p典习题解析参见孙涛数学分析经精选ppt0)()()1 ()()(

17、)1 ()()()()()(1010100100dxfdxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxf证法二：精选ppt2011230014( )0,1(0)00,10( )1,11(0,1)( )( ),22)( )( )1980(0411006)xf xffxxf t dtfxf x dxfx dx例积分不等式问题若在上可微，且在内证明：）对任意的，（上海交大前）川大二（） 分；武大四精选ppt).(21)(0)0()() 1 , 0()(0)(1)()(),(21)()(10)0()() 1 , 0(1)(02020 xfdttfFxFxFxfxfxFxfdttfxFfxf

18、xxfxx即：内严格递增，于是在所以函数则）令时，知当证明：由精选ppt10321020300320)()()0() 1 (10)(10)() 1 , 0(, 0)(21)()(2)()()(2)()()()()2dxxfdxxfGGtttGtGttfdxxftftftfdxxftGdxxfdxxftGtttt即连续，所以和在而）内严格递增，在（于是：则设精选ppt25125031993)2p月第一版，年与方法高教社数学分析中的典型问题另证，参考斐礼文编精选ppt25125031993)2p月第一版，年与方法高教社数学分析中的典型问题另证，参考斐礼文编精选ppt函数是成立的。为常值当并证明上式

19、中，等号仅上连续且单增，证明：在设分十北京师范大学练习：)()(2)(,)(2004xfdxxfbadxxxfbaxfbaba行证明。变限积分函数的导数进上例，利用提示：此题仍然可仿照精选ppt0)()(21)(21)(2)(21)(2)()(,)()(2)()(tatatatatadxxftfdxxftfatdxxftftattftFbatFdxxftadxxxftF而上连续且可导，在则证明：令精选ppt为常值函数。又若上式中等号，则即单增，于是所以函数)(0)()()(,)()()(2)(0)()()(xftFaFtFbataFbFdxxfbadxxxfaFbFtFbaba精选ppt20

20、, 15( )0(0)0,|( )|sup |( )|2(03 17)axa bfxafMf x dxaMfx例积分不等式问题设在 ， 上连续，证明：，其中华东师范大学四 分数存在性定理。可考虑中值定理或原函数的导数，因此分析：题目中涉及到函精选ppt2020002|2| )(|)(| )(| )(|)()()0()(aMxMMxdxdxxfdxxfMxxfxfxfxffxfaaaa证明：精选ppt月第一版年，东北大学出版社，例导分析学习方法及解题指此法参考王晓敏数学10200517. 480p精选ppt22 , 16( )( )0,()( )sup |( )|(02 1520760)baxa

21、 bf xabf aMbafxdxMf xp例积分不等式问题设在 ， 上有连续导数，证明：，其中四川大学四 分；参见孙涛数学分析经典习题解析例精选ppt精选ppt精选ppt精选ppt317( )( )( )0,|( )|,|( )|() (01 10)12baf xabf af bfxMMf x dxba例积分不等式问题设在 ， 上有连续二阶导数，证明：西师 七 分59#206p典习题解析参见孙涛数学分析经精选ppt精选ppt精选ppt59#206p典习题解析参见孙涛数学分析经精选ppt六练习：东北师范大学016 . 3 . 4245593例月第一版，年高等教育出版社，法分析中的典型问题与方解

22、答参考斐礼文数学p精选ppt6 . 3 . 4245593例月第一版，年高等教育出版社，法分析中的典型问题与方解答参考斐礼文数学p精选ppt五练习：上海大学02精选ppt分）一（华南理工大学练习：5201精选ppt8#28712,11#151pp上册第二版复旦大学编数学分析典习题解析参见孙涛数学分析经分十）重庆大学（例1504915精选ppt8#28712,11#151pp上册第二版复旦大学编数学分析典习题解析参见孙涛数学分析经精选ppt8#28712,11#151pp上册第二版复旦大学编数学分析典习题解析参见孙涛数学分析经精选ppt8#28712,11#151pp上册第二版复旦大学编数学分析

23、典习题解析参见孙涛数学分析经精选ppt18(08 15例积分等式问题山东科技大学四 分）精选pptaaaaaaaaaaaadxxgAdxxgxfxfdxxgxfdxxgxfdxxgxfdttgtfdxxgxfdttgtftxdxxgxfdxxgxfdxxgxf0000000000)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()() 1证明：精选ppt2tan)(0,2tan)(0, 1)(tan)(tan22)(,arctan)(|,sin|)()2xxxxxearacxfearacxfeexfxfxgexfxxg且内为偶函数，而，在则令证明：精选ppt2

24、|cos2|sin|2arctan|sin|1,2)()(202022xdxxdxexxfxfx）有由所以精选ppt219( ) , ( )( )0,1( )1,( )( )2(0010;066 10bbaaf xa bf af bfx dxxf x fx dx 例积分等式问题设在上连续可微，试证明：西师九分 三峡大学一（ ） 分）等式。法，则可出现条件中的因此如果利用分部积分为：分析：原结论左边可化babaxxdfdxxfxxf)(21)()(2精选ppt21)(21| )(21)(21)()(222dxxfxxfxxdfdxxfxxfbabababa证明：精选ppt( ) , ( , )(

25、 )( )0,( , ),( )0(01 1002 10220#10bbaaf xa ba bf x dxxf x dxa bfp例20积分等式问题设在上连续，内可导，试证明：存在点使得西师 六分；北航六分；华上）造相应条件。中值定理。因此需要构用问题，一般可考虑分析：关于导数有根的Rolle精选ppt0)()()()(0),(111xfabxfdxxfbaxba使得知，存在点证明：由积分中值定理矛盾或则内恒正或恒负，在否则，若异号内内和在的连续性知则由若对任意的. 00)(),()(.),(),()()(, 0)(),(,111badxxxfbaxfbxxaxfxfxfbaxxx精选ppt矛

26、盾。于是：时当时；当不妨假设, 0)()()()()()(0.),(, 0)(),(, 0)(1111111bxxabadxxfxxdxxfxxdxxfxxbxxxfxaxxf。使得存在点定理知，利用上对在使得因此必然存在点0)(),(),()(,0)(),(,21212212fbaxxRollexfxxxfbaxxx精选ppt七类例：北京师范大学06精选ppt）例析数学分析经典习题解解答参考孙涛分四重庆大学证明：有上连续，对任意自然数在设推广：64209,1399(0)(, 0)(,)(pxfdxxxfnbaxfban精选ppt64209例析经典习题解析解答参考孙涛数学分p精选ppt6420

27、9例析经典习题解析解答参考孙涛数学分p精选ppt64209例析经典习题解析解答参考孙涛数学分p精选ppt0)() 1, 0()0()(9) 1 , 0( 10)(1207198ffdxxfxf，使得，证明：存在内可微，若上连续且在，在设函数分三类例：南京财经大学0)() 1 , 0(), 0()()981 ()(9)(9)0(198fffdxxffRolle，使得存在定理。和提示：用积分中值定理精选ppt12020211( )(2)arctan(),2(1)1,( )(0815f xtfxt dtxff x dx例积分等式问题设连续，且求福建师范大学八分）精选ppt精选ppt0(0415( )

28、sin d( )2( )2203#55)xnnf xttnf xnf xp例22 积分等式问题 北航八分）设 为自然数，。求证：当 为奇数时，为以为周期的周期函数；当 为偶数时，是线性函数和周期函数之和。（参见孙涛数学分析经典习题解析精选ppt精选ppt精选ppt精选ppt362)2()(cos,)()(,)(06(916dxxxxdxxbafdxxfbaxfbaba并计算上连续，求证：在区间设四）清华大学）（积分等式问题例精选ppt362362)2()(sin)2()(cos3,6)()()(,dxxxxdxxxxbadxxbafdttbafdxxfxbatbababa用前一部分结果，有对则

29、证明：令精选ppt2ln1|2ln2122121)2(121)2()(sin)2()(cos21363636362362xdxxxdxxxdxxxxdxxxx精选ppt1023lim1(002 5;062 10)nnxdxx例积分的极限问题极限西师一（ ） 分 三峡大学一（ ） 分的性质。一种策略是利用定积分，有关，故不宜直接积分与分式的过程中，其项数有关，故在化为真的分式与分式求积分。但本题中化为真函数的积分，可考虑先而此题中的积分为有理极限。般考虑先求积分，再求对积分的极限计算，一nn精选ppt10lim1(002 5;062 10)nnxdxx例23 积分的极限问题求极限西师一（ ） 分

30、 三峡大学一（ ） 分限的迫敛性来计算。的不等式性质和数列极数进行放缩利用定积分故可将被积函的积分比较容易计算，注意到nx精选ppt10101001lim, 00lim, 011lim1110,1010dxxxnndxxdxxxxxxxnnnnnnnn由数列极限的迫敛性知而所以时，有解：当精选ppt12024sinlim(034 10)1 cosnnxdxx例积分的极限问题求极限西师一（ ） 分缩后用迫敛性。而应当考虑先将积分放直接先积分再求极限，此题与上例类似，不宜精选ppt1021010220cos1sinlim, 00lim, 011lim11cos1sin0,cos1sin010dxx

31、xnndxxdxxxxxxxnnnnnnnn由数列极限的迫敛性知而所以时，有解：当精选ppt1200251 lim12) limcos(03 15)nnnnxxdxxdx例积分的极限问题.求证：）北航六分精选ppt1026( )0,1,(0)0,(1)1,0( )1(0,1)lim( )0(0110)nnf xCfff xxfx dx例积分的极限问题设且时）。求证：大连理工十三分虑用定积分的性质。直接积分，因此仍需考，明显不能先分析：此题从形式上看精选ppt1110111010)()()()()(0. 1)(0 11 1010)(, 0) 1 , 0( 1)(0. 10)( 10)(dxxfd

32、xxfdxxfdxxfdxxfxfMMxfxxfxfxfnnnnn于是：上，且在满足上的最大值，在闭区间时），所以对任意而上存在最大值，在闭区间于是上连续，在闭区间证明：因为函数精选ppt0)(lim2)1 (0)1 (,)0)1 ()1 (1101110dxxfMMNnNnMMdxdxMnnnnnnn于是时，使得当故存在（而精选ppt1027( )0,1|( )| 1,(0,1),lim ( )0(02)nnf xf xxf xdx 例积分的极限问题设函数在上连续，且证明：陕西师范大学八精选ppt. 0)(lim)(0|)( |)(|0, 1|1| )(|. 10)( 10)(1010101

33、0dxxfnMdxMdxxfdxxfMMxfxfxfnnnnnn于是：满足以最大值，所而上存在最大值，在闭区间上连续，于是，在闭区间证明：因为函数精选ppt120lim1)0(993 10)nnxdx例28 积分的极限问题求极限（北京大学二（ ） 分的具体运用。因此此题属于大连理工时）且当则令，例子的情形。容易看出此题实质上为上面两个01. 1)0( 1 , 0( 1)(0,1)(2fxxfxxf精选ppt)1 ()1)11)1)1)1)1)10, 1, 021201202112102102nnnnnnndxdxdxxdxxdxxdxxdxx（有解：对任意的0)1lim2)10)1 ()1,)

34、0)1 ()110210222dxxdxxNnNnnnnnn（于是时，（使得当所以存在（而（精选ppt)1503(0coslim)201lim12/010分六北航）求证：练习xdxdxxxnnnn0cotlim0tanlim, 0sinlim)2) 14/04/02/0 xdxxdxxdxnnnnnn类例：用积分区间拆分方法。用放缩法；提示：精选ppt10( )0,11lim( )(1)nnf xxnx f x dxf例30 积分的极限问题设在上可积，在处连续，求证：因此解法将有所改变。表达式中多了一个别的，区别在于此题与上面几例是有区, n精选ppt1030( )0,11lim( )(1)n

35、nf xxnx f x dxf例积分的极限问题设在上可积，在处连续，求证：.) 1 ()() 1 () 1 ,1 (:)( , 0101)(),1 , 0(| )(|0 1 , 0)(fxffxxxfxMxfMxf有时，当，使得存在，处连续，则对任意的在又使得存在上可积，则必有界，即在证明：精选ppt0)(lim)(0)1 (1| )(|)(|0)()()(101101010111010dxxfxnnMnndxxMndxxfxndxxfxndxxfxndxxfxndxxfxnnnnnnnnnn于是：精选ppt)1 (1() 1 (1|1) 1 () 1 ()(11111111nnnnfnnnx

36、fndxfxndxxfxn同理，) 1 ()1 (1() 1 (1lim1ffnnnn而)1 (1() 1 (1|1) 1 () 1 ()(11111111nnnnfnnnxfndxfxndxxfxn精选ppt) 1 () 1 (0)(lim)(lim)(lim111010ffdxxfxndxxfxndxxfxnnnnnnn于是) 1 ()(lim11fdxxfxnnn的任意性知，由) 1 ()(lim) 1 (11fdxxfxnfnn所以，精选ppt152192181990例年第一版，西南师范大学出版社，数学分析方法选讲，类例，参见周忠群编p精选ppt精选ppt精选ppt211492003例

37、月第一版，年科学出版社，分析选论类例：毛羽辉编数学p精选ppt精选ppt1220031( )0,1( )lim(0)2(002002 12)xf xxf tdtftx例积分的极限问题设在上连续，求证：四川大学三分；华东师大六分1220221022)()()(xxdtxttxfdtxttxfdtxttxf提示：精选ppt)0)(0(2arctan)()()(022022xfxfdtxtxfdtxttxfxx0)22()1arctan1(arctan| )(|)(|122122122MxxMdtxtxMdtxttfxdtxttxfxxx精选ppt032( )1lim( )lim( )(021023

38、7#3)xxxf xf xf t dtxp例积分的极限问题设在任何有限区间上可积，求证：大连理工十二分；注意与华上区别精选ppt)(1)(1)(1)(1)(1)(101|)(1|)(1)(1)(1000 xxxdtxdttfxxxxdtxdttfxxMxdttfxdttfxdttfxdttfxxxxxxxxxxxxxx提示：精选ppt033( )( , lim( )( )0limln(05110)xbnannf xa bf xAf xbabdxAxa例积分的极限问题设在连续，则对任意有：青岛科技大学二（） 分。分开，用积分中值定理和因此可考虑将式，可以设想分析：按照题目的表达xxfdxxxfn

39、anbxfabAnbnaxx1)(1)(limln)ln(limln00精选pptabfdxxfdxxxfnbnanbnaxnbnaxxfnnbnanbnaln)(1)()(,1,1)(, 1使得：存在点定理知，上不变号，由积分中值在且上连续，都在和证明：易见，对精选pptabAdxxxfabAabfAfnnbnanln)(limlnln)()(,0即：所以时，而当连续。在连续似应改为在，原题目条件不能推出连续，在比如由已知条件设误，出，原题目条件似乎有说明：从证明过程中看 1 , 0()(,()()(lim0,()(0 xfbaxfAxfbabaxfx精选ppt163702003303例内容、方法与技巧数学分析年