二项式定理各种题型归纳

1、2021/8/1412021/8/142 二项式定理二项式定理222110baCbaCaCba-nn-nnnnnnnn-n-nnbCabC11二项式展开的通项二项式展开的通项rr -nrnrbaCT1复习旧知复习旧知第第 项项1r2021/8/143性质复习性质复习性质性质1 1在二项展开式中，与首末两端等在二项展开式中，与首末两端等 距离的任意两项的二项式系数相等距离的任意两项的二项式系数相等. .性质性质2 2：如果二项式的幂指数是偶数，中间一：如果二项式的幂指数是偶数，中间一 项的二项式系数最大；如果二项式的项的二项式系数最大；如果二项式的 幂指数是奇数，中间两项的二项式系幂指数是奇数，

2、中间两项的二项式系 数最大；数最大；nnnknnnnCCCCC2210 性质性质3 3：性质性质4 4：( (a+b)a+b)n n的展开式中，奇数项的二项式系的展开式中，奇数项的二项式系 数的和等于偶数项的二项式系数和数的和等于偶数项的二项式系数和. .2021/8/144题型一题型一 利用利用 的二项展开式解题的二项展开式解题na b解法解法1 1413xx4043Cx例例1 1 求求 的展开式的展开式413xx31413Cxx22241(3) ()Cxx3341(3)()Cxx4441()Cx221218110854xxxx直接用二项直接用二项式定理展开式定理展开2021/8/145题型

3、一题型一 利用利用 的二项展开式解题的二项展开式解题na b例例1 1 求求 的展开式的展开式413xx解法解法2 2413 xx4231xx04421(3 )Cxx134(3 )Cx224(3 )Cx34(3 )C x44C43221(8110854121)xxxxx221218110854xxxx化简后再展开化简后再展开2021/8/146例题例题2 2 若若,( 2 1)2,nnnn Nab(,)nna bZnb,则则 的值的值( )A A 一定为奇数一定为奇数C C 一定为偶数一定为偶数B B 与与n n的奇偶性相反的奇偶性相反D D 与与n n的奇偶性相同的奇偶性相同解解:2(12)

4、nnnab0nC12nC22( 2)nC33( 2)nC( 2)nnnCnb0nC22( 2)nC44( 2)nC所以所以 为奇数为奇数 故选故选( (A)A)nb思考思考 能用特殊值法吗能用特殊值法吗? ?偶偶奇A2021/8/147熟记二项式定理熟记二项式定理, ,是解答与二项式定理有关是解答与二项式定理有关问题的前提条件问题的前提条件, ,对比较复杂的二项式对比较复杂的二项式, ,有时有时先化简再展开更便于计算先化简再展开更便于计算. .例题点评例题点评2021/8/148题型二利用通项求符合要求的项或项的系数例例3 3 求求 展开式中的有理项展开式中的有理项93xx解:1132919(

5、 ) ()rrrrTC xx2769( 1)rrrC x 令令273466rrZZ即(0,19)r 39rr 或3344492734( 1)846rrTC xx 99331092793( 1)6rrTC xx 原式的有理项为原式的有理项为: :4484Tx310 xT2021/8/149例例4(044(04全国卷全国卷) )81()xx的展开式中的展开式中 的的系数为系数为_5x解解: : 设第设第 项为所求项为所求1r 12818()rrrrTC xx288( 1)rrrrC xx 3288( 1)rrrC x 38522rr由可得5x228( 1)28C的系数为的系数为2021/8/141

6、0.)2(. 510和第四项的系数项式系数的展开式中第四项的二求例xx 分析：第 k+1 项的二项式系数 - 第 k+1 项的系数-具体数值的积。cnk解解：.9608c- .120,)2()() 1(310310373103134第四项的系数是数是所以第四项的二项式系因为cxxcTT2021/8/1411求二项展开式的某一项求二项展开式的某一项, ,或者求满足某种条或者求满足某种条件的项件的项, ,或者求某种性质的项或者求某种性质的项, ,如含有如含有x x 项项的系数的系数, ,有理项有理项, ,常数项等常数项等, ,通常要用到二项通常要用到二项式的通项求解式的通项求解. . 注意注意(1

7、)(1)二项式系数与系数的区别二项式系数与系数的区别. . (2) (2) 表示第表示第 项项. .3rrnrnrbaCT1r例题点评例题点评2021/8/1412题型3 二项式定理的逆用011222112122nnnn nnnnnCCCC 原 式(1 2)3nn 例例6 6 计算并求值计算并求值12(1) 1 242nnnnnCCC5432(2)(1)5(1)10(1)10(1)xxxx5(1)x解解(1):(1):将原式变形将原式变形2021/8/1413题型3 二项式定理的逆用例例7 7 计算并求值计算并求值12(1) 1 242nnnnnCCC5432(2)(1)5(1)10(1)10

8、(1)xxxx5(1)x解解:(2):(2)原式原式055(1)C x145(1)C x235(1)C x325(1)C x45(1)C x55C55C5(1) 11x51x2021/8/1414 例题点评例题点评逆向应用公式和变形应用公式是高中数逆向应用公式和变形应用公式是高中数学学的难点的难点, ,也是重点也是重点, ,只有熟练掌握公式的只有熟练掌握公式的正正用用, ,才能掌握逆向应用和变式应用才能掌握逆向应用和变式应用2021/8/1415题型题型4 4 求多项式的展开式中特定的项求多项式的展开式中特定的项( (系数系数) )例例8 82345(1)(1)(1)(1)(1)xxxxx的展

9、开式中的展开式中, , 的系数等于的系数等于_2x解解: :仔细观察所给已知条件可直接求得仔细观察所给已知条件可直接求得 的系的系 数是数是2x02C13( 1)C 224( 1) C 335( 1) C 20 解法解法2 2 运用等比数列求和公式得5(1)1 (1) 1 (1)xxx原式6(1)(1)xxx在在 的展开式中的展开式中,含有含有 项的系数为项的系数为6(1)x3x3620C 所以所以 的系数为的系数为-202x2021/8/1416ttxC)3(12123824)31 ()21 ()1 (xxxxxx例例9 9求求 展开式中展开式中 的系数。的系数。4xrrxC)(44x解解:

10、 :可逐项求得可逐项求得 的系数的系数8)21 (x的展开式通项为的展开式通项为ssxC)2(8当当 时时2s112428C系数为系数为12)31 (x的展开式通项为的展开式通项为1t当当 时时363112C系数为系数为所以所以 展开式中的展开式中的系数为系数为123824)31 ()21 ()1 (xxxxxx1443611244)1 ( x的展开式通项为的展开式通项为当当 时时3r系数为系数为-4-42021/8/1417求复杂的代数式的展开式中某项求复杂的代数式的展开式中某项( (某项的系数某项的系数),),可以逐项分析求解可以逐项分析求解, ,常常对所给代数式进行化简常常对所给代数式进

11、行化简, ,可以可以减小计算量减小计算量例题点评例题点评2021/8/1418题型题型5 5 求乘积二项式展开式中特定的项求乘积二项式展开式中特定的项( (特特 定项的系数定项的系数) )例题例题10:10:求求 的展开式中的展开式中 项项 的系数的系数. .65(1) (21)xx6x解解62666()rrrrCxC x6(1)x 的通项是的通项是55555(2 ) ( 1)( 1) 2sssssssCxCx5(21)x的通项是的通项是1622556( 1) 2rssrssC Cx 65(1) (21)xx的通项是的通项是65(1) (21)xx2021/8/1419由题意知16226rs

12、24(06,05)rsrs02rs21rs40rs解得3206252) 1(CC所以所以 的系数为的系数为: :6x426152) 1(CC5046052) 1(CC640 例题点评例题点评对于较为复杂的二项式与二项式乘积利用两对于较为复杂的二项式与二项式乘积利用两个通项之积比较方便运算个通项之积比较方便运算2021/8/1420（题型题型6 6）求展开式中各项系数和求展开式中各项系数和解：设解：设展开式各项系数和为展开式各项系数和为1例题点评例题点评求展开式中各项系数和常用赋值法：令二项求展开式中各项系数和常用赋值法：令二项 式中的字母为式中的字母为1 1naaaa210上式是恒等式，所以当

13、且仅当上式是恒等式，所以当且仅当x=1x=1时，时， (2-1) (2-1)n n= =naaaa210 = =（2-12-1）n n=1naaaa210nnnnaxaxax) 1(21202) 12(例例11. 11. 的展开式的各项系数和为的展开式的各项系数和为_nx) 12(22021/8/1421题型题型7 7：求奇数：求奇数( (次次) )项偶数项偶数( (次次) )项系数的和项系数的和776016712(31)xa xa xa xa例已知7531) 1 (aaaa求6420) 2(aaaa7210)3(aaaa7) 13 ()(:xxf设解7210) 1 (aaaaf73210)

14、1(aaaaaf77753142) 1() 1 ()( 2ffaaaa8128221367531aaaa8256)() 1 (716420aafaaaa(1)(1)(2)(2)2021/8/1422题型题型7 7：求奇数：求奇数( (次次) )项偶数项偶数( (次次) )项系数的和项系数的和7531) 1 (aaaa求6420) 2(aaaa7210)3(aaaa7) 13 ()(:xxf设解7210) 1 (aaaaf73210) 1(aaaaaf是负数因为7531,aaaa所以7210aaaa7210aaaa)(7210aaaa7) 4() 1( f（3）74776016712(31)xa

15、 xa xa xa例已知2021/8/1423例题点评例题点评求二项展开式系数和，常常得用求二项展开式系数和，常常得用赋值法赋值法，设，设二项式中的字母为二项式中的字母为1或或-1，得到一个或几个等，得到一个或几个等式，再根据结果求值式，再根据结果求值2021/8/1424题型题型8 8 三项式转化为二项式三项式转化为二项式展开式中的常数项求例8)11(13xx解：三项式不能用二项式定理解：三项式不能用二项式定理,必须转化为二项式必须转化为二项式88 1)1()11(xxxx8878718808)1()1()1(CxxCxxCxxC再利用二项式定理逐项分析常数项得再利用二项式定理逐项分析常数项

16、得881268244836284808CCCCCCCCC=1107=11072021/8/1425的系数是的展开式中例xxx52) 23(14_解：解：原式化为523)2(xx其通项公式为其通项公式为rrrrxxCT)3 () 2(52511, 1rx只需的指数为要使xxCT3)2(42152)2844624(1542468xxxxx2402154的系数为所以x240240例题点评括号里含有三项的情况可以把某两项合并为一项括号里含有三项的情况可以把某两项合并为一项,合合并时要注意选择的科学性并时要注意选择的科学性.也可因式分解化为乘积二也可因式分解化为乘积二项式项式.2021/8/1426题型

17、题型9 9 求展开式中系数最大求展开式中系数最大( (小小) )的项的项与最大二项式系数的比求其项的最大系数的展开式中在例，x20) 32(15解解: :设设 项是系数最大的项项是系数最大的项, ,则则1r112012020201120120202032323232rrrrrrrrrrrrCCCC6 .126 .11 r项系数最大的项是即二项式系数最大的项为第11项,即1020C所以它们的比是137102012812203211532CC2021/8/1427例例16 16 在在 的展开式中，系数的展开式中，系数绝对值绝对值最大的项最大的项 20)23 (yx解：设系

18、数绝对值最大的项是第解：设系数绝对值最大的项是第r+1r+1项，则项，则1211202020119120202023232323rrrrrrrrrrrrCCCCrrrr3)21( 2)20( 2) 1( 3542537r8r所以当所以当 时，系数绝对值最大的项为时，系数绝对值最大的项为8r812812820923yxCT2021/8/1428例例1717求求 的展开式中的展开式中数值数值最大的项最大的项50)21 ( 211rrrrTTTT解：设第解：设第 项是是数值最大的项项是是数值最大的项1r展开式中展开式中数值数值最大的项是最大的项是29295030) 2(CT 115050115050

19、)2()2()2()2(rrrrrrrrCCCC251101251102rr88.2988.28 r29r2021/8/1429211rrrrTTTT解决系数最大问题，通常设第解决系数最大问题，通常设第 项是系数最项是系数最大的项，则有大的项，则有1r由此确定由此确定r r的取值的取值例题点评例题点评2021/8/1430题型题型10 10 整除或余数问题整除或余数问题例例1818。的余数除以求1009192解解: :9292)9100(919291919229029291192929910091009100100CCC前面各项均能被前面各项均能被100100整除整除. .只有只有 不能被不能

20、被100100整除整除929929192290929029291192929292) 1(1010101010) 110(9CCCC19201010101029092902929119292CCC8110001010101029092902929119292CCC811009192除的余数是被可见余数为余数为正整数正整数注意2021/8/1431整除性问题，余数问题，主要根据二项式整除性问题，余数问题，主要根据二项式定理的特点，进行添项或减项，凑成能整定理的特点，进行添项或减项，凑成能整除的结构，展开后观察前几项或后几项除的结构，展开后观察前几项或后几项,再再分析整除性或余数。这是解此类问题的

21、最分析整除性或余数。这是解此类问题的最常用技巧。余数要为正整数常用技巧。余数要为正整数例题点评例题点评2021/8/1432题型题型11 11 证明恒等式证明恒等式121123219nnnnnnnnCCCC求证例析析: :本题的左边是一个数列但不能直接求和本题的左边是一个数列但不能直接求和. .因为因为 由此分析求解由此分析求解rnnrnnnnnnnCCCCCC110,nnnnnnnnnnCCnCCCCS13110) 1(320:设解nnnnnnnnCCCnCnnCS0) 2() 1(1210两式相加两式相加)(21210nnnnnnnnCCCCCnSnn 212nnnS2021/8/1433

22、例题点评例题点评利用求和的方法来证明组合数恒等式是一种利用求和的方法来证明组合数恒等式是一种最常见的方法最常见的方法,证明等式常用下面的等式证明等式常用下面的等式nnnnnnCCCC221014202nnnnCCCrnnrnCC15312nnnnCCC11mnmnnCmC2021/8/1434例例2020证明证明： 3)11 (2nn1*nNn且当2111111)11 (22221 nCnCnCnnnnn证明证明!11!1!) 1() 1(1knknnkknnnnCkkkkkh 通项通项nnnnnnnCnCnCn1111)11 (221 122121212!1! 31! 212 nn32112

23、1n3)11 (2nn所以所以题型题型12 12 证明不等式证明不等式2021/8/1435例题点评例题点评利用二项式定理证明不等式利用二项式定理证明不等式, ,将展开式将展开式进行合理放缩进行合理放缩2021/8/1436题型题型13 13 近似计算近似计算例例21.21.某公司的股票今天的指数为某公司的股票今天的指数为2,2,以后每天的指以后每天的指 数都比上一天的指数增加数都比上一天的指数增加0.2%,0.2%,则则100100天后这天后这 公司的股票股票指数为公司的股票股票指数为_(_(精确到精确到0.0010.001) )解解: :依题意有依题意有2(1+0.2%) 2(1+0.2%) 1001002(10.002)012210010010020.0020.002CCC2(1 0.20.0198)2.43962.44所以所以100100天后这家公司的股票指数约为天后这家公司的股票指数约为2.442.44点评近似计算常常利用二项式定理估算前几项点评近似计算常常利用二项式定理估算前几项2021/8/1437巩固练习巩固练习一选择题一选择题a8)(xax 1(041(04福建福建) )已知已知 展开式的常数项是展开式的常数项是1120,1120, 其中实数其中实数