考点20圆锥曲线的基本量问题解析版

1、考点20圆锥曲线的基本量问题19【知识框图】考点20圆锥曲线的基本量问题【自主热身归皱总结】【问题探究f蚯C训练】題型一啊园的标准方程'、题里二国锥曲线的离心率问题【自主热身，归纳总结 】1、（2019无锡期末）以双曲线x55的右焦点为焦点的抛物线的标准方程是【答案】y2= 12xx2【解析】双曲线；4y2= 1的右焦点为F（3, 0），设抛物线的标准方程是y2= 2px（p>0），则p = 3,故p = 6,所以抛物线的标准方程是y2= 12x.2、（2019苏锡常镇调研）已知双曲线2xC的方程为42y 1，则其离心率为【解析】因为a24 ,b21，所以2 2.2cab5，故离

2、心率为ec2_5a 23、（2019泰州期末）若抛物线y2= 2px（p>0）的准线与双曲线x2 y2= 1的一条准线重合，则 p=【答案】 2【解析】双曲线中：c= 2，所以双曲线的准线为：x =±；=±22，因为抛物线的开口向右，准线为x=p，所以p= 22，解得 p= 2.4、（2019南京、盐城一模） 若双曲线y 匚=1的离心率为2,则实数m的值为2 m【答案】6【解析】由题意，a2= 2, b2= m, e= c= 2, 即卩 c2= （2a）2= 4a2 = 8= a2+ b2= 2+ m，所以 m= 6. a5、（2019苏州期末）在平面直角坐标系 xO

3、y中，中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的一条渐近线经过点（3, 1），则该双曲线的离心率为 【答案】10【解析】思路分析由渐近线经过点（一3, 1）,确定a, b的比值.y X设双曲线方程为y2 ,2 = 1（a>0, b>0），则渐近线方程为 by±ax= 0.a b由点（3, 1）在一条渐近线上，得b= 3a,所以 a : b : c ： = 1 : 3 :录 10,离心率 e= £=10.解后反思双曲线号一y2= 1的两条渐近线方程为a b2 2x2x2a2 b20.6、（2019常州期末）已知双曲线C:x2 y2旷 y2= 1(a>0,b>0

4、）的离心率为2，直线x + y + 2=0经过双曲线的焦点，则双曲线 C的渐近线方程为【答案】y= 土 3x【解析】直线 x + y + 2= 0中，令y = 0，得x = 2，所以c= 2.因为c= 2，所以a= 1.由a2 + b2= c2,得b=a3，所以渐近线方程为 y =± ax,即y = 土 3x.ax2 y27、（2017年南通一模）已知椭圆m +半=1（m>n>0）的左、右焦点分别为F1, F2, P是以椭圆短轴为直径的圆上任意一点，贝U PF1 PF2 =【答案】2n m 解法 1 PF1 PF2= (PO+ OF1) (PO + OF2) = (PO+

5、 OF1) (PO O? 1) = |PO|2|OF=n (m n)= 2n m.解法 2 设 F1( c,0), F2(c,0), P(x, y)，则 x2 + y2= n, PF1 PF2= (x+ c)(x c) + y2= x2 + y2 c2= n (mn)= 2n m.8、 （2019南通、泰州、扬州一调）在平面直角坐标系 xOy中，已知抛物线y2= 2px（p>0）的准线为I，直线lx2与双曲线 牛y2= 1的两条渐近线分别交于A , B两点，AB =砺，则p的值为.4【答案】2 6【解析】抛物线的准线I方程为x=；，双曲线的两条渐近线为y= ±2x，令x =；，

6、则y =斗，所以AB=2 = 6，所以p= 2 6，故答案为2 6.x2y2、，9、 （2017南京三模）在平面直角坐标系 xOy中，双曲线22 3m = 1的焦距为6,则所有满足条件的实数m构成的集合是.【答案】©【解析】由题意可得：m 0又因为双曲线的焦距为 6,所以2m2 3m 933解得m 3 （舍）或m ，故实数m取值集合为一.222 2 2 210、（2018苏州期末）已知双曲线 C: a b = 1（a>0, b>0）与椭圆磊+器=1的焦点重合，离心率互为倒数，设Fi,F2分别为双曲线C的左、pf2右焦点，p为右支上任意一点，则的最小值为【答案】8【解析】：

7、设椭圆的长半轴长为印，短半轴长为bi,半焦距为c,则c= a2 b?= 16 12 = 2，故椭圆的离心率e1= c = 1，从而双曲线的离心率e= c= 1 = 2，可得a= 1，根据双曲线的定义有PF1 PF2= 2a,即a1 2a e1'PF1= PF2 + 2，故ppF1= （ PFPF 2） =卩円+詈卩2* 4 =卩卩2+ pF + 4,由双曲线的范围可得 PF2> c a= 1,根 据基本不等式可得 pf2 + pF + 4> 2 PF2X pF + 4= 8,当且仅当pf2= pF，即pf2= 2时取“=”，所以pf2的最小值为8.PF2【问题探究，变式训练

8、】题型一椭圆的标准方程知识点拨：求椭圆的标准方程，本质就是要求a, b的值，为此，要找到两个关于a, b的方程组，题目中往往涉及到离心率或者点在圆上。x2 v2例1、（2019泰州期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:孑+缶=1（a>b>0）的左顶点为A，点B是椭圆C上异于左、右顶点的任一点，P是AB的中点，过点 B且与AB垂直的直线与直线 0P交于点Q.1已知椭圆C的离心率为夕点A到右准线的距离为 6.（1）求椭圆C的标准方程；求出a, c的值，进而确定b的值，得到椭圆的准方程.（2）设出点B的坐标为（m, n），用m n表示xo,然后再减元转化为关于m的一元函数求求其值

9、域.也可以设出直线 AB的方程，并与椭圆方程联立，结合根与系数的关系，得到点B和P的坐标，进而求得直线BQ和PQ的方程，由两直线方程联立求得交点Q的横坐标xo,根据函数的值域求得 xo的取值范围.规范解答（1）由题意得c= £a +a=6，解得a=2,c=1，所以b=a2 c2=3，所以椭圆C的标准方程a 2 c2 2为；十；=1.（4分）2 2(2)解法1设B(m , n)，则 牛十y = 1.因为A（ 2, 0）, AB丄BQ，所以直线BQ的方程为y = （x m） + n,因为P是AB的中点，所以m 2P( 22),所以直线OP的方程为y= m 2x,联立直线BQ , OP的方

10、程得一n(x m)十n= m 2x,(82m 2nm 2解得(m 2)( m2+ 2m + n2)Xo=22m2 4+ n2（m2 4），代入上式化简得xo= m + 6, （14分）因为一2<m<2，所以4<xo<8.(16 分)解法2 设直线AB的方程为y = k(x + 2), k丰0.将 y= k(x十 2)代入椭圆方程 %：十十:=1 得(4k2+ 3)x2+ 16k2x+ 16k2 12= 0,438k2+ 6 8k2 + 612k解得xb=k_，所以yB=k乔訂2 =晟, 则直线BQ的方程为y -2% =- 1(x 8"十64k2 + 34k2

11、+ 34k2+ 3 )，xa 十 xb因为P是AB的中点，贝U xp= xA:8k2 十 62 十 4k2+ 3 _ 8k22= 4k2+ 3,1yP= 2yB = 4k2+ 3,6k4k2+ 36k3所以直线OP的斜率为2 = ,3，则直线8k24k4k2+ 33OP的方程为y = 4x, (8分)16k2+ 24联立直OP, BQ的方程得xo= 4k2+ 3 = 4 +124k2+3 (14 分)1212因为 4k2+ 3>3，所以 0<2 ,<4, 4<4 +2 , _<8，即 4<X0<8.(16 分)4k十34k十3解后反思 直线和椭圆相交求

12、范围（最值）问题，第 问解法1设出关键点B的坐标（m, n），建立关于2通常设出直线的方程，并与椭点中参数m, n的目标函数，进一步转化为函数法或不等式法来解决；解法 圆方程联立，进而转化关于 x或y的一元二次方程，通过根与系数关系，运用设而不求的思想，得到点的坐标，建立关于线中参数m的目标函数，进一步转化为函数法或不等式法来解决这两种解法都较常见解法1参量多一点，但运用得当，也很方便，这里解法1在建立目标函数后就显得很简单，解法2参量少目标集中.【变式1】(2019苏州期末)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知焦点在x轴上，离心率为2的椭圆e的左顶点为A，点A到右准线的距离为 6.(1) 求

13、椭圆E的标准方程；3(2) 过点A且斜率为2的直线与椭圆E交于点B，过点B与右焦点F的直线交椭圆E于M点，求M点 的坐标.*、八-X2 V2解：设椭圆方程为孑+洽=1(a>b>0)，半焦距为c,1 c 1因为椭圆的离心率为1，所以C = 1，即a= 2c,2 a 2a2又因为A到右准线的距离为6，所以a +直=3a= 6, (2分)C解得 a= 2, c= 1, (4 分)x2 y2所以b2= a2-c2= 3，所以椭圆E的标准方程为；+ y3 = 1.(6分)3(2)直线AB的方程为y= 2(x + 2),3y = 2（x + 2）, y2= 1,43得 x2+ 3x + 2=

14、0，解得 x=- 2 或 x=- 1.3则B点的坐标为 一1, 2 .(9分)3由题意，右焦点F(1 , 0)，所以直线BF方程为y = (x- 1), (11分)3y = 2（x + 2）, 由 22X+ y = 14十3,所以，点M坐标为139 八7 , 14 .（14 分）13得 7x2 6x 13= 0,解得 x= 1 或 X = 7 , （13 分）务b?=3【变式21(2016徐州、连云港、宿迁三检)在平面直角坐标系 xOy中，已知点P 1,号在椭圆C:1(a>b>0)上，P到椭圆C的两个焦点的距离之和为4.(1)求椭圆C的方程;求点 M , N的坐标.(2)若点M ,

15、 N是椭圆C上的两点，且四边形 POMN是平行四边形,1 9.规范解答 由题意知，a2+ 4b2= 1,2a= 4. (2分)2 2解得a2=M(X1, y1), N(X2, y2)，因为四边形POMN是平行四边形，所以 ON = OP+ OM , , b2=.（14 分）,所以椭圆的方程为:十;=1. (4分) 解法1设M(X1 , y1) , N(X2 , y2),则ON的中点坐标为X2,2PM的中点坐标为 1 + xi3+y12因为四边形POMN是平行四边形,所以由点M，N是椭圆C上的两点,1 + X1 X223+ y1y22.X1 = X2 1 ,3 y1= y22.）（6 分）3x2

16、+ 4y2= 12,所以3 X2 13 2y2 2 2= 12.）（8 分）解得X2= 2,y2= 0X2= 1 ,3y2= 2.（12 分）由 X2= 2,y2= 0,)得X1= 1 ,3y1= 2X2= 1,3y2= 2,)得X1 = 2,y1 = 0.所以点M1, 2，点 N（2,0）;或点 M（ 2,0）,解法2设X2= 1 + XI,3所以(x2, y2)= 1 , 2 + (Xi, yi),即 3(6 分)2 y2=2 + yi,由点M , N是椭圆C上的两点，严MA 口.所以（8分）用一得 xi + 2yi+ 2 = 0，即 xi= 2 2yi,代入(i)中得3( 2 2yi)2

17、+ 4y2= i2,整理得、32yi + 3yi= 0，所以 yi= 0或 yi = ?xi = 2,yi = 0Xi= i,3yi= 2，(i2 分)Xi =2,X2= i,Xi = i,由得3由yi=0,y2 = 2yi =32,X2= 2,得)y2= 0.所以点M i,32，点 N(2,0);或点 M( 2,0),点 N i, 2 .(i4 分)解法3因为四边形POMN是平行四边形，所以OP= MN ,因为点P i, 3，所以 |MN| = |OP|=十4二计3，且 kMN = kop= 2 (6 分)设直线MN方程为3y= 2X + m(m丰 0),3)得 3x2 + 3mx + m2

18、 3= 0, (*)y= 2x + m, 联立"亠 2 2x2 y24十3，所以= (3m)2 4X 3(m2 3)>0 , 即 卩 m2 i2<0，从而 m ( 2 3, 0) U (0,2 3),、nm2 3 八、设 M(xi, yi), N(x2, y2)，贝U xi + X2= m, xix2= 3 , (8 分)且 |MN| = i 十 k2|xi X2= xi + X2 2 4xix2=L2i32 4 m2 3 寸3m 一 3= 24- A2,又知|MN| = 于,所以计4詁2 =于,整理得m2 9= 0,所以m= 3或m = 3.(i2分)当 m= 3 时，

19、(*)可化为 3x2 + 9x + 6= 0, 即卩 x2+ 3x+ 2= 0,故 x = i 或 x= 2,3 3代入直线MN : y= 2x+ 3得两交点M( 2,0), N 1, 2 ；当 m = 3 时，(*)可化为 3x2 9x + 6= 0,即卩 x2 3x + 2= 0,故 x= 1 或 x= 2,33代入直线MN : y= ；x 3得两交点M 1, 2 , N(2,0),3所以点 M 1, 3，点 N(2,0);或点 M( 2,0),3点 N 1, 2 .(14 分)【变式3】(2016常州期末)在平面直角坐标系xOy 中,2 2设椭圆笃+書=1(a>b>0)的离心

20、率是a be,定义直线y=±b为椭圆的“类准线” 已知椭圆C的“类准线”方程为 y=±2 3,长轴长为4.e(1) 求椭圆C的方程；过点O且垂直(2) 点P在椭圆C的“类准线”上(但不在y轴上),过点P作圆O: x2 + y2= 3的切线I, 于OP的直线与I交于点A,问点A是否在椭圆C上？证明你的结论.ab= 3,厂规范解答(1)由题意得 c又a2= b2+ c2,解得b= 3, c= 1, (4分)a = 2,所以椭圆C的方程为x += 1.(5分)4 3(2)点A在椭圆C上.证明如下:设切点为Q(X0,y0), X0M 0,贝U x2 + y0= 3,切线 I 的方程

21、为 x0x+ y0y 3 = 0,当yP= 2飞：3时,XP= 1,即X0X0,2 3,2x03 2y0, (7 分)r ,2寸3则koP=厂3 2、3y0X0所以 kOA= 2y020 3直线OA的方程为2x02y0 3由 y=x,2x0解得6x0X= 6 3y0X0x+ y0y 3= 0y= 6 3y0 ,6x06 '3y06 ；3y0,(11 分)6x023 2yo 3 2因为6 3y0 + 6 3y04 3_ 9 3 y0 + 3 4y0 4屈o+ 33y2 123yo+ 363yo 12冷 3yo + 363y2 123yo+ 36所以点A的坐标满足椭圆 C的方程.(14分)

22、当yp= 2 3时，同理可得点A的坐标满足椭圆 C的方程，所以点A在椭圆C 上. (16分)【变式4】(2019南京学情调研) 在平面直角坐标系 xOy中，椭圆E:移+首=1(a>b>0)的离心率为 扌，且 直线I: x = 2被椭圆E截得的弦长为2与坐标轴不垂直的直线交椭圆 E于P, Q两点，且PQ的中点R在直 线I上.点M(1 , 0).(1)求椭圆E的方程；思路分析 第问，欲证“ MRLPQ，我们可以从两直线垂直，斜率乘积等于1入手，也可以从向量的数量积为0入手，这样就产生了解法1和解法2.X2y22c2b21规范解答(1)因为椭圆巧+ 72= 1(a> b>0)

23、的离心率en2,所以e2=笃=1岂=R即a2= 2b2. (2分)ab2aa2因为直线I: x = 2被椭圆E截得的弦长为2,41所以点(2, 1)在椭圆上，即 笃+書=1.a b解得 a2= 6, b2= 3,所以椭圆E的方程为；+ : = 1.(6分)(2)解法1(设线法)因为直线PQ与坐标轴不垂直，故设PQ所在直线的方程为 y= kx + m.设 P(x1, y1), Q(X2, y2).因为PQ的中点 R在直线I: x = 2上，故R(2, 2k + m).联立方程组y = kx + m，g + : = 1,消去 y，并化简得(1 + 2k2)x2+ 4kmx + 2m2- 6 = 0

24、,(9 分)所以Xi+ X2 =4km1 + 2k2 .4km由 X1+X2=飞=4得1+2k2=km.(12 分)因为 M(1 , 0)，故 kMR =響=2k + m,所以 kMR kpQ= (2k+ m)k = 2k2+ km = 2k2 (1 + 2k2)= 1，所以 MR 丄 PQ.(16 分)解法 2(设点法)设 P(X1， y1)， Q(x2, y2).因为PQ的中点R在直线l: x = 2上，故设 R(2, t).因为点p, q在椭圆e: 6+y-=1上，所以甘+¥= 1,x2+¥= 1，636363两式相减得(X1 + x2) (x1 X2) + 2(y1

25、+ y2) (y 1 y2)= 0.(9 分) 因为线段PQ的中点为R,所以X1 + X2 = 4, y1 + y2 = 2t.代入上式并化简得 (X1 X2) + t (y1 y2)= 0.(12分)又 M(1 , 0),所以 MR PQ= (2 1) X (X2 X1) + (t 0)X (y2 y1)= 0,因此 MR丄PQ.(16分)解后反思用代数法处理圆锥曲线综合题的常见方法有两种：设点法、设线法.对于本题而言，两种方法都可以，解题时把“设线法”与“直线斜率乘积为-1”结合，把“设点法”与“向量的数量积为0 ”结合，其实颠倒一下也可行.题型二 圆锥曲线的离心率问题知识点拨：求离心率的

26、值关键就是找到a,b,c之间的关系；求离心率的取值范围问题时，除了要根据条件来确定离心率的取值范围外，不要忘记离心率的本身的范围，即椭圆的离心率在(0 , 1)上，双曲线的离心率在(1 ,+ )上，这也是求离心率的范围问题的常见错误例1、(2019南京三模)平面直角坐标系 xOy中，过双曲线 卑一g = 1(a>0, b>0)的右焦点F作一条渐近线a b的平行线，交另一条渐近线于点 P.若线段PF的中点恰好在此双曲线上，则此双曲线的离心率为【答案】2【解析】双曲线的渐近线方程为：byx，设右焦点 F(c,0),过F与渐近线平行的直线为ay -(x c) ay，由bx a b(x a

27、，得：X ，则yc)2;a，所以pbc2aPF的中点为3c4bc4a又点A在双曲线上，所以3c42abc4ab2化简得2c22，即a2.【变式1】(2017苏北四市一模)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A, B1,B2分别为椭圆c： x2+b=1(a > b > 0)的右、下、上顶点,F是椭圆C的右焦点.若B2F丄AB1,则椭圆C的离心率是【答案】血【解析】因为 F(c,0), B2(0, b),解得e= _1 J负值舍去).B1(0, - b), A(a,0)，所以 B2F = (c, b), B1A = (a, b) 因为 FB?丄 AB1, 所以 ac b2= 0，即 c

28、2 + ac a2= 0,故 e2 + e 1 = 0,【变式21(2017无锡期末)设点P是有公共焦点F1, F2的椭圆C1与双曲线C2的一个交点，且 PF1丄PF2,椭圆C1的离心率为e1,双曲线C2的离心率为e2,若e2= 3e1,则e1 =.【答案】3【解析】不妨设 F1, F2分别是左、右焦点，椭圆的长半轴为a1,双曲线的实半轴为 a2, P为椭圆与双曲线在第一象限内的交点，则根据椭圆和双曲线的定义可得PF1 + PF2= 2a1,PF1 = a1 + a2,解得因为PF1PF1 PF2= 2a2,PF2= a1 a2.丄 PF2，所以 PF1+ Pf2= F1F2，即(a1+ a2

29、)2 + (a a2)2= (2c)2，化简得 a2 + a2= 2c2,所以严 2+ 严 2= 2,cc即吉+吉=2又因为e2= 3e1,所以e1= 5，故。1 =普.【变式31 (2017常州期末)已知抛物线x2= 2py(p>0)的焦点F是椭圆勺+岸=1(a> b> 0)的一个焦点，若a bP, Q是椭圆与抛物线的公共点，且直线PQ经过焦点F，则该椭圆的离心率为 .【答案】2 - 1【解析】 解法1由抛物线方程可得，焦点为 F 0, P ;由椭圆方程可得，上焦点为 (0, c).故P = c,将y、b22b2=c代入椭圆方程可得 x= ± .又抛物线通径为 2

30、p,所以2p = = 4c,所以b2= a2 c2= 2ac,即e2 + 2e 1 aa=0，解得 e= 2 1.2 2 解法2由抛物线方程以及直线y=号可得，Q p, P .又P = c,即Q(2c, c)，代入椭圆方程可得 當+誓=1，化简可得 e4 6e2+ 1= 0,解得 e2= 3 2/2, e2= 3 + 2 2> 1（舍去）,即卩 e= 3 2 2= 2 1（负值舍 去）.【变式4】(2018扬州期末)在平面直角坐标系驾=1（a>0, b>0）的渐近线与圆x2 + y2a b6y + 5= 0没有交点，则双曲线离心率的取值范围是 3【答案】1,3【解析】由圆x2

31、 + y2 6y+ 5= 0,得圆的标准方程为 x2+ (y 3)2 = 4,知圆心C(0, 3)，半径r = 2.因为双曲x2 V2线孑活=1(a>0 , b>0)的渐近线 bx±ay = 0与该圆没有公共点，则圆心到直线的距离应大于半径，即 |bx 0±a；3|>23a>2c,即e=它，且e>1，故双曲线离心率的取值范围是1, 3 .b2+ a2a 22【变式51(2018南京、盐城、连云港二模) 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线 C: x2 羊=1 (b>0)的 两条渐近线与圆 O: x2 + y2= 2的四个交点依次为 A ,

32、 B, C, D.若矩形ABCD的面积为b,贝U b的值为【答案】7【解析】由题意，双曲线 C的渐近线方程为y=±3x，如图所示，两条渐近线与圆O的四个交点为 A , B,C, D.不妨设点B的坐标为(m, n),则=4bm2=黔=b，解得b =血n= bm,2m2+ n2= 2,解得 m2= b2+1'而矩形 ABCD 的面积为 2mX2n= 4mn【变式6】（2018苏中三市、苏北四市三调）ytx2在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线-2&1(b 0)的23焦点到渐近线的距离为 2,则该双曲线的离心率为2 3【答案】3【解析】焦点在 x轴，不妨取焦点坐标为（c，&

33、#176;），渐近线方程为y-x bx ay 0 a ，即所以焦点到渐近线距离为dbe2 4则b 4,e1244,所以离线率为2 3【变式7】（2019南通、泰州、扬州一调）如图，在平面直角坐标系1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A，上顶点为B.（1）已知椭圆的离心率为2线段AF中点的横坐标为 宁，求椭圆的标准方程;（2）已知 ABF外接圆的圆心在直线y=x上，求椭圆的离心率e的值.+ y2= 1(a>b>0)的离心率为1 所以1则a= 2c.b2a 2因为线段AF中点的横坐标为；，所以a c=22 = 2 .1.(4 分)所以 c = 2, 贝U a2= 8, b

34、2 = a2 c2 = 6. 所以椭圆的标准方程为 +彳=8 6(2)因为 A(a, 0), F( c, 0),所以线段AF的中垂线方程为:a cx = 2 .又因为 ABF外接圆的圆心 C在直线y= x 上,a ca c所以c c ,2.(6分)AB的中垂线方程为:因为A(a , 0), B(0 , b)，所以线段由C在线段AB的中垂线上，得一整理得，b(a c) + b2= ac, (10 分)即(b c)(a+ b) = 0.因为a+ b>0，所以b= c.(12分)所以椭圆的离心率e= a= b2+ c2 =¥(14 分)【变式71(2018苏中三市、苏北四市三调)如图

35、，在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆2x-2a2b1(a b 0)的右焦点为F , P为右准线上一点.点Q在椭圆上，且FQ FP .(1)若椭圆的离心率为-，短轴长为2 3.求椭圆的方程; 若直线oq , pq的斜率分别为k1, k,求k1 k2的值.(2)若在x轴上方存在P, Q两点，使o, F , P, Q四点共圆，求椭圆离心率的取值范围.【思路分析】(门列出关于a,b,c的方程组，解出a,b值，从而求得椭圆的方程；(2)设出Q(Xo, y。)，抓到FQ八FP，用直线方程或者向量数量积的方法求出P点坐标，代入坐标，计算ki*2结合椭圆方程，把y。2 = 3- 3 x。2厶 宀4 代入，就

36、能求出定值;(3)设出Q(X0，求出P坐标，P，Q，F三点确定以PQ为直径的圆，要使四点共圆，则第四点o在圆上，有两种思路：思路i，求出圆方程，将点 0坐标代入圆方程，思路 2, 0F的中垂线经过圆心，求出 a c ： c，转化为e的不等式，求出范围.规范解答 (1)设椭圆的焦距为 2c,a2x0 =c-点P, Q均在X轴上方，得到c，根据c 1a 2'由题意，得 2b 2 3,a2b2c2 ,所以a 2_ .所以椭圆的方程为 疋 i .b 寸343由得，焦点F(1,0)，准线为x 4 ,解法设 P(4 ,t) , Q(x , y。)，则 Xo，所以 yo3 4xo所以uurFQuur

37、(Xo 1, yo), FP (3 ,t),因为uiuFP丄FQ,所以FQuurFP 3(Xo 1) tyo所以tyo3(xo1)所以k1 k2yoXoyo tXo4yo tyoXo 4Xo3 3x23(xo 1)2Xo 4xo2 2解法2设Q(x ,yo)，则X y31 ,所以y03 3xo ,4当xo 1时，直线FQ存在斜率，则kFQ又FP丄FQ,所以直线FP的方程为yoXo 1 'Xo 1(Xyo1),所以点P的坐标为（4 ,3(xo 1)yo3(Xo 1) yo所以 k1 k2yoyoXoXo 42yo3(Xo2 .1)3 Xo 3(xo 1)Xo4Xo4 Xo 4Xo当Xo

38、1时，点Q的坐标为(1,3），点P的坐标为（4 , o），也满足k2所以k k2的值为（2）解法21 设 P(2,t)，Q(xo, yo)，因为FP丄 FQ,则厶FPQ的外接圆即为以 PQ为直径的圆（x2：）（xXo)(y t)(yyo)由题意，焦点F,原点O均在该圆上，所以(c 弓)(cxotyocXo)tyo消去tyo得（c:)(c Xo)Xoo ,所以Xo暫，因为点P , Q均在x轴上方，所以2 2c ac a o ,所以e2e 1 o ,又因为o e 1,31所以5 1 e 1.2解法2 因为O, F, P, Q四点共圆且FP丄FQ,所以PQ为圆的直径,所以圆心必为PQ中点M, 又圆心

39、在弦OF的中垂线x C上2 ，2 2所以圆心M的横坐标为xm 2，所以点Q的横坐标为Xq 2Xm 壬 c 2 .（以下同方法xOy中，椭圆1(a > b> 0)的左、右焦1）【关联1】（2017南京学情调研）如图，在平面直角坐标系点分别为F1, F2, P为椭圆上一点（在x轴上方），连结PF1并延长交椭圆于另一点Q,设PF1= RQ.（1）若点P的坐标为1, 3，且 PQF2的周长为8，求椭圆C的方程;入的取值范围.若PF2垂直于x轴，且椭圆规范解答 因为F1, F2为椭圆C的两焦点，且 P, Q为椭圆上的点，所以 PF1+ PF2= QF1+ QF2=从而 PQF2的周长为4a,

40、由题意得4a = 8,解得a= 2.（2分）3因为点P的坐标为1 , 2 ,19所以 92= 1,解得 b2= 3.a24 b2X2 y2所以椭圆c的方程为x+y=1.（5分）43 解法1因为PF2丄x轴，且P在x轴上方，所以可设 P（c, y0）, y0>0, Q（x1, y1）.因为点P在椭圆上，所以 乍+ y2= 1,解得y0= J即P c, .（7分）aab2因为 F1（ c,0），所以 PF1 = 2c, _ , F1Q =（X1+ c, y1）.a由PF1 =入比,得2c =綁+ c） , b =入1,解得X1 =亠乎c , y1 = b ,所以a入入aH 2b2Q Tc，T

41、a（11 分）因为点Q在椭圆上，所以代2 2e2+ 2= 1,入入a即（入+ 2）2e2+ （1 e2） = f, 即 （¥+ 4/4- 3）e2=於一1. 因为 入 + 1工0,所以（入+ 3）e2= 1,3e2+14八从而 /=2 = 3.（14 分）1 e21 e2因为e 2，乎，所以e2< 1，即7<疋5.所以入的取值范围为 3， 5 .(16分)3解法2由于PF?丄x轴，且P在x轴上方,因为点p在椭圆上，所以=1，解得故设P(c,b2日口 yo=，即ayo）,P C,yo> 0.b2（7 分）因为F1( c,0)，所以直线PF1的方程为b2y= 2ac（x

42、+ c）-b2 y= 2ac x+ c， 联立 22x_ + y_= 1 a2 + b2=1，得（4c2 + b2）x2+ 2b2cx+ c2（b2 4a2） = 0.因为直线PF1与椭圆有一个交点为P c,丫，设 Q（X1, y1）,则2b2cX1+ c = 4c2+ b2，（11 分 ）因为PF 1 = F1Q，所以2c 4c2 + b2 3c2 + a2 3e2 + 1f= c+ X1 = b2 = a2 c2= 1 e2 =41 e23.（14 分）以下同解法1.e的范围，因此我们可以把入表示为解后反思 本题考查解析几何中的范围问题，由于题中已知离心率标，再代入椭圆方程可得关于f a,

43、 b, c的等式，利用e= a, a2= b2+ c2可化此等式为关于e,入的万程，e的函数，为此先求得点P的坐标(这里点P是确定的，否则设出点P的坐标)，由向量的运算求得点 Q的坐解出f即把入表示为e的函数，由函数性质可求得入的范围本题采用的方法是解析几何中的基本计算,考查了学生的运算能力.【关联2】(2017扬州期末)2 2如图，椭圆C:予+ *= 1(a>b>0)，圆O: x2 + y2= b2,过椭圆C的上顶点A的直线I: y= kx + b分别交圆0、椭圆C于不同的两点P, Q,设AP = fQ.(1) 若点P( 3,0)，点Q( 4, 1),求椭圆C的方程；(2) 若入=3,求椭圆C的离心率e的取值范围.a所以椭圆c