三角恒等变换专题复习学案

1、三角恒等变换【考情分析】经常以选择与填空题的形式出现，还常在辅助角公式是考查的重点.在考查三角知三角函数是历年高考重点考察内容之一，三角恒等变换的考查, 解答题中与其它知识结合起来考查，其中升幕公式、降幕公式、 识的同时，又考查用函数思想、数形结合思想解决问题的能力。【知识梳理】1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式sin( a±B = sin acos B±3os %sin Bcos( a±B) = cos_ acos_ B?sin_ asinB,、 tan a±an Btan (a±® =.1 ?tan atan B2. 二倍角的正

2、弦、余弦、正切公式sin -2 a= 2sin_ acos_a,222 2cos 2 a= cos a sin a = 2cos a 1 = 1 2sin a,2ta n atan 2 a=：厂.1 tan a3. 有关公式的逆用、变形(1) ta n a±an B= tan(a±B(1 ?tan_aan_ B ;21 + cos 2 a . 21 cos 2 a(2) cos a= 2， sin a= 2；2,(3)1 + sin 2 a= (s in a+ cos a4.辅助角公式asin x+ bcos x= . a21 sin 2 a= (sin a cosa)2,

3、 sin a±3OS a= 2sin2b+ b sin(x+ ©,其中 sin(j)=22,/a + b5. 3 > 0 时 y =Asi周期y = tan （x）周期【考题体验】. acos 片22.寸 a2+ b2 y = Acos(cox + ®)十 ba1. (2013江西高考)若sin= 可，贝V cos a=(1 1B. 3CT因为 sina= 33，所以 cos a= 1 2sin223解析：选C2. （2014 高考课标卷）已知sin2：1A.-6解析：选A3a 6 = 71b.293 .已知tan29 A A.41解析：选Da '

4、小2=12xji13.-，则 cos2(-)二31B.-32D.-3则tan（ a+ ®的值为（）tan( a+ 3)= tanatan atan n+ B1-tan a- 63, 2+_=7 5 =n c=32= 1.tan 6+B 1 7x 5J 3n , As in a= , tan a=，, 3,'tan 2 a4. (2013 四川高考)设 sin 2 a= sin a, a，n，贝V tan 2 a的值是1解析：'-sin 2 a= 2sin acos a= sin a,.cos a= ?,又 a2tan a _ 2W _ 更1 - tan2 a 1 ,3

5、 2.5. tan 20 丰 tan 40 丰 °/3tan 20 tan 40 .tan 20 丰 tan 40 °_解析：.tan (20 牛 40°) _3 3tan 20 tan 40 _ tan 20 + tan 40 ；1 tan 20 tan 40 °即 tan 20 ° tan 40 斗 J3tan 20 tan 40 _ 3.【典型例题】考向一：求角问题11例 1:已知 _：話 ：= (0,二)且 tan(- -), tan，求 2-的值.27变式 1: 已知 0 :-:2a 1:：二，tan二一，cos(2 2"歸

6、求的值.考向二：三角函数的化简求值例2、cos 402sin(120 ° 40 ° sin 40 。诵cos 40 + sin 40 sin 40 ° J3cos 40 ° 厂 cos 40 _3.(1) 化为特殊角的三角函数值；(2) 化为正、负相消的项，消去求值；(3) 化分子、分母出现公约数进行约分求值.变式2： (2014嘉兴模拟 严 ¥ -血20的值是()3,2cos(30 ° 20sin 20原式_sin 70C. .3解析：选Csin 702 (cos 30 cos 20 + sin 30 sin 20 sin 20 &

7、#176; Vcos 20 ° 厂 _ ,3.sin 70(2013 重庆高考)4cos 50 tan 40 =(A. 2;B. ； C. 3 ; D. 2 ,2 1sin 40 ° 4cos 40 s!n 40 sin 40 ° 2sin 80 sin 404cos 50 tan 40 _4sin 40 cosi?_ 赢矿 _ 赢亦cos 40cos 40【方法规律】1.三角函数式化简的原则三角函数式的化简要遵循“三看”原则，即一看角，二看名，三看式子结构与特征.即用转化与化归思想 去异求同”的过程，具体分析如下：(1)首先观察角与角之间的关系，用已知角表示未知

8、角，角的变换是三角恒等变换的核心;(2)其次是看三角函数名称之间的关系，通常是常值代换或者切化弦;(3 )再就是观察代数式的结构特点，合理的选择三角函数公式，化繁为简2.解决给角求值问题的基本思路对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有:考点三：三角函数的条件求值例 3 (1)(2013 浙江高考)已知 a R, sin a+ 2cos a4A.33B.4C.-4_22 则 tan 2 a=()4D. 3n(2)(2013广东高考)已知函数f(x) = .2n 的值；若 cos 0= 5, 02 n ,求 f|2 0+二'I解(1)法一：(直接法)两边平方，再

9、同时除以1 八、2tan a37,代入 tan 2 a= ，得 tan 2 a=;.31 tan a4cos x 12，x R.求f2cos a,nn3 .得 3tan a 8tan a 3= 0, tan a= 3 或 tan a= 法二：(猜想法)由给出的数据及选项的唯一性，记sina=-r, cos a=-i，这时 Sin a+ 2COS a=M.10 .10 2C.符合要求，此时tan a= 3,代入二倍角公式得到答案n= Vcos 4= 1.( n - 4 = cos 2 sin 2 0.45；n n小6 石=2cosn n、 l:3-12 = 2cos 20+740 , 2 n,所

10、以 sin 0= 24 227sin 2 0= 2sin 0os 0= , cos 2 0= cos 0 sin 0=.25 25f - n = 2cos -f 2 0+ n = .2 cos 2 0+-3ncos 0= 5, 0、因为所以24 L17一 25 丿 25.【互动探究】保持本例(2)条件不变，求fj才丿的值.1 cos2 0=所以f 2 + n = cos 2 0- sin 2 0= 寻2 n , cos 0= 5,所以 sin 0= n12 = %os 0-T3410= 54= 5.三角函数求值的两种类型关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.解：因

11、为所以 f 0n = 2cos=cos 0+ sin101=4Q = 5.,20+i n 0【方法规律】(1) 给角求值：(2) 给值求值： 一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用； 变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.tan(0+ 方=2 贝U sin 0+ cos 0=关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.变式3： 1. (2013新课标全国卷n )设0为第二象限角，若；= ¥，故 sin 0+ cos 0=2 si nJ 0+解法一由0在第二象限，且tann 14 = 2 故 sin法二：如果将tan第二象限，则sin 0=t,

12、2 .已知0 v 3<訂an解：'-0< 3< < a< nn 1tan 0+1 114 =T利用两角和的正切公式展开，贝V=：,求得tan 0= .又因为0在421 tan 0 23力，从而 sin 0+ cos 0= =申0.V105-，求 cos( a+ 3 的值.3cos 0=p10'3= 1a 2 = 9n n32, 4< a 2< ni ( 3,sin a 2 =n,且 cos.| a，sina+ 3'cos-= cosn a.4 <2<( 3 (a R|( 3 (a 33+ i ( 3 . U J| ,

13、a 2 2 3 = cos a 2 cos 2 3 + sin a 2 sin 2 3sin2 a予 J5a 2 = 9，迟2=迹9327 '2a+ 349 X 5239'cos(a+ 3= 2cos -2 1 = 2 X 729 1 = 729"考点四：三角变换的综合应用1.三角恒等变换是三角函数化简、求值、证明的主要依据.高考常与三角函数的其他知识相结合命 题，题目难度适中，为中档题.2 .高考对三角恒等变换综合问题的考查常有以下几个命题角度：(1) 与三角函数的图象和性质相结合命题；(2) 与向量相结合命题；(3) 与解三角形相结合命题.例 4 (1)(2013

14、 天津高考)已知函数 f(x) = . 2sin 2x+ n + 6sin xcos x 2cos2x+ 1, x R.求f(x)的最小正周期；求f(x)在区间0,-的最大值和最小值.n.(2013 辽宁高考)设向量 a= ( 3sin x, sin x), b= (cos x, sin x), x ” 0若|a|=|b|,求x的值；设函数f(x) = ab,求f(x)的最大值.解(1)f(x)= . 2sin 2x cosj- , 2cos 2x si门才+ 3sin 2x cos 2x= 2sin 2x 2cos 2x= 2 2sin T = 2n=nI 2 = n.所以f(x)的最小正周

15、期因为f(x)在区间是增函数，在区间0，3n, n上是减函数，又f(o)=2,=2亚临二的最大值为2 2，最小值为,.2 2 2 2 -+ sin x= 4sin x, |b| = cos x+ sin x从而 sin x= 1，所以 x= f.f(x) = a b= . 3sin xcos x+ sin2x i<2xn)+ 2当x=n=2,故函数f(x)在0,由a又 x 0, n=_23sin 2x os 2x+ 舟=sin所以f(x)的最大值为3.【方法规律】三角恒等变换综合应用问题的常见类型及解题策略(1) 与三角函数的图象与性质相结合的综合问题.借助三角恒等变换将已知条件中的函数

16、解析式整理为f(x)= Asin( ax+妨的形式，然后借助三角函数图象解决.(2) 与向量相结合的综合问题.此类问题通常是先利用向量的运算转化为角恒等变换转化为三角函数的图象与性质等问题解决.2.2 2=1, 及 |a|= |b|,得 4sin x= 1.,singx取最大值1.三角函数问题，然后再利用三2是实数集，f(x) = a b+ 4cos x+)变式 4： 1.已知平面向量 a= (sin2x, cos2x), b= (sin2x, cos2x),2 3sin xcos x,如果存在 m R，任意的 x R, f(x)>f(m),那么 f(m)=(A . 2+ 2 .3B .

17、 3 C. 0 D . 2 2 . 3解析：选 C 依题意得 f(x)= sin4x cos4x+ 4cos2x+ , 3sin 2x = sin2x+ 3cos2x+ . 3sin 2x= cos 2x+ , 3sin2x+ 2= 2sin 2x+ 6 + 2，因此函数 f(x)的最小值是一2+ 2 = 0，即有 f(m)= 0.ax n sin 2 ax a > 0)的两个相邻的零点.(1)求2.已知X0, 乂0+才是函数f(x)= cos27 n门7? 0若对？ x1 + cos 宅 ax解: (1)f(x)=2cos 2ax+ 2 sin 2 a :都有|f(x) m|w 1，求

18、实数m的取值范围. n31 cos 2ax in=2 cos ? ax 3f in的值;cos 2 ax宁 si n 2 ax+ ；COS 2ax学好资料_=¥ 如 n 2 wx+ _23cos 2 3x = fsi n 2 ®x+3 .2 n 由题意可知，f(x)的最小正周期 T= n, =2“.n 3 in 2=牙12 2sin 2X $ +=n 又w> 0 ,f3= 1,f(x) = 3si njx+-7 n 1+ 亠(2)|f(x) m|w 1，即 f(x) 1 w mw f(x) + 1,：对？ x , 0 I,都有 |f(x) m|< 1,M7 n5

19、 nn n'm> f(x)max 1 且 mW f(x)min + 1 ,：石三 XW 0，石 W 2x+ 3 W 3 , f1W sin 2x+ 3 wf,.- W 2s in 2x+ 3 W 4，即 f(x)max= 4, f(x)min = ¥ ,13f4WmW 1 故实数m的取值范围为迴 W 迴si n x+ n 厂 44,1 -製【小结】1组关系一一两角和与差的正弦、余弦、正切公式与倍角如 1 切 +1:- 料用两式相陳两式杓除公式的关系2个技巧拼角、凑角的技巧(1)用已知角表示未知角2 a= ( a+ 3+ ( a3 ； 2 3= ( a+ 3) ( a 3

20、 ； a= ( a+ 3 3= ( a 3 + 3a+ 3 a 一 3 a= T+T,(2)互余与互补关系3=a+ 3 a 3 a 32 2 ； 2a+n：+n2；n2；n+3 +3个变换 应用公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是n+“配凑”a=n;(2) 变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，(3) 变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等. 3【巩固检测】1. (2013浙江高考)函数f(x)= sin xcos

21、x+cos 2x的最小正周期和振幅分别是(B. n 2 C. 2 n 1D. 2 n 2其手法通常有“切化弦”、“升幕与降幕”等.“常解析:2 .若3 Ah丄V31V3(由 f(x)= sin xcos x+-cos 2x= ?sin 2x+ycos 2x= sin 2x+13,3，得最小正周期为 n,振幅为1.解析:nn c 八0 V aV 2， 2< 3< 0,B .亏(3cos a+ 2 = coscos n+cos na 0< a< f,则 TV 4+ a< 3n，f '2444nr n n 3 n又2< 3< 0,则 4< 4

22、2< 2，sn=cos n+ a cosC產.92 =寸，则 cos a+D . 9n . n .sin 4+ a ：n 3亠62< 2,f nE_ 2 尸 3 .2,23 .sin 4+ a'、in 4-3，3 .已知锐角 a 3满足sin3 n n 、. 3 n. nA. 4 ； B-4或&； C-4cos 3=5解析：选C 由sin a=故 cos( a+®= cos acosa=¥ cos 3=彳彳讣。，贝V a+ 3等于(510n;D . 2k n+ 尹 Z)且a, 3为锐角，可知cos3 sin asin 3=x 丄=匚,510510

23、又 0 V a+ n 故 a+n3= 4-n4.已知 a+ 3= 4，则(1 + tan a)(1 + tan 3)的值是(B. 1ntan a+ tan 3解析：'-+ 3= 4, tan( a+ 3 = 1,41 tan otan 3'tan a+ tan 3= 1 tan aan 3-(1 + tan a)(1 + tan 3 = 1 + tan a+ tan 3+ tan aan 5 .已知 sin a+ n + sin a= 3,贝V cos3C-3解析：选D4.353,故 3sin a+由 sin a+ + sin a=3 叮3所以 Sin a+ -COS a=5s

24、in a+ n = £，所以 cos6 .已知tanj+ n；= 2，则詈佥的值为2 n亍=cos3= 1 + 1 tan aan 3+ tan aan 3= 2.2 n y4D-4/曰 1二g得 2sin a+ 2cos a+sin a= 5 , nL_边 6厂 5 ,扌+ a+ 6 = sin a+ 6 = 5-fntan x+ 1解析：由 tan x+ 4 = 2,得=2,、41 tan x1 tan x tan x 1 tan x 1 Atan x= 3, '''tan 2x= 2tan x =2= 2tan x tan x1 tan2x7.将函数y= sin x的图象向右平移 扌个单位长度，再将所得的图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长 为原来的4倍，这样就得到函数f(x)的图象，若g(x)= f(x)cos x+ 3.n寸的形式;(1)将函数g(x)化成Asin( ®x+册+ B其中A、w>0, 能若函数g(x)在区间n 6上的最大值为2，试求6的最小值.12,解：(1)由题意可得f(x