2022届高三数学一轮复习（原卷版）第三节 第1课时 系统知识牢基础——平面向量的数量积 教案

1、1第三节第三节平面向量的数量积及其应用平面向量的数量积及其应用第第 1 课时课时系统知识牢基础系统知识牢基础平面向量的数量积平面向量的数量积知识点一知识点一平面向量的数量积平面向量的数量积1向量的夹角向量的夹角(1)定义：定义：已知两个非零向量已知两个非零向量 a a 和和 b b，作，作 oaa a， obb b，则，则aob 就是向量就是向量 a a 与与 b b 的夹的夹角角(2)范围：范围：设设是向量是向量 a a 与与 b b 的夹角，则的夹角，则 0180.(3)共线与垂直：共线与垂直：若若0，则，则 a a 与与 b b 同向同向；若；若180，则，则 a a 与与 b b 反向

2、反向；若；若90，则，则 a a 与与b b 垂直垂直2平面向量的数量积平面向量的数量积(1)定义定义：已知两个非零向量已知两个非零向量 a a 与与 b b，它们的夹角为它们的夹角为，则数量则数量|a a|b b|cos 叫做叫做 a a 与与 b b 的数量积的数量积(或内积或内积)，记作，记作 a a b b，即，即 a a b b|a a|b b|cos ，规定零向量与任一向量的数量积为，规定零向量与任一向量的数量积为 0，即，即 0a a0.(2)几何意义：几何意义：数量积数量积 a a b b 等于等于 a a 的长度的长度|a a|与与 b b 在在 a a 的方向上的投影的方向

3、上的投影|b b|cos 的乘积的乘积提醒提醒(1)数量积数量积 ab 也等于也等于 b 的长度的长度|b|与与 a 在在 b 方向上的投影方向上的投影|a|cos 的乘积的乘积，这两个投影这两个投影是不同的是不同的(2)a a 在在 b b 方向上的投影也可以写成方向上的投影也可以写成ab|b|，投影是一个数量投影是一个数量，可正可负也可为可正可负也可为 0，它的符号取它的符号取决于决于角的范围角的范围3向量数量积的性质向量数量积的性质设设 a a，b b 是两个非零向量，是两个非零向量，e e 是单位向量，是单位向量，是是 a a 与与 e e 的夹角，于是我们就有下列数量积的的夹角，于是

4、我们就有下列数量积的性质：性质：(1)e ea aa ae e|a a|e e|cos |a a|cos .(2)a ab ba ab b0.(3)a a，b b 同向同向a ab b|a a|b b|；a a，b b 反向反向a ab b|a a|b b|.特别地特别地 a a a a|a a|2a a2或或|a a| aa.(4)若若为为 a a，b b 的夹角，则的夹角，则 cos ab|a|b|.(5) |a ab b|a a|b b|.4谨记常用结论谨记常用结论2(a ab b)2|a ab b|2|a a|22a a b b|b b|2a a22a ab bb b2；a a2b b

5、2(a ab b)(a ab b)以上结论可作为公式使用以上结论可作为公式使用5平面向量数量积的运算律平面向量数量积的运算律(1)a ab bb ba a(交换律交换律)(2)a ab b(a ab b)a a(b b)(结合律结合律)(3)(a ab b)c ca ac cb bc c(分配律分配律)提醒提醒对于实数对于实数 a，b，c 有有(ab)ca(bc)，但对于向量但对于向量 a a，b b，c c 而言而言，(a ab b)c ca a(b bc c)不一定成立，即不满足向量结合律这是因为不一定成立，即不满足向量结合律这是因为(a ab b)c c 表示一个与表示一个与 c c 共

6、线的向量共线的向量，而而 a a(b bc c)表示一个与表示一个与 a a 共线的向量共线的向量，而而 a a 与与 c c 不一定共线不一定共线，所以所以(a ab b)c ca a(b bc c)不一定成立不一定成立重温经典重温经典1(教材改编题教材改编题)设设 a a，b b 是非零向量是非零向量“a ab b|a a|b b|”是是“a ab b”的的()a充分不必要条件充分不必要条件b必要不充分条件必要不充分条件c充要条件充要条件d既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件解析：解析：选选 a设设 a a 与与 b b 的夹角为的夹角为.因为因为 a ab b|a a|b b|cos

7、 |a a|b b|，所以，所以 cos 1，即，即 a a 与与 b b的夹角为的夹角为 0，故，故 a ab b.当当 a ab b 时，时，a a 与与 b b 的夹角为的夹角为 0或或 180，所以所以 a ab b|a a|b b|cos |a a|b b|，所以所以“a ab b|a a|b b|”是是“a ab b”的充分不必要条件的充分不必要条件2已知向量已知向量 a a，b b 满足满足|a a|1，|b b|2 3，a a 与与 b b 的夹角的余弦值为的夹角的余弦值为 sin173，则则 b b(2a ab b)等等于于()a2b1c6d18解析：解析：选选 da a 与

8、与 b b 的夹角的余弦值为的夹角的余弦值为 sin17332，a ab b3，b b(2a ab b)2a ab bb b218.3已知已知 a a b b12 2，|a a|4，a a 和和 b b 的夹角为的夹角为 135，则，则|b b|的值为的值为()3a12b6c3 3d3解析：解析：选选 b因为因为 a a b b|a|b|a|b|cos 13512 2，所以所以|b b|12 24226.4(易错题易错题)已知已知|a a|5，|b b|4，a a 与与 b b 的夹角的夹角120，则向量则向量 b b 在向量在向量 a a 方向上的投影为方向上的投影为_解析：解析：由数量积的

9、定义知，由数量积的定义知，b b 在在 a a 方向上的投影为方向上的投影为|b b|cos 4cos 1202.答案：答案：25已知两个单位向量已知两个单位向量 e e1，e e2的夹角为的夹角为3，若向量，若向量 b b1e e12e e2，b b23e e14e e2，则，则 b b1b b2_.解析：解析：b b1b b2(e e12e e2)(3e e14e e2)3|e e1|22e e1e e28|e e2|2.其中其中|e e1|2|e e2|21，e e1e e2|e e1|e e2|cos3111212，所以，所以 b b1b b26.答案：答案：66.如图如图，在在abc

10、 中中，ab3，ac2，d 是边是边 bc 的中点的中点，则则 ad bc_.解析：解析： ad bc12( ab ac)( ab ac)12( ab2 ac2)52.答案：答案：52知识点二知识点二平面向量数量积的坐标表示平面向量数量积的坐标表示已知非零向量已知非零向量 a a(x1，y1)，b b(x2，y2)，a a 与与 b b 的夹角为的夹角为.结论结论几何表示几何表示坐标表示坐标表示模模|a a| aa|a a| x21y21夹角夹角cos ab|a|b|cos x1x2y1y2x21y21 x22y22a ab b 的的充要条件充要条件a ab b0 x1x2y1y204|a a

11、b b|与与|a a|b b|的关系的关系|a ab b| |a a|b b| |x1x2y1y2| x21y21 x22y22 重温经典重温经典1(多选多选)设向量设向量 a a(2,0)，b b(1,1)，则，则()a|a a|b b|b(a ab b)b bc(a ab b)b bda a 与与 b b 的夹角为的夹角为4解析解析：选选 cd因为因为 a a(2,0)，b b(1,1)，所以所以|a a|2，|b b| 2，所以所以|a a|b b|，故故 a 错误错误；因因为为 a a(2,0)，b b(1,1)，所以，所以 a ab b(1，1)，所以，所以(a ab b)与与 b

12、b 不平行，故不平行，故 b 错误；又错误；又(a ab b)b b110，故，故 c 正确；又正确；又 cosa a，b ba ab b|a a|b b|22 222，所以，所以 a a 与与 b b 的夹角为的夹角为4，故故 d 正确正确2已知向量已知向量 a a(2,1)，b b(1，k)，a a(2a ab b)0，则，则 k_.解析：解析：2a ab b(4,2)(1，k)(5,2k)，由由 a a(2a ab b)0，得，得(2,1)(5,2k)0，102k0，解得，解得 k12.答案：答案：123已知向量已知向量 a a 与与 b b 的夹角为的夹角为 60，且，且 a a(2，

13、6)，|b b| 10，则，则 a ab b_.解析：解析：因为因为 a a(2，6)，所以，所以|a a| 2 2 6 22 10，又，又|b b| 10，向量，向量 a a 与与 b b 的的夹角为夹角为 60，所以，所以 a ab b|a a|b b|cos 602 10 101210.答案：答案：104(易错题易错题)向量向量 a a(3,4)在在 b b(1，1)方向上的投影为方向上的投影为_解析：解析：a a 在在 b b 方向上的投影为方向上的投影为ab|b|22.答案：答案：2255(教材改编题教材改编题)a a，b b 为平面向量为平面向量，已知已知 a a(4,3)，2a ab b(3,18)，则则 a a，b b 夹角的余弦值等夹角的余弦值等于于_解析解析：设设 b b(x，y)，则则 2a ab b(8x,6y)(3,18)，所以所以8x3，6y18，解得解得x5，y12，故故 b b(5,12)，所以，所以 cosa a，b bab|a|b|1665.答案：答案：16656(易错题易错题)已知向量已知向量 a a(2,7)，b b(x，3)，且，且 a a 与与 b b 的夹角为钝角，则实数的夹角为钝角，则实数 x 的取值范的取值范围为围为_解析：解析：由由 a a b b2x210，得，得 x21