2020年高考文数(人教版)教学案第32讲平面向量的数量积

1、第 32 讲 平面向量的数量积 I复习目 _ , 1 理解和掌握平面向量的数量积及其几何意义. 2 掌握平面向量数量积的性质、运算律及其运算. 3 掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算. 4 能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. . _ 知识梳理 1 .两向量的夹角与垂直 已知两个非零向量 a , b,作OA = a, OB = b,贝 U ZAOB = 9(0 180 叫做向量 a, b 的夹角，特别地，当 a 与 b 夹角为 90。时，我们说 a 与 b 垂直，记作 a 丄 b . 2. 向量数量积的定义 已知两个非零向量 a, b,它们的夹

2、角为 9,我们把数量 |a| |b|cos 9叫做 a 与 b 的数 量积，记作 a b,即卩 a b= |a| |b|cos 9 . 规定 0 与任一向量的数量积为 0 3. ab 的几何意义 (1) 一个向量在另一个向量方向上的投影. 设9是向量 a 与 b 的夹角，贝U |a|cos 9叫做 a 在 b 方向上的投影， |b|cos 9叫做 b 在 a 方向上的投影. (2) a b 的几何意义：a b 等于 a 的长度 |a|与 b 在 a 方向上的投影 |b|cos 9的乘积. 4. 向量数量积的性质 a, b 是两个非零向量，它们的夹角为 9. (1)当 a 与 b 同向时，a b

3、= |a|b| ;当 a 与 b 反向时，a b= - |a|b| ;特别地，a a =a2= |a|2 或 |a|= a a (2) a b=0 a 丄 b . a b (3) cos 9= . |a|b| (4) | a b| w |a|b|. 5. 向量数量积的运算律 (1) a b= b a (交换律). (2) (扫)b= Xa b) = a (血)(入 R). (3)( a + b) c= a c+ b c . 6. 向量数量积的坐标表示 (1) 若 a= (x1, yj, b= (x2, 丫2),贝 U a b= X1X2+ yy2 (2) 若 a= (x, y)，贝 U a a

4、 = a2= |a|2= x + y2 , |a|= , x2+ y2 (3)若 A(xi, yi), B(X2, y2),贝 U |AB|= p(X2 xi j+(y2 yi f ，此时为两点间的距离公 式. (4) 若 a= (xi, yi), b= (X2, y2),贝 U a丄b xiX2+ yiy2= 0 (5) a, b 是两个非零向量，它们的夹角为 0, a = (xi, yi), b =(X2, y2)，贝 U cos 0= xix2 + yiy2 C2 2 r2 2 . xi + yi x2+ y2 i .两个向量 a, b 的夹角为锐角？ a b0 且 a, b 不共线;

5、两个向量 a, b 的夹角为钝角？ a b i 3yF3 所以 AE= （5, 3）, BF = （-2,宁）, 1 33 所以 AE BF = （5, .3） （-2, 亍） 1 厂鉅 =5X （尹 3X- = 2. .L课匹 _ 1. 平面向量 a 与 b 的数量积为 ab=|a|bCos 0,它是一个实数，而不是向量，其中 0 是 a 与 b 的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围： 0 其 180 2. 计算数量积一般有三种方法：定义、坐标运算及利用运算律计算. 向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题. 4由于向量有几何法和坐标法两种形式，它的运算也因为这两种表示方法而有两种: 基于几何表示的几何法和基于坐标表示的代数法，在具体做题时要