八年级数学上册完全平方公式新版新人教版

1、1会计学八年级数学上册完全平方公式新版新人八年级数学上册完全平方公式新版新人教版教版 高菲同学做作业时,把一滴墨水滴在一道数学题上,题目变成了x2 x+1,看不清x前面的数字是什么,只知道这个二次三项式能写成一个整式的平方,急得她抓耳挠腮,你能帮助她吗?学学 习习 新新 知知牛牛文库文档分享计算(x+a)(x+b).一、公式的推导解:(x+a)(x+b) =x2+bx+ax+ab =x2+(a+b)x+ab牛牛文库文档分享1.在(x+a)(x+b)中,若a=b,那么上述式子将会成为怎样的式子?计算结果是什么? 变为(x+a)(x+a),计算结果是x 2+2ax+a2,即(a+b)2=a2+2a

2、b+b2.牛牛文库文档分享2.这个公式的左边和右边各有什么特点?3.(a+b)2 =a 2 +b 2对吗?为什么?两数和的平方,结果应该是三项式.牛牛文库文档分享4.你会用(a+b)2 =a 2 +2ab+b 2计算(a-b)2吗? 将“-b”看作一个数,将(a-b)2化为a+(-b)2=a2+2a(-b)+(-b)2=a2-2ab+b2.(a-b)2=a2 -2ab+b2牛牛文库文档分享5.你能用图形验证:(a+b)2 =a 2 +2ab+b 2,(a-b)2=a 2 -2ab+b 2吗? 在左图中,大正方形的面积是(a+b)2,它由两个小正方形和两个相同的长方形组成,两个小正方形的面积分别

3、是a 2,b 2,长方形的面积是ab.所以有等式(a+b)2 =a 2 +2ab+b 2. a+ba+bab aba-ba-baabb牛牛文库文档分享a+ba+bab ab=(a+b) 2 =a2+2ab+b2+ 牛牛文库文档分享a-ba-baabb=(a-b) 2 =a2-2ab-+b2+ 牛牛文库文档分享6.比较(a+b)2=a 2+2ab+b 2及(a-b)2 =a 2 -2ab+b 2这两个公式.它们有什么不同?有什么联系?(a+b)2 =a 2 +2ab+b 2 两数和的平方,等于它们的平方和加上这两数积的2倍.牛牛文库文档分享 (1)运用完全平方公式的关键在于明确公式的特征:公式的

4、左边是两数和(或差)的平方,公式的右边是一个三项式,是左边两数的平方和加上(或减去) 左边两数积的2倍.牛牛文库文档分享 (2)公式中字母的含义:公式中 字母a和b可以是具体的数,也可以是整式(单项式或多项式).利用完全平方公式计算多项式的乘法,最容易漏写2ab项,实际运算中要特别注意.完全平方公式与平方差公式联合使用,要严格分清公式 的各自特点,以防混淆.牛牛文库文档分享 (3)逆用完全平方公式为:a2 +2ab+b2=(a+b)2 ,a2-2ab+b2=(a-b)2,把三项式写成了积的形式,这是后面要学习的因式分解.牛牛文库文档分享例例1 运用完全平方公式计算运用完全平方公式计算.(1)(

5、4m+n)2;21(2)2y解解:(1)(4m+n)2=(4m)2+2(4m)n+n2 =16m2 +8mn+n2.22221(2)2112221.4yyyyy牛牛文库文档分享例2 运用完全平方公式计算. (1)1022 ;(2)992 .(2)992=(100-1)2=1002 -21001+12=10000-200+1=9801.(1)1022=(100+2)2=1002 +21002+22=10000+400+4=10404.牛牛文库文档分享现有下图所示三种规格的卡片各若干张现有下图所示三种规格的卡片各若干张, ,请请你根据二次三项式你根据二次三项式a2 +2ab+b2, ,选取相应种类

6、选取相应种类和数量的卡片和数量的卡片, ,尝试拼成一个正方形尝试拼成一个正方形, ,并讨并讨论该正方形的代数意义论该正方形的代数意义. .牛牛文库文档分享 (a+b)2与(-a-b)2相等吗?(a-b)2与(b-a)2相等吗?(a-b)2与a 2-b 2相等吗?为什么?牛牛文库文档分享 运用乘法公式计算,有时要在式子中添括号,在第二章中,我们学过去括号法则,即a+(b+c)=a+b+c;a-(b+c)=a-b-c. 反过来,就得到添括号法则:a+b+c=a+(b+c);a-b-c=a-(b+c). 添括号时添括号时, ,如果括号前面是正号如果括号前面是正号, ,括括到括号里的各项都不变符号到括

7、号里的各项都不变符号; ;如果括号如果括号前面是负号前面是负号, ,括到括号里的各项都改变括到括号里的各项都改变符号符号. . 说明牛牛文库文档分享(1)添括号法则与去括号法则是一致的,添括号正确与否,可用去括号进行检验.(2)添括号时,如果括号前面是负号,那么括到括号里的各项都改变符号,不能只改变部分项的符号.知识拓展牛牛文库文档分享解解:(1)(x+2y-3)(x-2y+3)=x+(2y-3)x-(2y-3)=x2 -(2y-3)2=x2-(4y2 -12y+9)=x2-4y2+12y-9.(2)(a+b+c)2=(a+b)+c2=(a+b)2+2(a+b)c+c2=a2 +2ab+b2

8、+2ac+2bc+c2=a2 +b2 +c2 +2ab+2ac+2bc.例3.运用乘法公式计算.(1)(x+2y-3)(x-2y+3);(2)(a+b+c)2.牛牛文库文档分享 一些本来不是二项式的式子的平方也可以利用完全平方公式来计算,关键是使其转化为二项式的平方,如计算(a+b+c)2,可以把这个代数式转化为a+(b+c)2或(a+b)+c2,把b+c或a+b看做是一个整体(一个字母),也可以把这个式子转化为(a+c)+b2.实际操作时要看怎样做最有利于计算.牛牛文库文档分享 完全平方公式是进行整式乘法的重要工具,它的结构形式具有对称性,两个公式都叫做完全平方公式,前面的一个叫做和的完全平

9、方公式,后面的一个叫做差的完全平方公式.判断一个式子能不能用完全平方公式展开,主要看它的结构形式是否符合公式要求,习惯上把(ab)2 中的a叫做前项,b叫做后项,记忆时巧记为“首平方,末平方,首末两倍中间放”.知识小结牛牛文库文档分享 2.添括号 添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各项都不变符号;如果括号前面是负号,括到括号里的各项都改变符号. 应用时,主要关注两点:一是关注括号前面的符号是正号还是负号;二是对 照添括号前和后符号该不该改变.牛牛文库文档分享3.运用完全平方公式还应注意以下几点运用完全平方公式还应注意以下几点:切勿把完全平方公式与公式切勿把完全平方公式与公式(ab)2

10、=a2b2相混淆相混淆,或随意写成或随意写成(a+b)2 =a2 +b2;切勿把切勿把“乘积项乘积项”2ab中的中的2丢掉丢掉;计算时计算时,要先观察题目特点要先观察题目特点,看是否符合看是否符合公式的条件公式的条件,若不符合若不符合,应先变形为符合公应先变形为符合公式的形式式的形式,再利用公式进行计算再利用公式进行计算,若不能变若不能变为符合公式的形式为符合公式的形式,则应运用乘法法则进则应运用乘法法则进行计算行计算.牛牛文库文档分享1.下列计算正确的是()A.(x+y)2=x2+y2B.(x-y)2=x2-2xy-y2C.(x+2y)(x-2y)=x2-2y2D.(-x+y)2=x2-2x

11、y+y2检测反馈检测反馈解析:A.(x+y)2=x2+2xy+y2,故本选项错误;B.(x-y)2=x2-2xy+y2,故本选项错误;C.(x+2y)(x-2y)=x2- 4y2,故本选项错误;D.(-x+y)2=(x-y)2=x2-2xy+y2,故本选项正确.故选D.D牛牛文库文档分享D2.在下列各式中,与(a-b)2一定相等的是 () A.a2+2ab+b2 B.a2-b2 C.a2+b2 D.a2-2ab+b2解析:(a-b)2=a2-2ab+b2.故选D.牛牛文库文档分享3.(x+y+z)2=()2+2y()+y2,两个括号内应填 () A.x+yB.y+z C.x+zD.x+y+z解

12、析:(x+y+z)2=(x+z)2+2y(x+z) +y2.故选C.C牛牛文库文档分享4.计算.(1)(a+6)2;(2)(b-5)2;(3)(-2a+5)2;(4)(ab+1)(ab-1);(5)(2a-3b)(3b+2a);(6)(-2b-5)(2b-5);(7)(2a+5b)2;(8)(4a-3b)2;(9)(-2a-1)2.解析: (1)(7)(9)根据和的完全平方公式可得答案;(2)(3)(8)根据差的平方等于平方和减积的二倍可得答案;(4)(5)(6)根据平方差公式可得答案.牛牛文库文档分享解: (1)原式=a2+12a+36.(2)原式=b2-10b+25.(3)原式=4a2-2

13、0a+25.(4)原式=(ab)2-1=a2b2-1.(5)原式=(2a)2-(3b)2=4a2-9b2.牛牛文库文档分享(6)原式=(-5)2-(2b)2=25-4b2.(7)原式=(2a)2+22a5b+(5b)2=4a2+20ab+25b2.(8)原式=(4a)2-2(4a)(3b)+(3b)2=16a2-24ab+9b2.(9)原式=(2a)2+2(2a)1+12=4a2+4a+1.牛牛文库文档分享必做题 1.教材第110页练习第1,2题. 2.教材第111页练习第1,2题.选做题 教材第112页习题14.2第2,3题. ?布置作业牛牛文库文档分享2.这个公式的左边和右边各有什么特点?3.(a+b)2 =a 2 +b 2对吗?为什么?两数和的平方,结果应该是三项式.牛牛文库文档分享a+ba+bab ab=(a+b) 2 =a2+2ab+b2+ 牛牛文库文档分享6.比较(a+b)2=a 2+2ab+b 2及(a-b)2 =a 2 -2ab+b 2这两个公式.它们有什么不同?有什么联系?(a+b)2 =a 2 +2ab+b 2 两数和的平方,等于它们的平方和加上这两数积的2倍.牛牛文库文档分享例例1 运用完全平方公式计算运用完全平方公式计算.(1)(4m+n)2;2