高等代数复习提纲

1、高等代数复习提纲第五章 二次型5、1、 二次型及其矩阵表示5、1、1、 二次型的定义、二次型的矩阵 （就是对称矩阵 ） 及矩阵表示、注 : 二次型的矩阵表示、内积的矩阵表示、双线性函数的矩阵表示的对比、5、1、2、 二次型的非退化线性替换的定义 ; 经非退还线性替换后 ,新老两个 二次型的矩阵的关系 （ 会推导）、5、1、3、 矩阵合同的定义、注: 为什么要引入该定义 ?5、2、 标准形5、2、1、 二次型的标准形的定义及存在性 （不唯一 ）, 任一对称矩阵都与对角 矩阵合同、5、2、2、配方法化二次型为标准形 , 合同变换法化对称矩阵为对角阵、5、3、 唯一性5、3、1、复二次型的规范形、5

2、、3、2、实二次型的规范形 , 惯性定理说明实二次型的规范形的存在性与唯 一性, 实二次型的正惯性指数 , 负惯性指数以及符号差的定义、 实二次型的规范 形的一些应用 （ 书上哪些习题可以用此来解答 ?）、5、3、3、复对称矩阵与实对称矩阵分别与怎样的最简单的对角阵合同?5、4、 正定二次型5、4、1、实二次型与实对称矩阵的分类 : 正定,半正定, 负定, 半负定, 不定、5、4、 2、正定矩阵的一些等价条件 :（1） 正定矩阵的定义 ;（2） 合同于单位矩阵 ;（3） 所有顺序主子式大于 0;（4） 所有特征值大于 0、正定矩阵的一些必要但不充分条件 : （1）|A|>0;（2） 所有

3、对角线上的元素都大 于 0;（3） 所有主子式都大于 0 、注:这些等价、必要条件的推导、 还要会用实对称矩阵正交相似于对角阵这一 结果来判定实对称矩阵的正定性、5、4、3、列举出一些半正定矩阵的等价条件与必要条件、第六章 线性空间6、1、 集合 映射 单射、满射、双射的定义及证明 ; 可逆映射的定义及等价条件 （ 即双射 ）、6、2、 线性空间的定义与简单性质线性空间的定义 , 即非空集合 , 加法运算与数乘运算 （ 封闭 ）,8 条运算规则、6、3、 维数、基与坐标6、3、1、 维数、基与坐标的定义 （ 会求给定空间的维数、基以及给定向量在给 定基下的坐标 ） 、6、3、2、 一些常见空间

4、的基与维数,例如Pn , Pxh, Psn, Pnn中全体对 称（反对称/ 上三角形 ）矩阵形成的线性空间 ,L（V） 等、6、4、 基变换与坐标变换不同基之间的过渡矩阵 , 一个向量在不同基下的坐标之间的关系 （ 会推导 ） 、 注: （1） 要联系线性变换在某组基下的矩阵、一个向量在线性变换作用下的像的 坐标;（2） P271 的习题 2、6、5、 线性子空间6、5、1、 线性子空间的定义及判定 （如何判定？ ）、6、5、2、生成子空间的定义、维数、基 （如何求？ ）、6、5、3、扩基定理、与第九章的扩充为正交基进行对比、书上哪些定理的证明 与习题的证明用到扩基定理？6、6、 子空间的交与

5、与6、6、1、交空间、与空间的定义以及这两子空间的元素的特征、6、6、2、会求两个生成子空间的交空间、与空间、6、6、3、维数公式 （ 会证明 ）及其应用、6、7、 子空间的直与6、7、1、子空间的直与的定义 （ 为什么要引入该定义？ ）、 6、7、2、两个子空间的与就是直与的判别条件 （列举出 4 个, 并知道哪些就是常 用的）、6、7、3、如何证明 V V1 V2 ？6、7、4、多个子空间就是直与的判别条件 （列举出 3个,并会证明 ）、6、7、5、 余子空间的定义与构造、 （ 余子空间就是否唯一？与正交补进行比较 ） 6、8、 线性空间的同构线性空间同构的定义 , 并会用该定义证明两线性

6、空间同构 , 会构造 V 与 P 之间 的同构映射 , 知道两线性空间同构的等价条件为它们的维数相等、 第七章 线性变换7、1、 线性变换的定义 线性变换的定义 （熟记 ）, 列举出一些线性变换的简单性质并会证明、7、2、 线性变换的运算 线性变换的加法、减法、数乘、乘法、逆、方幂的定义及运算规律 ; 线性变换的 多项式、注: 与矩阵的相应运算进行比较、7、3、 线性变换的矩阵7、3、1、 任意 n 个向量可唯一确定一个线性变换 （如何确定？见 P283 定理 1） 、7、3、2、 线性变换在某组基下的矩阵的定义 , 线性变换与矩阵的对应关系 : 线性 变换的与、差、数乘、乘积、逆对应矩阵的与

7、、差、数乘、乘积、逆 , 单位变换、 零变换分别对应单位矩阵与零矩阵 （会用数学式子表示这种对应 , 会推导）、7、3、 3、向量 的坐标与 A 的坐标之间的关系 , 同一个线性变换在不同基下的 矩阵之间的关系 （会推导 ） 、7、3、4、两个矩阵相似的定义 （ 为什么引入该定义？ ）, 如何判别两个矩阵相似？7、4、 特征值与特征向量7、4、1、线性变换与矩阵的特征值与特征向量的定义 （为什么要引入该定义？ ） 、 如何求线性变换与矩阵的特征值与特征向量？线性变换与矩阵的特征值与特征 向量之间的关系如何？ （ 掌握求特征值与特征向量的步骤 ）7、4、2、 线性变换与矩阵的特征多项式的定义、相

8、似矩阵有哪些相似不变量, 例如 : 行列式、特征多项式、特征值、最小多项式、不变因子、行列式因子、初 等因子等、7、4、3、哈密顿-凯莱定理及其应用(例如:P309定理12,P326习题3),矩阵的迹 的定义, 列举出一些矩阵迹的性质( 例如: 、迹就 是所 有 特征 值的与;tr(AB)=tr(BA); tr (A2) tr(AA')、7、5、 对角矩阵7、5、 1、矩阵特征值特征向量的一些性质 (不同特征值的特征向量线性无关 ;实 对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交 ; 属于不同特征值的特征向量的与不 就是特征向量 )7、5、 2、列举出矩阵可对角化的一些充要条件与一些充分条件

9、、 充要条件 :(1) 有 n 个线性无关的特征向量 ;(2) 所有特征值的重数与其几何重数相等 (特征值 的几何重数指的就是( E A)X 0的基础解系所含解向量的个数 );(3) 最小多项式没有重根 ;(4) 初等因子都就是 1 次因式、7、5、 3、若矩阵可对角化 , 如何对角化？7、6、 线性变换的值域与核7、 6、 1、线性变换的值域与核的定义、 值域与核就是子空间 , 它们中的元素有 什么特征？7、 6、 2、值域如何用生成子空间来表示？值域的维数 (线性变换的秩 )与线性变 换的矩阵的秩的关系如何？ , 值域的维数与核的维数 (线性变换的零度 )的与为多 少？并会证明这两种关系、

10、7、 7、 不变子空间7、 7、 1、不变子空间的定义、线性变换在不变子空间上的限制成为该子空间上 的一个线性变换 , 该限制与原变换之间的区别就是什么？举出一些特殊的不变子 空间、7、 7、 2、会用定义证明一个子空间就是一个线性变换的不变子空间、7、7、3、不变子空间在矩阵A相似于一个准对角矩阵方面的应用、7、 8、 若尔当标准形介绍若尔当块、若尔当矩阵的定义 , 任何方阵都唯一存在若尔当标准形 , 即相似于一个 若尔当矩阵、7、9、 最小多项式最小多项式的定义 ,性质,求法,与不变因子的关系 ,应用、 第八章 - 矩阵8、1、矩阵A的特征矩阵及其初等变换，数字矩阵相似的条件,A的不变因子

11、、行 列式因子、初等因子、最小多项式的求法及其关系 , 以及若尔当标准形的求法、8、2、A的有理标准形的求法、8、3、利用若尔当块、若尔当矩阵的性质以及A相似于一个若尔当矩阵证明某些 命题、第九章 欧几里得空间9、1 、 定义及基本性质9、1、1、 内积的定义及其简单性质 , 欧式空间的定义 , 向量的正交的定义 , 会求 向量的内积、长度、夹角、9、1、2、柯西-布涅科夫斯基不等式、三角不等式 , 勾股定理（会推导） 、 9、1、3、内积的矩阵表示 （ 会推导）9、1、4、基在某内积下的度量矩阵的定义及其性质 （ 正定）, 不同基在同一内积下 的度量矩阵之间的关系 （合同）（ 会推导）、9、

12、 2、 标准正交基9、2、1、标准正交基的定义 , 如何判定一组基就是标准正交基？标准正交基的度 量矩阵, 内积在标准正交基下的矩阵表示、9、2、2、正交向量组扩充为正交基 （或单位正交向量组扩充为标准正交基 ） 的应 用（ 书上有哪些结论的证明与习题的证明用到了该性质？ ）9、2、3、掌握施密特正交化过程及相应的向量表示 , 即:（ 1, 2,L , n ） （ 1, 2,L , n）T其中1, 2,L , n就是任一组基，1, 2,L , n就是由1, 2丄，n经施密特正交化后得到的标准正交基，矩阵T就是一个对角线上元素都大于 0的上三角形矩阵。正 交矩阵的分解（见P394习题14）、9、

13、2、4、两组标准正交基之间的过渡矩阵的性质（即AA =E）（会推导）、9、 2、 5、正交矩阵的定义 , 正交矩阵的性质 （例如: 两个正交矩阵的乘积还就是正 交阵, 正交矩阵的逆、转置与伴随矩阵也还就是正交矩阵 ,正交矩阵的行列式为正 负 1,正交矩阵的特征值为正负 1）、9、 3、 同构欧式空间的同构的定义及等价条件 （与线性空间同构比较 ）、9、 4、 正交变换9、 4、 1、正交变换的定义 , 正交变换的判定条件 , 正交变换与正交矩阵之间的对 应关系、9、 4、 2、正交变换的分类 ,两类正交变换都有些什么性质 （例如奇数维欧几里得 空间的第一类正交变换 ,必以1为特征值 ,偶数维欧

14、几里得空间的第二类正交变换 必以 1为特征值 ） ？镜面反射的定义、9、 5、 子空间9、 5、 1、向量与子空间的正交 , 子空间与子空间的正交、9、 5、 2、正交补的定义、表示 （正交补中元素的特征 ）及性质、9、 6、 实对称矩阵的标准形9、 6、 1、实（反）对称矩阵的性质 （例如:实对称矩阵的特征值都就是实数 ; 实对称矩阵不同特征值所对应的特征向量必正交 ; 实对称矩阵必可正交对角化 实反对称矩阵的特征值都就是零或纯虚数 ）、9、 6、 2、 （ 反）对称变换的定义 ,（ 反）对称变换与 （反）对称矩阵之间的对应关系、 对称变换的性质、9、 6、 3、实对称矩阵的正交相似对角矩阵的求解过程以及运用A T' T T 1 T（或T'AT T 1AT）证明某些问题，其中T就是正交矩阵， 就是对角矩阵，其对角线上元素为A的特征值、 9、6、4、实二次型经正交线性替换化为标准形、9、7、 向量到子空间的距离、最小二乘法9、7、1、向量到子空间各向量的距离以垂线为最短、9、7、 2、最小二乘解的求法、9、8、 酉空间介绍