1-2行列式的定义_图文(精)

1、一、排列及其逆序数1.n n阶排列【定义】由个不同的数1,2,/排成的一个仃序数组, 称为一个n级全排列，简称n级排列。例1 5321445238176 123n n（n n一1）15级排列；8级排列；级排列（称为门然排列）；级排列。一般地，山川个不同的数12/组成的级排列记为hhhh h h，其中几厶,J互不相同,即久是1,2,山中的某一个数, 厶是余卜的一1个数中的呆一个数，。因此n级排列的总数为：P Pn n=nx(n-l)x(n-2)x-x3x2xl = n!o例2 |lj 1,2,3三个数字组成的所有3级排列共有3X 2X 1 = 6种，它们是：123 213 321, 132 23

2、1, 312,2.逆序【九义】在阶排列中,如果某两个数的前后位置这两个数构成一个逆庁:。即，设级排列)/；/,对于Z，人， 若z 厶，则称z与Z构成一个逆序。例3、邸介排列31254中，31, 32 42 , 54都构成一个逆序。桝艸财WT1刘康=讓狼与它们的人小相反,即前面的则称駅W性和和刁SB3逆序数【匸乂】个排列中逆序的总数称为该排列的逆序数。 排列jjjjJnJn的逆序数记为I U “2A）。计算逆序数的方法：分别计算出排列中每个元素后面比它小的数的个 数，然后求和。即算出排列中每个元索的逆序数， 每个元索的逆序数Z总和即为所求排列的逆序数。T人A几伉）=（A后面瓯小的数的个数）1=1

3、例4排列31425的逆序数为:T(31425)=2Wl-H)+()=3(2)口然排列123的逆序数是0：(3)排列n(n-l). 1的逆序数为：T= ( -1) +( -2) + +1 + 0 =-2例5求排列(2R)1(2R-1)2(2R-2)3(2R-3)(R + 1)R的逆序数。枷艸解：( (2&)1(2-1)2(%-2)3( (2-3)仏 +1)点IlIl I II2k-i2k-i2k-32k-52k-51故：p =1+3 + (2-3) + (2-1)1 + (21)_ /2例6设排列门2 2U U的逆序数为7，计算心诂 的逆序数.解 在排列芯U U中，任意取出两个数,如果前

4、面的数 小于后面的数，则称这两个数构成一个顺序;一个排列中顺序 的总数称为顺序数由于在排列中任取两个数，它们不构成逆 丿记那么它们就构成顺序；或它们不构成顺序,那么它们就构 成逆序，因而有丫(订2 2“)+排列活2匚的顺序数=C；又排列活2：“的顺序数就等于排列乩-|几的逆序数故Wi灯i)= c：-/4.奇偶性义】逆序数为奇数的排列称为奇排列；逆序数为偶数的排列称为偶排列。例7自然排列排列127!的逆序数为 ft 它是偶排列; 排列4235617的逆序数为7,它是奇排列。严樹5对换【几义】在n阶排列中,将任意两个元素对调, 其余元索不动，这样作出新排列的过程叫做对换.将相邻两个尤索对调，叫做和

5、邻对换.例如：5 afbb b bm m%码必打仇be】c“5 55 5 baba b bl l-b-bm mg g bSbS说5 5 5 5对换与排列的奇偶性的关系：m m任意个排列经过-次对换后,其奇偶 性发生改变。证明：先考虑相邻对换，设排列为：a ax x- -aiaiabab久妇対艷辿.a.a.a.aa a打亦除心方夕卜，其它元素的逆序数不改变。当abab时：经对换肩a的逆序数増加1,的逆序数不变; 当a时：经対换后a a的逆序数不变，b的逆序数减少1。刘康泽 和他财怒酬嗣I因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性。设排列为:a.a. - - aflb.aflb.仇如c“现来对换a与.a

6、】 q方b bx x- - - - b bm ma a c cx x c“所以一个扌IF列中的任总两个元素对换， 拥列改变 其奇偶性。【推论】奇排列调成标准排列的对换次数为奇数,偶排列调成标准排列的对换次数为偶数.证明山定理1知对换的次数就是排列奇偶件的 变化次数，而标准排列是偶排列（逆序数为（），因此，推论成立.加次相邻对换一加+1次相邻对换2加+ 1次相邻对换【定刈2】在所有的级排列中，奇偶排列各占一半。证明 设级排列中,奇排列共有p个,而偶排列共有q个。对这卩个奇排列进行同一个对换，如都将第12位置 的两个数对换。山于对换改变排列的奇偶性，则原卩个奇排列对换后变 为P个不同的偶排列，因而

7、PJPJ 同理可得p2qp2q因此p p = = q q = =与。二、阶行列式的定义分析三阶行列式：11!1213D D = = a a2i2ia a2222% =“2#33+夕2皿31+耳皿2“32ClM(I壮Qn 132231(1)三阶行列式共有颐,即3!项；(2)每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积：(3)每项的止负号都取决于三个元索的列卜标的排列。 例如叱皿列下标排列3 1 2的逆序数为:1(312) = 2+0+0 = 2,偶排列屮止小41峽2列F标排列132的逆序数为：1(132) = 0 + 1 + 0 = 1,奇排列 J负号。刘康=L(-凹朋叫sm Jlhh【定义】将用个

8、数勺排成个具有川行n列的表:称为个“阶行列式，它表示个数，该数为表中所有不同 行、不同列的元素相乘之积的代数和,n阶行列式常记为D或2，a anna an2n2 a annnn= =L L（T T）切咳iiriniirin其中九A厶表示1，2,/!的一个刃阶排列（列排列），A）为列排列的逆序数， 工 表示对所有KThh k的M阶排列求和。h.j Ja恂壮稣财抵趣脇，A：【注】1、以 J 作为元索的n阶行列式有时简记为det(n. ) o2、行列式表示一个特定的数，它是行列的表中 所冇位/不同行、不同列的个兀索乘积的代数和。 共有川项求和。3、 求和项切仙2人中的行排列总是按口然次序排列的，且该

9、项的符号取决于列排列的逆序数，即 为： (_严厶4、阶行列式a a不要与绝对值记号相混淆；5、不能将二阶及三阶行列式的対角线法推广四阶 或更高阶)行列式！若按前血对角线法,则只考虑了其中的颐,W行列式应该冇24T页o抽綁期财毛理1懈，A;例如：4阶行列式:例8下列乘积项中， 哪些可以构成相应阶行列式 中的项？1)-a4?fl2a35a2a5;2)2ifl45a36a2a54 解1) )不能构成。乘积项中有两个第1列的元素:2)可以构成。亜排为：fll2a23fl36fl45fl54fl61因为1(236541) = 1+1 + 3+2 + 1=8故该项符号为1E,可以构成介行列式中的项。解先求

10、所有乘积项(TAWS 咳%例9计算率介行列式D D2-3-57-9_61-124(一| 尸I - %口2申3尹44=56,(-1尸2岔阿尹#44 =一36,(T如角043 = -72,(-1尸二 5申2 “3尹44 (-1尸囂吗如侑44=50, (_1严如备叨护3他3 = 100,(-1)；讣I皿2角知=54,(一1)川如尹2*用44=一70,(一1)：“皿2*3佝2=-120,(T)； ：A203043=一54,(T：屮223产43 = 70,(-1)0%他妁心2=，(1)X4卩2理“43=-98(-1严詈吋7g2= 84(-1)丫H4“#42=96(-1严皿2旳例3=105(-吧角如严-1

11、40(-1)心皿2例仙一160(-1)弋卞旳角皿=-126(-1)豎:他兔刈枠尸196(-1)；打； %1*3吗1=144(1严3%； ；書誌“112(-1严如如=72。再求其代数和,得:D=56 -98 -36+84 -72+96 -60+105+50 H 40+10() -i 60+54T 26 T0+196H20+144 -54+72 +70 Hl 2-60+72=-9用定义计算阶行列式时，共需 ST）加次乘法。 再求代数和需MT次加减法。、伽=24时，所需的乘法次数约为:23x24!.4270313X1O25这是一个天文数字，由此：利用原始定义计算一般 的高阶行列式几乎是不可能的。羯同

12、阿注意：主对角线的右上方的元索 全为零。6 八=0 （J22）,取J2=2：勺仏=（）（几川-1），取jyjfjyjf故D=(-1)T(，2，%122 -a annnn = =a a a a2222例10石解:乘积项：（-1尸“人九切2勺存% =0（jtjt1）,取丿；=1;对角行列式a an-n-JU = 0（几2）,取j；_1=2,/；=l.故：U严（I2%W5=（T）朋2/-1知I上三角行列式G Gnna a2n2nn nn n解：乘积项：Zl= d紡 5 % = 0 (j2=（一厂必F的系数为 解：含*的有一项：（_尸12九如心角袒44 =10X4含 Z 的有两项：（_严|2吕_2x、

13、 （叫心的73故小的系数为10,0的系数为类似地何:引a,n-a2,n-n(o-0= (T)叱2心術Hl凹5.t例12、1 2x 132则“的-5o例13在一个n阶行列式中等丁零的元素如果比/ 还多，那么此行列式等于零，为什么？可知 6 的值是川项的代数和，而其中每一项都是H个元素的乘积，这川个元素又需要取自不同行不同列。又D,中共有，个元素,如果等于零的元素比n2-n还多，那么具中不等于省的元素就定比n n2 2-(n-(n2 2-n)-n) = = n n还少，也就是说,D,中垠多有舁-1个元素不等于冬，故0中每一项的H个尤素中至少有一个0出现，即川项的每一 项都是0,故必有D Dn n=

14、 =0 .刘康泽解( (1) )项中:） （九-4|） （入 一。22）（入- %）= （入_5151） （入_2222） （_0 0“）故最高次幫项为：X%次高次幕项为:（4 1 + 22 *-卜4/w）九由此该多项式可写为（忽略中间项不写）:入_(&+ +)入1+ + (_)a a-个关于入的川次多项式,写岀该多项式最高次幕与次高 次幕项及常数项。解：显然显高次加与次高次幕项都含在上对和线的乘积/（入）=入-勺a2_勺2九_22-%一常数项（在行列式中令1=0）：nxnij信息系刘康泽【注】n 阶行列式也可以按照如下方式定义： all a12 L a1n a21a22 L a2nT( i1i2Lin D= 刀(-1 ai11ai2 2 L ainn M M M i1i2 Lin an1 an2 L ann i1i2Lin 2 表示对所有的行排列