第一章极限与连续(连续性)

1、 复习：复习：两个重要极限：两个重要极限：)00( 1sinlim. 10 xxx1)()(sinlim0)(xxx型）1 ()1 (lim)11 (lim. 210exxxxxxexxxxxx)(10)()()()(1 (lim)(11 (lim)00( 1tanlim0 xxx一、函数的连续性一、函数的连续性)(lim 0, 10,1)(02xfxxxxxfx求求设设yox1xy 112 xyf(x)xxxfx12lim 11)(求求设设函函数数x。 xf xfx,y12x 0 , 10 , 00 , 1)( xxxxxxf设设oxy1-1)(lim 0 xfx求求oxy-1000101-

2、xxxxxf(x)设设)(lim 0 xfx求求定义定义:)(xfy 在0 x的某邻域内有定义 , , )()(lim00 xfxfxx则称函数.)(0连续在xxf(1) )(xf在点0 x即)(0 xf(2) 极限)(lim0 xfxx(3). )()(lim00 xfxfxx设函数存在 ;且有定义 ,存在 ;1.连续的定义连续的定义2、函数的增量、函数的增量.,)(000的增量称为自变量在点的某一邻域内有定义，在设函数xxxxxxf),()(0 xfxfyxy0 xy00 xxx 0)(xfy x xx00 xx y y )(xfy 增增量量. .f f( (x x) )相相应应于于x x

3、的的称称为为函函数数,0 xxx 设设),()(0 xfxfy ,00 xxx 就是就是).()(00 xfxfy 就是就是例例1 1处处的的连连续续性性. .0 0在在x x0 0, ,x x0 0, ,0 0, ,x x, ,x x1 1x xs si in nf f( (x x) )试试讨讨论论函函数数解解,01sinlim0 xxx, 0)0(f又由定义由定义2知知.0)(处连续处连续在在函数函数 xxf),0()(lim0fxfx例例2 2.0, 0, 2, 0, 2)(连续性连续性处的处的在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解)2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f

4、)2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f 右连续但不左连续右连续但不左连续 ,.0)(处不连续处不连续在点在点故函数故函数 xxf3.单侧连续单侧连续;)(),()0(,()(0000处左连续处左连续在点在点则称则称且且内有定义内有定义在在若函数若函数xxfxfxfxaxf 定理定理.)()(00处处既既左左连连续续又又右右连连续续在在是是函函数数处处连连续续在在函函数数xxfxxf.)(),()0(,),)(0000处右连续处右连续在点在点则称则称且且内有定义内有定义在在若函数若函数xxfxfxfbxxf )(lim0 xfxx)(limxfoxx例例 讨论函数21, 0( )1

5、, 015, 1xxf xxxxx在点x=0和x=1处的连续性.解解 在点x=0处,有f(0)=1+0=100lim( )lim(1)1xxf xx200lim( )lim(1)1xxf xx由此可知0lim( )1(0)xf xf 所以,f(x)在x=0处连续.在点x=1处,有211lim( )lim(1)2xxf xx2(1)1 12f 11lim( )lim(5)4xxf xx因左、右极限不相等,故 不存在,f(x)在x=1处不连续.1lim( )xf x由f(10)=f(0)=2可知,f(x)在x=1处左连续.4.连续函数与连续区间连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数在区间上每

6、一点都连续的函数,叫做在该区间上叫做在该区间上的的连续函数连续函数,或者说函数在该区间上连续或者说函数在该区间上连续.,)(,),(上连续上连续在闭区间在闭区间函数函数则称则称处左连续处左连续在右端点在右端点处右连续处右连续并且在左端点并且在左端点内连续内连续如果函数在开区间如果函数在开区间baxfbxaxba 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.例如例如,.),(sin内是连续的在区间xy二、函数的间断点:)(0条条件件处处连连续续必必须须满满足足的的三三个个在在点点函函数数xxf;)()1(0处处有有定定义义在在点点xxf;)(lim)2(0存在存

7、在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx ).()(),()(,00或间断点或间断点的不连续点的不连续点为为并称点并称点或间断或间断处不连续处不连续在点在点函数函数则称则称要有一个不满足要有一个不满足如果上述三个条件中只如果上述三个条件中只xfxxxf1.跳跃间断点跳跃间断点.)(),0()0(,)(0000的跳跃间断点的跳跃间断点为函数为函数则称点则称点但但存在存在右极限都右极限都处左处左在点在点如果如果xfxxfxfxxf 例例.0, 0,1, 0,)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解, 0)(lim0 xfx, 1)(lim0 xfx),(lim)(

8、lim00 xfxfxx.0为函数的跳跃间断点为函数的跳跃间断点 xoxy2.可去间断点可去间断点.)()(),()(lim,)(00000的可去间断点的可去间断点为函数为函数义则称点义则称点处无定处无定在点在点或或但但处的极限存在处的极限存在在点在点如果如果xfxxxfxfAxfxxfxx 例例.1, 1,11, 10, 1,2)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxxfoxy112xy 1xy2 解解, 1)1( f, 2)(lim1xfx, 2)(lim1xfx2)(lim1 xfx),1(f .0为函数的可去间断点为函数的可去间断点 x注意注意 可去间断点只要改变或者

9、补充间断处函可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义数的定义, 则可使其变为连续点则可使其变为连续点.如例中如例中, 2)1( f令令.1, 1,1, 10,2)(处连续处连续在在则则 xxxxxxf跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. .特点特点.0处处的的左左、右右极极限限都都存存在在函函数数在在点点 xoxy1123.第二类间断点第二类间断点.)(,)(00的第二类间断点的第二类间断点为函数为函数则称点则称点在在右极限至少有一个不存右极限至少有一个不存处的左、处的左、在点在点如果如果xfxxxf例例.0, 0, 0,1)(处的连续性处的连续

10、性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解oxy, 0)(lim0 xfx,)(lim0 xfx.1为函数的第二类间断点为函数的第二类间断点 x.断点断点这种情况称为无穷间这种情况称为无穷间例例.01sin)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxf解解xy1sin ,0处没有定义处没有定义在在 x.1sinlim0不存在不存在且且xx.0为第二类间断点为第二类间断点 x.断点这种情况称为振荡间间断点分类间断点分类第一类间断点第一类间断点:)(0 xf及)(0 xf均存在存在 , )()(00 xfxf若称0 x, )()(00 xfxf若称0 x第二类间断点第二类间断点:)(0 x

11、f及)(0 xf中至少一个不存在至少一个不存在 ,称0 x若其中有一个为振荡,称0 x若其中有一个为,为可去间断点可去间断点 .为跳跃间断点跳跃间断点 .为无穷间断点无穷间断点 .为振荡间断点振荡间断点 .例例2. 讨论函数1(2)1 e, 2( ) sin( ), 2xxf xxx 的连续性.f(x)在 内连续.(,2)(2,)在分段点x=2处,有1 (2)22lim( )lim(1 e)1(2)xxxf xf 22lim( )limsin()1(2)xxf xxf 解:f(x)在x=2处既左连续又右连续,故在x=2处连续.所以f(x)在其定义域(,+)内连续.4.连续函数与连续区间连续函数

12、与连续区间在区间上每一点都连续的函数在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上叫做在该区间上的的连续函数连续函数,或者说函数在该区间上连续或者说函数在该区间上连续.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.例如例如,.),(内是连续的内是连续的有理函数在区间有理函数在区间o1x2x3xyx xfy 判断下列间断点类型判断下列间断点类型:例例.0, 0, 0,cos)(,处连续处连续在在函数函数取何值时取何值时当当 xxxaxxxfa解解)(lim0 xfx, 1 )(lim0 xfx,a ,)0(af ),0()(lim)(lim00fxfxfxx要使,1时

13、时故当且仅当故当且仅当 a.0)(处连续处连续在在函数函数 xxf, 1 axxcoslim0)(lim0 xax三、三、 设设 0),ln(0,10,)(22xxxbxxxaxf已知已知)(xf在在 0 x处连续，试确处连续，试确 定定a和和b的值的值. . 上有界。在上连续，则在闭区间若,)(,)(baxfbaxf闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质【有界定理有界定理】【最值定理最值定理】必有最大值和最小值上在上连续，则在闭区间若,)(,)(baxfbaxf【介值定理介值定理】)(,)()()()(,)(fbabfafbfafbaxf），使得（在一点，则至少存之间的任意一个数与对介

14、于，上的连续函数，且闭区间设是. 0)(,)()(,)(fbabfafbaxf存在，使得）至少有一点（异号，则在与上连续，且在闭区间若函数【根的存在定理根的存在定理】【注】（1）上面四个定理中闭区间闭区间和连续连续缺一不可，缺少任一条件都可能使结论不成立。（2）根的存在定理又叫做零点定理零点定理，证明方方程根的存在程根的存在性性与分布非常有效。之间和至少有一个实根介于：试证明方程例211315xx内有唯一的实根。在闭区间：试证方程例 1 , 102xex的正根。至少有一个小于：证明方程例1123xx的负根至少有一个大于：证明方程例1-13423xxx小结小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件

15、函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数区间上的连续函数;第一类间断点第一类间断点:可去型可去型,跳跃型跳跃型.第二类间断点第二类间断点:无穷型无穷型,振荡型振荡型.间断点间断点可去型可去型第一类间断点第一类间断点oyx跳跃型跳跃型无穷型无穷型振荡型振荡型第二类间断点第二类间断点oyx0 xoyx0 xoyx0 x一、一、 填空题：填空题： 指出指出23122 xxxy 在在1 x是第是第_类间断类间断点；在点；在2 x是第是第_类间断点类间断点 . . 二、二、 研究函数研究函数 1, 11,)(xxxxf的连续性，并画出函数的连续性，

16、并画出函数 的图形的图形 . . 练练 习习 题题三、四则运算的连续性例如例如,),(cos,sin内连续内连续在在xx.csc,sec,cot,tan在其定义域内连续在其定义域内连续故故xxxx定理定理.)0)()()(),()(),()(,)(),(000处也连续处也连续在点在点则则处连续处连续在点在点若函数若函数xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf 1. 初等函数仅在其定义区间内连续初等函数仅在其定义区间内连续, 在在其定义域内不一定连续其定义域内不一定连续;例如例如, 1cos xy,4,2, 0: xD这些孤立点的邻域内没有定义这些孤立点的邻域内没有定义.,)1(32 xxy, 1, 0: xxD及及在在0点的邻域内没有定义点的邻域内没有定义.), 1上上连连续续函函数数在在区区间间 注意注意五、小结一、一、 填空题：填空题：1 1、 43lim20 xxx_. .2 2、 xxx11lim0_. .3 3、 )2cos2ln(lim6xx _._.4 4、 xxx24tancos22lim _. .5