多元函数的全微分PPT课件

1、 第八章 第三节一元一元可微可微函数函数)(xoxAy xxf )(0多元函数的全微分yd y很小时）很小时）（当（当x yydxyoxx0)(xfy 0 x几何意义：几何意义： 可微函数的可微函数的曲线在切点附近可用该曲线在切点附近可用该点的切线段近似。点的切线段近似。微分微分( (可微函数的局部线性化可微函数的局部线性化) )(xfy 上一节课我们讨论了多元函数中只有一个上一节课我们讨论了多元函数中只有一个自变量变化的情况下因变量相对于该自变自变量变化的情况下因变量相对于该自变量的瞬时变化率（偏导数）量的瞬时变化率（偏导数）.本节我们考虑多元函数中所有自变量都作本节我们考虑多元函数中所有自

2、变量都作微小变化的情况下因变量与自变量的变化微小变化的情况下因变量与自变量的变化关系。关系。. .00的的改改变变量量求求面面积积作作微微小小变变化化时时，、当当矩矩形形的的长长宽宽由由引引例例Syx00yxS yx yx 0 xy 0解：解：0000)(yxyyxx yxxyyx 00的线性函数的线性函数关于关于yx ,高阶的无穷小高阶的无穷小比比yx ,很小时，很小时，、当当yx .00 xyyxS xyS S0 x0yx y 由此引入由此引入二元可微函数二元可微函数的概念的概念. .一、全微分的定义一、全微分的定义可可表表示示为为如如果果的的某某邻邻域域内内有有定定义义，在在点点设设函函

3、数数),(),(),(),(000000yxfyyxxfzyxyxfz 22)()( ).(yxoyBxAz 其中其中。全全微微分分的的在在点点称称为为，而而可可微微在在点点则则称称函函数数),(),(),(),(0000yxyxfyBxAyxyxfz . yBxAdzzd ，即，即记作记作上例，上例，.00 xyyx dS oyx),(00yx),(00yyxx .高高阶阶的的无无穷穷小小的的差差是是比比与与的的线线性性函函数数，、是是关关于于由由定定义义可可知知， zdzyxdz .),(去去近近似似的的线线性性函函数数即即全全微微分分、可可用用的的改改变变量量量量改改变变很很小小时时，因

4、因变变量量可可微微，则则当当自自变变所所以以如如果果函函数数dzyxzyxfz 全微分的意义全微分的意义: :.的的是是用用来来近近似似zdz 前例，前例，很小时，很小时，、当当yx .00 xyyxdS 此性质称为二元可微函数的此性质称为二元可微函数的局部线性化局部线性化. . S简化简化计算计算二、可微的条件二、可微的条件很很小小时时，可可微微，则则当当所所以以如如果果yxyxfz ,),(.),(),(0000yyxfxyxfdzzyx 存存在在，的的偏偏导导数数在在点点可可微微，则则在在点点（必必要要条条件件）如如果果函函数数定定理理),(),(),(),(10000yxyxfyxyx

5、fz yyzxxzdzyxyx ),(),(0000可微可微连续连续).( oyBxAz . 0 z，当当)0 , 0(),( yx且且证：证：)( oyBxAz 总成立总成立,),(),(0000yxfyxxf |),(|xoxA A xyxfyxxfx ),(),(lim00000同理可得同理可得.),(00yxyzB 可微，可微，在点在点因为因为),(),(00yxyxfz oyx),(00yx),(00yyxx ),(00yxx ，得得，然然后后令令上上式式两两边边同同除除以以0 xx,),(00yxxz ，令令0 y，此时此时| x 上式化为上式化为证证*：),(),(0000yxf

6、yyxxfz ),(),(0000yyxfyyxxf ),(),(0000yxfyyxf .),(),(),(),( 20000可可微微在在点点连连续续，则则在在点点的的偏偏导导数数（充充分分条条件件）如如果果函函数数定定理理yxyxfyxyxfz xxyyxfx 100),( ,),(2001yyyxfxy xyxfx ),(300 （偏导数的连续性）（偏导数的连续性）,),(200yyyxfy yxyyxfxyxfyx 210000),(),( （一元可微函数的性质）（一元可微函数的性质）oyx),(00yx),(00yyxx ),(00yyx . 0,)0 , 0(),( 21 ，当当y

7、x yx 21, 00 .),(),(00可可微微在在点点故故函函数数yxyxfz )(21 oyx 21 二元函数全微分的几何意义：二元函数全微分的几何意义： 全微分就是切面高全微分就是切面高很小时，很小时，当当yx ,.dzz 小曲面高小曲面高切面高（全切面高（全微分）微分）yyxfxyxfyx ),(),(0000 xyzO PQMN00(,)xy00(,)xx yy所以可微函数的曲面所以可微函数的曲面在切点附近可用该点在切点附近可用该点的切平面近似的切平面近似. .dzz .),(NMPyxfz增量增量的的的切平面上点的竖坐标的切平面上点的竖坐标过点过点表示曲面表示曲面 （以后证明）（

8、以后证明）),(yxfz dz可微函数的曲面在切点附近可用该点的可微函数的曲面在切点附近可用该点的切平面近似切平面近似. .的的形形式式也也可可写写为为dyyzdxxzdz 全微分的定义可推广到三元及三元以上函数全微分的定义可推广到三元及三元以上函数,),(可微可微如果如果zyxfu 全微分的计算全微分的计算yyzxxzdz , x yyyxxydy dx. dzzudyyudxxudu 则则yyxxxx y 例例 1 1 计算函数计算函数xyez 在点在点)1 , 2(处的全微分处的全微分.解：解：xz ,xyxeyz ,2)1 ,2(exz ,22)1 ,2(eyz .222dyedxe

9、所求全微分所求全微分dyyzdxxzdz ,xyye 解：解：所求全微分所求全微分. . 2222的的全全微微分分求求函函数数例例zyxr xr,rx.dzzrdyyrdxxrdr .dzrzdyrydxrx yr.rzzr ,ry多元函数连续、偏导数、可微的关系多元函数连续、偏导数、可微的关系:函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续偏导数存在偏导数存在一元函数一元函数: : 可导可导可微可微连续连续选择题选择题全微分在近似计算中的应用全微分在近似计算中的应用*)(,()(,(),(),(00000000yyyxfxxyxfyxfyxfyx ),( ),(),(0000很很小小当

10、当yxyyxfxyxfzyx ),(00yyxx 可可微微，则则如如果果),(yxfz 或者或者应用：应用：. ),(yxfz或或函函数数值值近近似似计计算算 解：解：.),(yxyxf 设函数设函数, 2, 100 yx取取, 1)2 , 1( f,),(1 yxyxyxf,ln),(xxyxfyy , 2)2 , 1( xf, 0)2 , 1( yf由公式得由公式得 02. 2)04. 1(.08. 1 )(,()(,(),(),(00000000yyyxfxxyxfyxfyxfyx 08245. 1.02. 0 ,04. 0 yx02. 0004. 021 要点要点:第三节 多元函数的全微分二元可微函数的定义二元可微函数的定义: ),( oyBxAz zyyzxxz dz可可微的意义微的意义: :全微分的几何意义：全微分的几何意义：可微函数的曲面在切点附可微函数的曲面在切点附近可用该点的切平面近似近可用该点的切平面近似. .),(很小很小当当yx 22)()(yx 其中其中.dy