2020高考理数(新课标版)总复习教学案第7章第4节直线、平面垂直的判定及其性质

1、1第四节 直线、平面垂直的判定及其性质考纲传真1以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题.1. 直线与平面垂直(1) 定义：如果直线 I 与平面a内的任意一条直线都垂直，则直线 I 与平面a垂直.(2) 判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直 线与此平面垂直.(3) 推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条也 垂直于这个平面.(4) 直线和平面垂直的性质：1垂直于同一个平面的两条直线平行.2直线垂直于平面，则垂直于这个平面内的任一直线.3

2、垂直于同一条直线的两平面平行.2. 直线和平面所成的角(1) 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平 面所成的角.(2) 当直线与平面垂直和平行(或直线在平面内)时，规定直线和平面所成的角 分别为 90 和 0.(3) 直线和平面所成角的范围是 0w90.3. 二面角的有关概念二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.(2) 二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.二面角的范围是 0w氏 180.课刖知识全通关夯实基础*拒除盲点24. 平面与平面垂直(1) 定义：如果两个平

3、面所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂 直.(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判疋疋理一个平面过另一个平 面的垂线，则这两个平 面垂直I丄 aI?J?CLLB性质疋理两个平面垂直，则一个 平面内垂直于交线的 直线与另一个平面垂 直aXB、I?B .卜？1 丄a aGA a I 丄 aJ常用结论1. 若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.2. 一条直线垂直于两平行平面中的一个， 则这条直线与另一个平面也垂直.3. 两个相交平面同时垂直于第三个平面， 它们的交线也垂直于第三个平面.4. 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直.5. 过一点

4、有且只有一个平面与已知直线垂直.基础自测1. (思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“V”，错误的打“X”)(1) 直线 I 与平面a内的无数条直线都垂直，则 I 丄a()(2) 垂直于同一个平面的两平面平行.()(3) 若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线平行.()(4) 若两个平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.答案X(2)x(3)X x2. “直线 a 与平面 M 内的无数条直线都垂直”是“直线 a 与平面 M 垂直” 的()3A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D.既不充分也不必要条件B 根据直线与平面垂直的定义知 “直线 a 与平

5、面 M 内的无数条直线都垂直”不能推出“直线 a 与平面 M 垂直”，反之可以，所以是必要不充分条件.故选 B.3.(教材改编)设a, B是两个不同的平面， I,m是两条不同的直线， 且I?a,m?B()A .若 I 丄B,贝U a丄BB .若a丄B,则丨丄 mC.若 I /B,贝uallBD .若allB,则 I / mA Tl 丄 B, I? a, a 丄 B 面面垂直的判定定理),故 A 正确.4. 如图所示,已知 PA 丄平面 ABC , BC 丄 AC ,则图中直角三角形的个数为_.4 TPA 丄平面 ABC , PA 丄 AB , PA 丄 AC , PA 丄 BC ,则厶 PAB

6、 , PAC 为直角三角形.由 BC 丄 AC,且 ACnFA=A, BC 丄平面 PAC ,从而 BC 丄 PC.因此 ABC , PBC 也是直角三角形.5.边长为 a 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角,则折叠后 AC 的4长为_.a 如图所示，取 BD 的中点 0,连接 A O, CO,则/ A 0C 是二面角 A -BD-C 的平面角.即/A 0C = 90 又 A 0 = C0 =a2a2-A C= 2 +2 =a，即折叠后 AC 的长(A C)为 a.直线与平面垂直的判定与性1题型1|质?考法 1 直线与平面垂直的判定【例 1】(2018 全国卷U)如图，在三棱锥

7、P-ABC 中，AB= BC= 2 2, FA=FB= FC = AC= 4，0 为 AC 的中点.证明：P0 丄平面 ABC;(2) 若点 M 在棱 BC 上，且 MC = 2MB，求点 C 到平面 P0M 的距离.2a，课堂题型全突破考点.全面5解证明：因为 AP= CP= AC= 4，0 为 AC 的中点，所以 OP 丄 AC,且 OP= 2 3.连接 OB因为 AB= BC = AC,所以 ABC 为等腰直角三角形，且 OB 丄 AC,1OB= AC = 2.2 2 2由 OP + OB = PB 知，OP 丄 OB.由 OP 丄 OB, OP 丄 AC, OB?平面 ABC, AC?

8、平面 ABC, OBAAC= O, 知 PO丄平面 ABC.作 CH 丄 OM，垂足为 H.又由（1）可得 OP 丄 CH , OP?平面 POM , OM?平面 POM , OPAOM = O,所以 CH 丄平面 POM.故 CH 的长为点 C 到平面 POM 的距离.124I2由题设可知 OC = 2AC= 2, CM = BC= 3 , /ACB = 4525OC MC sin/ ACB W5所以OM二亍，CH 二-OM- - .所以点 C 到平面 POM 的距离为455.?考法 2 直线与平面垂直的性质【例 2】（2017 江苏高考）如图，在三棱锥 A-BCD 中，AB 丄 AD, B

9、C 丄 BD,6平面 ABD 丄平面 BCD，点 E,F（E 与 A,D 不重合）分别在棱 AD,BD 上，且 EF 丄 AD.求证：(1)EF /平面 ABC;(2)AD 丄 AC.证明(1)在平面 ABD 内，因为 AB 丄 AD , EF 丄 AD,所以 EF / AB.又因为 EF?平面 ABC, AB?平面 ABC,所以 EF /平面 ABC.(2)因为平面 ABD 丄平面 BCD,平面 ABDA平面 BCD= BD,BC?平面 BCD, BC 丄 BD, 所以 BC 丄平面 ABD.因为 AD?平面 ABD，所以 BC 丄 AD.又 AB 丄 AD, BCAAB= B, AB?平面

10、 ABC, BC?平面 ABC, 所以 AD 丄平面ABC.又因为 AC?平面 ABC,所以 AD 丄 AC.规律方法1证明直线与平面垂直的常用方法(1) 利用线面垂直的判定定理.(2) 利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”(3) 利用“一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则与另一个也垂直”(4) 利用面面垂直的性质定理.2.证明线线垂直的常用方法利用特殊图形中的垂直关系.(2) 利用等腰三角形底边中线的性质.7(3) 利用勾股定理的逆定理.(4) 利用直线与平面垂直的性质.跟踪第习1如图所示，在四棱锥 P-ABCD 中，PA 丄底面 ABCD, AB 丄 AD, AC

11、 丄 CD,/ ABC= 60 PA=AB= BC, E 是 PC 的中点.证明：(1) CD 丄 AE;(2) PD 丄平面 ABE.证明在四棱锥 P-ABCD 中，TPA 丄平面 ABCD,CD?平面 ABCD,二 PA 丄 CD.又 AC 丄 CD, 且 PAGAC = A,CD 丄平面 PAC.而 AE?平面 PAC,二 CD 丄 AE.由 PA=AB= BC, / ABC = 60 可得 AC= PA.TE 是 PC 的中点， AE 丄 PC.由(1)知 AE 丄 CD, 且 PCnCD = C, AE 丄平面 PCD.又 PD?平面 PCD , AE 丄 PD.TFA 丄底面 AB

12、CD, PA 丄 AB.又TAB 丄 AD, 且 PAGAD = A , AB 丄平面 PAD , 而 PD?平面 PAD , AB 丄 PD.又 ABAAE = A,二 PD 丄平面 ABE.8面面垂直的判定与性【例 3】(2018 全国卷I)如图，在平行四边形 ABCM 中，AB= AC= 3,/ ACM= 90.以 AC 为折痕将厶 ACM 折起，使点 M 到达点 D 的位置，且 AB 丄 DA.(1) 证明：平面 ACD 丄平面 ABC;2(2) Q 为线段 AD 上一点，P 为线段 BC 上一点，且 BP= DQ =DA，求三棱 锥Q-ABP 的体积.解证明：由已知可得，/ BAC

13、= 90, BA 丄 AC.又 BA 丄 AD，且 AC?平面 ACD，AD?平面 ACD，ACAAD = A,所以 AB 丄平面 ACD.又 AB?平面 ABC，所以平面 ACD 丄平面 ABC.(2)由已知可得，DC = CM = AB= 3，DA= 3 2.又 BP= DQ =2DA，所以 BP = 2 2.作 QE 丄 AC,垂足为 E,贝 U QEDC.9由已知及 可得 DC 丄平面 ABC，所以 QE 丄平面 ABC, QE= 1.1 11因此，三棱锥 Q-ABP 的体积为VQ-ABP=3XQEXSSBP=3X1x2x3X2 2 sin 45丄 1.规律方法证明面面垂直的 2 种方

14、法(1)定义法：利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角,将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题.(2)定理法：利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，把问题转化成证明线线垂直加以解决,注意：三种垂直关系的转化(2018 江苏高考)在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中，AAAB，AB1丄 B1C1.求证：(1)AB /平面 A1B1C;平面 ABB1A1丄平面 A1BC.证明在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中，AB/ A1B1.因为 AB?平面A1B1C，A1B1?平面 A1B1C，所以 AB/平面 A1B1C.(2)在平行六面体

15、 ABCD-A1B1C1D1中，四边形 ABB1A1为平行四边形.又因为 AA1= AB,所以四边形 ABB1A1为菱形,因此匕 AB1丄 A1B.线线垂直10又因为 AB1丄 B1C1, BC/ B1C1,11所以 ABi丄 BC.又因为 AiBABC= B, AiB?平面 AiBC, BC?平面 AiBC,所以 ABi丄平面 AiBC.因为 ABi?平面 ABBiAi,所以平面 ABBiAi丄平面 AiBC.垂直关系中的存在性冋1題型9|一题【例 4】 如图，三棱锥 P-ABC 中，FA 丄平面 ABC, FA= i, AB= i, AC=2,ZBAC=60.求三棱锥 P-ABC 的体积;

16、(2)在线段 PC 上是否存在一点 M，使得 AC 丄 BM，若存在求 MC 的值，并说明理由.解由题设 AB= i, AC = 2, / BAC = 60i可得SMBC=2 AB AC sin 60 丄.由 PA 丄平面 ABC，可知 FA 是三棱锥 P-ABC 的高,又 FA= i,所以三棱锥 P-ABC 的体积13V= 3SABCPA= 6 .PM 1(2)在线段 PC 上存在一点 M，使得 AC 丄 BM,此时证 =3.12证明如下：如图，在平面 PAC 内，过点 M 作 MN / PA 交 AC 于 N,连接 BN,BM.BC由 PA 丄平面 ABC 知 FAXAC,所以 MN 丄

17、AC.由MNaPA知NC=MMC=3.1所以AN =2，在厶 ABN 中，BN2= AB2+ AN2-2AB ANcosZBAC= 12+1 2-2X1X34，2 2 2所以 AN + BN = AB ,即 AC 丄 BN.由于 BNPMN = N, 故 AC 丄平面 MBN.又 BM?平面 MBN.所以 AC 丄 BM.规律方法1.对命题条件探索性的主要途径：1 先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；2 先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性.2.平行 垂直中点的位置探索性问题：一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个， 也可

18、以根据相似知 识建点.跟踪练习 如图，四边形 ABCD 为梯形，AB/ CD, PD 丄平面 ABCD，ZBAD13=ZADC=90DC=2AB=2，DA=3.14线段 BC 上是否存在一点 E,使平面 PBC 丄平面 PDE ?若存在，请给出富 的值，并进行证明；若不存在，请说明理由.(2)若 PD = ,3,线段 PC 上有一点 F，且 PC= 3PF，求三棱锥 A-FBD 的体 积.BE解存在线段 BC 的中点 E，使平面 PBC 丄平面 PDE，即 CE= 1证明如下：连接 DE，PE，vZBAD=/ADC=90AB=1,DA=. 3,二 BD=DC=2, E 为 BC 的中点，二 B

19、C 丄 DE,vPD 丄平面 ABCD,二 BC 丄 PD,vDEnPD = D , BC 丄平面 PDE,vBC?平面 PBC,平面 PBC 丄平面 PDE.(2)vPD 丄平面 ABCD, 且 PC = 3PF,点 F 到平面 ABCD 的距离为2PD = 3,2 也_ 1三棱锥 A-FBD 的体积VA-FBDVF-ABD= xix,3153 二 3.16平面图形的翻折问1題型4|题n【例 5】 如图 1,在直角梯形 ABCD 中，AD/ BC,/ BAD =，AB = BC 1=2AD = a, E 是 AD 的中点，0 是 AC 与 BE 的交点.将厶 ABE 沿 BE 折起到图 2

20、中厶AiBE 的位置，得到四棱锥 Ai-BCDE.图 1图 2(1) 证明：CD 丄平面 AiOC;(2) 当平面 A1BE 丄平面 BCDE 时，四棱锥 A1-BCDE 的体积为 36. 2,求 a 的 值.解(1)证明：在题图 1 中，连接 EC(图略)， 1因为 AB= BC= ?AD = a，nE 是 AD 的中点，/ BAD =，所以 BE 丄 AC.即在题图 2 中，BE 丄 A1O，BE 丄 OC，从而 BE 丄平面 A1OC.又 CD / BE,所以 CD 丄平面 A1OC.由已知，平面 A1BE 丄平面 BCDE,且平面 A1BEA平面 BCDE= BE,又由(1)可得 A1

21、O 丄 BE,所以 A1O 丄平面 BCDE.即 A1O 是四棱锥 A1-BCDE 的高.17V2亚AO = AO= 2 AB= 2 a,2112223=a，从而四棱锥 Ai-BCDE 的体积为 V=3S AiO = 3Xax-a6a .由&3= 36 2，得 a= 6.规律方法平面图形的翻折问题，关键是搞清翻折前后图形中线面位置关 系和度量关系的变化情况一般地，翻折后还在同一平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化跟踪练习(2018 鄂州模拟)如图，在 Rt ABC 中，AB= BC= 3,点 E, F 分 别在线段 AB，AC 上，且 EF /AEF 沿 EF 折起到

22、 PEF 的位置，使得二面角 P-EF-B 的大小为 60求证：EF 丄 PB;(2)当点 E 为线段 AB 的靠近 B 点的三等分点时，求四棱锥 P-EBCF 的侧面积.解证明：在 RtAABC 中，TAB= BC= 3，二 BC 丄 AB. EF / BC， EF 丄 AB，翻折后垂直关系没变，仍有 EF 丄 PE，EF 丄 BE， EF 丄平面 PBE，二 EF 丄 PB.(2)TEF 丄 PE，EF 丄 BE，/-ZPEB 是二面角 P-EF-B 的平面角，/ PEB= 60,又 PE = 2，BE= 1,由余弦定理得 PB = 3,/ PB2+ BE2= PE2，/ PB 丄 BE，

23、/ PB，BC，BE 两两垂直，又 EFPE，EF 丄 BE，PBE， PBC， PEF 均为直角三角形.由题图 1 知,平行四边形 BCDE 的面积 S= BC AB182由厶 AEFsABC 可得，EF = BC = 2，19在四边形 BCFE 中，过点 F 作 BC 的垂线，垂足为 H(图略)，则 FC2= FH2+ HC2=BE2+ (BC- EF)2= 2, FC = _2.在厶 PFC 中，FC = 2, PC=；BC2+ PB2= 2,3, PF=：PE2+ EF2= 2 2,二四棱锥 P-EBCF 的侧面积为SPBC+SPBE+ SAPEF+ SAPFC= 2+ 2 3+1.

24、(2018 全国卷川)如图，矩形 ABCD 所在平面与半圆弧 CD 所在平面垂直,M 是 CD 上异于 C , D 的点.(1)证明：平面 AMD 丄平面 BMC;(2)在线段 AM 上是否存在点 P,使得 MC /平面 PBD?说明理由.解证明： 由题设知， 平面CMD丄平面ABCD,交线为CD因为BC丄CD ,BC?平面 ABCD，所以 BC 丄平面 CMD , 故 BC 丄 DM.18PBC=qBC PB =3、32，1SPBE=2PBBE=1SPEF= 2EF PE = 2.由余弦定理可得cos/ PFC =则 sin/ PFC154 ，2 2 2PF2+ FC2- PC22PF FC