概率论与数理统计复习资料——含习题

1、概率论与数理统计课程复 习 资 料1古典概型中计算概率用到的基本的计数方法。古典概型例子摸球模型例1：袋中有a个白球，个黑球，从中接连任意取出m(ma+)个球，且每次取出的球不再放回去，求第m次取出的球是白球的概率; 例2：袋中有a个白球，个黑球，c个红球，从中任意取出(ma+)个球，求取出的m个球中有k1(a) 个白球、k2(b) 个黑球、k3(c) 个红球(k1k2k3=m)的概率.占位模型例：n个质点在N个格子中的分布问题.设有n个不同质点，每个质点都以概率1/N落入N个格子(Nn)的任一个之中，求下列事件的概率： (1) A=指定n个格子中各有一个质点；(2) B=任意n个格子中各有一

2、个质点；(3) C=指定的一个格子中恰有m(mn)个质点.抽数模型例：在09十个整数中任取四个，能排成一个四位偶数的概率是多少？2概率的基本性质、条件概率、加法、乘法公式的应用；掌握事件独立性的概念及性质。如对于事件A，B，或，已知P(A)，P(B)，P(AB)，P(AB)，P(A|B)，P(B|A)以及换为或之中的几个，求另外几个。例1：事件A与B相互独立，且P(A)=0.5，P(B)=0.6，求：P(AB)，P(AB)，P(AB)例2：若P(A)=0.4，P(B)=0.7，P(AB)=0.3，求： P(AB)，P(AB)，3准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式。若已知导致事件A发生(或者

3、是能与事件A同时发生)的几个互斥的事件B i，i=1,2,n,的概率P(B i) ，以及B i发生的条件下事件A发生的条件概率P(A|B i)，求事件A发生的概率P(A)以及A发生的条件下事件B i发生的条件概率P(B i | A)。例：玻璃杯成箱出售，每箱20只。假设各箱含0、1、2只残次品的概率相应为0.8、0.1和0.1，某顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机地察看4只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。试求：（1）顾客买下该箱的概率；（2）在顾客买下的该箱中，没有残次品的概率。4一维、二维离散型随机变量的分布律，连续型随机变量的密度函数性质的运用。分布中待

4、定参数的确定，分布律、密度函数与分布函数的关系，联合分布与边缘分布、条件分布的关系，求数学期望、方差、协方差、相关系数，求函数的分布律、密度函数及期望和方差。(1)已知一维离散型随机变量的分布律P(X=xi)=pi，i=1,2,n,确定参数 求概率P(a<X<b) 求分布函数F(x)求期望E(X)，方差D(X)求函数Y=g(X)的分布律及期望Eg(X)例：随机变量的分布律为.1234k2k3k4k确定参数k求概率P(0<X<3)，求分布函数F(x)求期望E(X)，方差D(X)求函数的分布律及期望(2)已知一维连续型随机变量的密度函数f(x)确定参数求概率P(a<X

5、<b) 求分布函数F(x)求期望E(X)，方差D(X)求函数Y=g(X)的密度函数及期望Eg(X)例：已知随机变量的概率密度为，确定参数k求概率求分布函数F(x)求期望E(X)，方差D(X)求函数的密度及期望(3)已知二维离散型随机变量(X，Y)的联合分布律P(X=xi，Y=yj)=pij，i=1,2,m,；j=1,2,n,确定参数求概率P(X,Y)ÎG求边缘分布律P(X=xi)=pi.，i=1,2,m,；P(Y=yj)=p.j， j=1,2,n, 求条件分布律P(X=xi|Y=yj)，i=1,2,m,和P(Y=yj|X=xi)， j=1,2,n,求期望E(X)，E(Y)，方差

6、D(X)，D(Y)求协方差 cov(X,Y)，相关系数，判断是否不相关求函数Z=g(X, Y)的分布律及期望Eg(X, Y)例：已知随机变量(X,Y)的联合分布律为YX012300.050.10.150.210.030.050.050.0720.020.050.10.13求概率P(X<Y)， P(X=Y)求边缘分布律P(X=k) k=0,1,2 和P(Y=k) k=0,1,2,3 求条件分布律P(X=k|Y=2) k=0,1,2和P(Y=k|X=1) k=0,1,2,3求期望E(X)，E(Y)，方差D(X)，D(Y)求协方差 cov(X,Y)，相关系数，判断是否不相关求Z=X+Y，W=m

7、axX，Y，V=minX，Y的分布律(4)已知二维连续型随机变量的联合密度函数f(x, y)确定参数求概率P(X,Y)ÎG求边缘密度，判断是否相互独立求条件密度，求期望E(X)，E(Y)，方差D(X)，D(Y)求协方差 cov(X,Y)，相关系数，判断是否不相关求函数Z=g(X, Y)的密度函数及期望Eg(X, Y)例：已知二维随机变量(X，Y)的概率密度为，确定常数的值；求概率P(X<Y)求边缘密度，判断是否相互独立求条件密度，求期望E(X)，E(Y)，方差D(X)，D(Y)求协方差 cov(X,Y)，相关系数，判断是否不相关5会用中心极限定理解题。例1：每次射击中，命中目标

8、的炮弹数的均值为2，方差为，求在100次射击中有180到220发炮弹命中目标的概率例2：设从大批发芽率为0.9的种子中随意抽取1000粒，试求这1000粒种子中至少有880粒发芽的概率。6熟记(0-1)分布、二项分布、泊松分布的分布律、期望和方差，指数分布(参数)、均匀分布、正态分布的密度函数、期望和方差。数理统计部分必须要掌握的内容以及题型1统计量的判断。对于来自总体X的样本，由样本构成的各种函数是否是统计量。2计算样本均值与样本方差及样本矩。3熟记正态总体样本均值与样本方差的抽样分布定理。4会求未知参数的矩估计、极大似然估计。例：设总体的概率密度为，是来自总体的一个样本，求未知参数的矩估计

9、量与极大似然估计量.5掌握无偏性与有效性的判断方法。对于来自总体X的样本，判断估计量是否无偏，比较哪个更有效。例：设是来自总体的一个样本，下列统计量是不是总体均值的无偏估计； 求出方差，比较哪个更有效。6会求正态总体均值与方差的置信区间。 对于正态总体，由样本结合给出条件，导出参数的置信区间。7理解假设检验的基本思想和原理，明确正态总体均值与方差的假设检验的基本步骤。 对于单、双正态总体根据给定条件，确定使用什么检验方法，明确基本步骤。例：设，u和未知，(X1，Xn)为样本，(x1,xn)为样本观察值。(1)试写出检验u与给定常数u0有无显著差异的步骤；(2)试写出检验与给定常数比较是否显著偏

10、大的步骤。1古典概型中计算概率用到的基本的计数方法。古典概型例子 摸球模型例1：袋中有a个白球，个黑球，从中接连任意取出m(ma+)个球，且每次取出的球不再放回去，求第m次取出的球是白球的概率; 分析：本例的样本点就是从a+中有次序地取出m个球的不同取法；第m次取出的球是白球意味着：第次是从a个白球中取出一球，再在a+-1个球中取出m-1个球。解：设B第m次取出的球是白球 样本空间的样本点总数： 事件B包含的样本点： ，则 注：本例实质上也是抽签问题，结论说明按上述规则抽签，每人抽中白球的机会相等，同抽签次序无关。例2：袋中有4个白球，5个黑球，6个红球，从中任意取出9个球，求取出的9个球中有

11、1 个白球、3个黑球、5个红球的概率.解：设B取出的9个球中有1个白球、3个黑球、5个红球 样本空间的样本点总数： =5005 事件B包含的样本点： =240，则 P(B)=120/1001=0.048占位模型例：n个质点在N个格子中的分布问题.设有n个不同质点，每个质点都以概率1/N落入N个格子(Nn)的任一个之中，求下列事件的概率： (1) A=指定n个格子中各有一个质点；(2) B=任意n个格子中各有一个质点；(3) C=指定的一个格子中恰有m(mn)个质点.解：样本点为n个质点在N个格子中的任一种分布，每个质点都有N种不同分布，即n个质点共有Nn种分布。故样本点总数为：Nn (1)在n

12、个格子中放有n个质点，且每格有一个质点，共有n!种不同放法；因此，事件A包含的样本点数：n!，则 (2)先在N个格子中任意指定n个格子，共有种不同的方法；在n个格子中放n个质点，且每格一个质点，共有n!种不同方法；因此，事件B包含的样本点数： ，则(3)在指定的一个格子中放m(mn)个质点共有种不同方法；余下n-m个质点任意放在余下的N-1个格子中,共有种不同方法.因此，事件C包含的样本点数： , 则抽数模型例：在09十个整数中任取四个，能排成一个四位偶数的概率是多少？解：考虑次序.基本事件总数为：=5040，设B=能排成一个四位偶数 。若允许千位数为0，此时千位数可在0、2、4、6、8这五个

13、数字中任选其一，共有5种选法；其余三位数则在余下的九个数字中任选，有种选法；从而共有5=2520个。其中，千位数为0的“四位偶数”有多少个？此时个位数只能在2、4、6、8这四个数字中任选其一，有4种选法；十位数与百位数在余下的八个数字中任选两个，有种选法；从而共有4=224个。 因此=2296/5040=0.4562概率的基本性质、条件概率、加法、乘法公式的应用；掌握事件独立性的概念及性质。例1：事件A与B相互独立，且P(A)=0.5，P(B)=0.6，求：P(AB)，P(AB)，P(AB)解：P(AB)= P(A)P(B)=0.3，P(AB)= P(A)P(AB)=0.2，P(AB)= P(

14、A)P(B)P(AB)=0.8例2：若P(A)=0.4，P(B)=0.7，P(AB)=0.3，求： P(AB)，P(AB)，解：P(AB)=0.1，P(AB)=0.8，=3/7，=4/7，=2/33准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式。例：玻璃杯成箱出售，每箱20只。假设各箱含0、1、2只残次品的概率相应为0.8、0.1和0.1，某顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机地察看4只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。试求：（1）顾客买下该箱的概率；（2）在顾客买下的该箱中，没有残次品的概率。解：设事件表示“顾客买下该箱”，表示“箱中恰好有件次品”，。则，。由全概率公

15、式得 ；由贝叶斯公式 。4(1)例：随机变量的分布律为.1234k2k3k4k确定参数k求概率P(0<X<3)，P(1<X<3)求分布函数F(x)求期望E(X)，方差D(X)求函数的分布律及期望解：由 ，有 k2 k3 k4 k =1 得 k =0.1 P(0<X<3)= P(X=1)P(X=2)=0.3，P(1<X<3)= P(X=2)=0.2 =3，=10，D(X)=1Y014P0.30.60.1 =1(2)例：已知随机变量的概率密度为，确定参数k求概率P(1<X<3)求分布函数F(x)求期望E(X)，方差D(X)求函数的密度函数

16、及期望解：由 =1，有 =1，得 k=3/8 P(1<X<3)=7/8. =3/2，=12/5 D(X)=3/20 =(3)例：已知随机变量(X,Y)的联合分布律为YX012300.050.10.150.210.030.050.050.0720.020.050.10.13求概率P(X<Y)， P(X=Y)求边缘分布律P(X=k) k=0,1,2 和P(Y=k) k=0,1,2,3 求条件分布律P(X=k|Y=2) k=0,1,2和P(Y=k|X=1) k=0,1,2,3求期望E(X)，E(Y)，方差D(X)，D(Y)求协方差 cov(X,Y)，相关系数，判断是否不相关求Z=X

17、+Y，W=maxX，Y，V=minX，Y的分布律解：P(X<Y)=0.7， P(X=Y)=0.2 X的分布律X012p0.50.20.3Y的分布律Y0123p0.10.20.30.4X的条件分布律X|Y=2012p1/21/61/3Y的条件分布律Y|X=10123p0.150.250.250.35=0.8，=1.4，D(X)=0.76=2，=5，D(Y)=1=1.64，cov(X,Y)=0.04 =0.046 相关Z=XY的分布律Z012345p0.050.130.220.30.170.13W=maxX，Y的分布律W0123p0.050.180.370.4V=minX，Y的分布律V012

18、p0.550.220.23(4)例：已知二维随机变量(X，Y)的概率密度为，确定常数的值；求概率P(X<Y)求边缘密度，判断是否相互独立求条件密度，求期望E(X)，E(Y)，方差D(X)，D(Y)求协方差 cov(X,Y)，相关系数，判断是否不相关解：由 =1，有 =1，得 c=21/4 P(X<Y)=0.85 X与Y不独立 =0=7/15D(X)=7/15=7/9=7/11 D(Y)=28/891=0cov(X,Y)=0， =0，X与Y不相关5会用中心极限定理解题。例1：每次射击中，命中目标的炮弹数的均值为2，方差为，求在100次射击中有180到220发炮弹命中目标的概率解：例2：设从大批发芽率为0.9的种子中随意抽取1000粒，试求这1000粒种子中至少有880粒发芽的概率。解：设这批种子发芽数为，则，由中心极限定理得所求概率为。数理统计部分必须要掌握的内容以及题型1统计量的判断。2计算样本均值与样本方差及样本矩。3熟记正态总体样本均值与样本方差的抽样分布定理。4会求未知参数的矩估计、极大似然估计。例：设总体的概率密度为，是来自总体的一个样本，求未知参数的矩估计量与极大似然估计量.5掌握无偏性与有效性的判断方法