电磁学-北大-王稼军-讲义-ppt-2.4磁场的“高斯定理”

1、2021-12-16北京大学物理学院王稼军编磁场的磁场的“高斯定理高斯定理” 磁矢势磁矢势 n磁通量磁通量n任意磁场，磁通量定义为任意磁场，磁通量定义为 SBSdBn磁感应线的特点：磁感应线的特点：n环绕电流的无头无尾的闭合线或伸向无穷远环绕电流的无头无尾的闭合线或伸向无穷远0SBSdB磁高斯定理磁高斯定理 无源场无源场2021-12-16北京大学物理学院王稼军编磁高斯定理磁高斯定理 n通过磁场中任一闭合曲面通过磁场中任一闭合曲面S S的总磁通量恒等的总磁通量恒等于零于零 n证明：证明：n单个电流元单个电流元Idl的磁感应线：以的磁感应线：以dl方向为轴线的一方向为轴线的一系列同心圆，圆周上系

2、列同心圆，圆周上B 处处相等；处处相等；20sin4rIdldB2021-12-16北京大学物理学院王稼军编 n考察任一磁感应管考察任一磁感应管( (正截面为正截面为) )，取任意闭合曲面取任意闭合曲面S S，磁感应管，磁感应管穿入穿入S S一次，穿出一次一次，穿出一次。dSdSdS2211coscosdSrIdldSrIdlSdBddB20112011sin4cossin41dSrIdldSrIdlSdBddB20222022sin4cossin42021BBBdddn结论：任一磁感应管经闭合曲面结论：任一磁感应管经闭合曲面S的磁通量为零的磁通量为零2021-12-16北京大学物理学院王稼军

3、编推广到任意载流回路的磁场推广到任意载流回路的磁场n一个电流元一个电流元产生的磁场可看成由许多磁产生的磁场可看成由许多磁感应管组成感应管组成n有的穿入又穿出，有上述结论有的穿入又穿出，有上述结论 n有的没穿过有的没穿过S S，磁通量为零，磁通量为零 n任意载流回路任意载流回路由许多电流元串联而由许多电流元串联而成，由叠加原理得成，由叠加原理得n结论结论：通过磁场中任一闭合曲面：通过磁场中任一闭合曲面S S的总的总磁通量恒等于零。磁通量恒等于零。 2021-12-16北京大学物理学院王稼军编磁高斯定理的微分形式磁高斯定理的微分形式n利用数学的高斯定理利用数学的高斯定理0SBSdB0VdVB0 B

4、n说明恒磁场的散度为零说明恒磁场的散度为零无源场无源场2021-12-16北京大学物理学院王稼军编磁矢势磁矢势 p111/p128n然而磁场的主要特征：无源（无散）然而磁场的主要特征：无源（无散）磁高斯定理磁高斯定理n其其更根本更根本的意义：使我们可能引入磁矢势的意义：使我们可能引入磁矢势 0SSdBLLIldB内0无源场无源场有旋场有旋场非保守场一般非保守场一般不引入标势不引入标势0 BjB02021-12-16北京大学物理学院王稼军编n磁高斯定理表明：对任意闭合面磁高斯定理表明：对任意闭合面 021 SSSSdBSdBSdB 21SSSdBSdB磁通量仅由磁通量仅由的共同边界线所决定的共同

5、边界线所决定可能找到一个矢量可能找到一个矢量A，它沿，它沿L作线积分等于通过作线积分等于通过S的通量的通量)(ddaSBlALSn数学上可以证明，这样的矢量数学上可以证明，这样的矢量A的确存在，的确存在，对于磁感应强度对于磁感应强度B，A叫做叫做磁矢势磁矢势，A在空间在空间的分布也构成矢量场，简称的分布也构成矢量场，简称矢势矢势2021-12-16北京大学物理学院王稼军编根据矢量分析根据矢量分析n对任意矢量对任意矢量A有有 0)(AABn矢势的特点矢势的特点 不不唯唯一一的的满满足足AAB其实标势也不唯其实标势也不唯一，零点可选一，零点可选n如：对于任意标量场如：对于任意标量场 的梯度的梯度，

6、有，有 0BAAA)(描述同一个磁感应强度描述同一个磁感应强度B AA：规规范范变变换换n类似于电势零点可以任取，规范也可任意选取类似于电势零点可以任取，规范也可任意选取n通常选库仑规范通常选库仑规范: : A=02021-12-16北京大学物理学院王稼军编找电流产生的磁场中找电流产生的磁场中磁矢势的表达式磁矢势的表达式n电流元的磁矢势电流元的磁矢势 p112p112式（式（2.55)2.55)n任意闭合回路的磁矢势任意闭合回路的磁矢势 式（式（2.56)2.56) n例题例题9 9 n例题例题1010n例题例题1111得得出出利利用用对对称称性性由由LSddSBlAn两种办法两种办法的的表表

7、达达式式由由AAAB0和电动力学的做法电动力学的做法普通物理普通物理的方法的方法2021-12-16北京大学物理学院王稼军编电流元的磁矢势电流元的磁矢势 n设磁矢势设磁矢势a与电流元平行与电流元平行（因为对矢势变换规范可（因为对矢势变换规范可以任选，选库仑规范以任选，选库仑规范A=0 的结果）的结果）a只有只有z分量分量以电流元为轴以电流元为轴, ,取取柱坐柱坐标标（ 、 、z ) ) 取闭合环路取闭合环路LdlpddddddbdCbaLLLLLL)(zalalalalalala dcaLLLa,a,只有这一段只有这一段积分有贡献积分有贡献SLddlpdSB)(zala？2021-12-16北

8、京大学物理学院王稼军编计算通过计算通过L的通量的通量 n场点场点P P和回路和回路L在在 0 0的的平面内平面内n通过通过L的磁感应通量为：的磁感应通量为： 000z、：P P点点坐坐标标0zzd处处的的210sin4rIdldB0210sin4rddlIdlB2000cos/,tan,cos/dzdzzr 01000102/0104cos4sin40rdlIdlzdlIdldzdlIdlBdlpddLS)(zalalB消去消去dl0104)(rIdlpa z2021-12-16北京大学物理学院王稼军编同同向向1ladp 与)(0104)(rIdplan上式为电流元所产生的磁场中矢势的上式为电

9、流元所产生的磁场中矢势的 一个表达式一个表达式 矢势表达式不唯一矢势表达式不唯一n任意闭合载流回路任意闭合载流回路L L1 1 在空间某点的矢势在空间某点的矢势)(1014)(LrdIplA电流在导电流在导线截面上线截面上均匀分布均匀分布电流回路电流回路n假如电流在载流截面上不均匀分布假如电流在载流截面上不均匀分布VrdjpVA)(4)(0r2021-12-16北京大学物理学院王稼军编矢势公式的应用举例矢势公式的应用举例n例题例题9：一对平行无限长直导线，载有：一对平行无限长直导线，载有等量反向电流等量反向电流In先求一根无限长直导线的磁矢势（如图）先求一根无限长直导线的磁矢势（如图） 设矢势

10、设矢势A只有只有z分量分量 无限长无限长Az与与z无关无关 轴对称轴对称Az与与 无关无关 Az只是只是 的函数：的函数： Az Az( )取回路取回路PQLLLLLLLIldIlBdllQAPAQPQPdbdCbaln22)()(ddddddd00zzlAlAlAlAlAlAlA求磁通量求磁通量2021-12-16北京大学物理学院王稼军编PQIQAPAln2)()(0zz一根无限长导线在空间任一两点之间的矢势差一根无限长导线在空间任一两点之间的矢势差n两根无限长载流直导线的磁矢势两根无限长载流直导线的磁矢势n矢量叠加（如图）矢量叠加（如图）PQPQIQAPAIQAPAln2)()(ln2)(

11、)(00zzzz叠加得叠加得P点总矢势点总矢势ln2ln2lnln2)()(000IIIQPPPPQPQzzAA取取Q零点零点2021-12-16北京大学物理学院王稼军编n例题例题10：无限长圆柱型导体，半径为：无限长圆柱型导体，半径为R，载有在，载有在界面上均匀分布的电流界面上均匀分布的电流I，求磁矢势，求磁矢势nrR：导线外部同例题：导线外部同例题9，取，取Q点在导体表面，外点在导体表面，外部任意点部任意点P与与Q点的矢势差为点的矢势差为220002042RlIrrdrRIlBdrlrrBRrRIrrr,4)()0()(220zzzAAARrRrIIRrIrRrIRr,21ln24ln2)(ln2)()(0000zzzAAA4)(0IRzAR,r2021-12-16北京大学物理学院王稼军编求矢势小结求矢势小结n依据公式依据公式(a)求矢势的基本步骤求矢势的基本步骤n根据对称性，假设一个矢势的方向根据对称性，假设一个矢势的方向n取闭合回路，注意矢势零点的选取（原则：或可提出取闭合回路，注意矢势零点的选取（原则：或可提出积分号，或积分好算）积分号，或积分好算）n算出通过回路的磁通量算出通过回路的磁通量n得出得出A 一个表达式一个