第七次课-案例5.4展示第十三组

案例5.4将学生分配到各个学校Springfield–casedemonstration1of6Springfield

CaseDemonstrationSpringfield

CaseDemonstration指导老师

宋丹老師组长阮伟豪1601210579金服组员胡妍佳1501220020管信陈中樑1601210440创投陈雪君1601210473金服钟宥芯1601210490金服苏大达1601210702金服王翔宇1601210751创投1of34案例概述及基本模型建立Springfield

CaseDemonstration目錄延伸问题的分析与解决实际考量对假设深入分析遇到的问题与解决方法案例概述及基本模型建立1of6Springfield

CaseDemonstrationSpringfield

CaseDemonstration01案例背景Springfield–casedemonstration2of斯普林菲尔德学校董事会打算将六个居住区的学生分配到三个学校，学校决定为距离超过一英里的所有学生提供上下课的接送服务。因此为了节省校车费用，学校对学生进行分配。每个学生一年的校车费用如下表所示（表中还给出了下一年的其他一些基本数据），其中，0表示不需要校车服务，而“—”表示这种分配不可能。Springfield

CaseDemonstration34案例背景Springfield–casedemonstration3of董事会规定，每个学校每一年级的学生人数须在总人数的30%-36%间，表中显示第二年每个地去学校中各年级的学生比例。可以划出学生上学的地区界限，以便在多所学校之间分配学生。但不管如何分配，上表所要求的，每所学校学校各年级的比例必须得到满足。Springfield

CaseDemonstration地区学生数量6年级比例7年级比例8年级比例145032%38%30%260037%28%35%355030%32%38%435028%40%32%550039%34%27%645034%28%38%地區學校1學校2學校3130007002-40050036003002004200500-50-40065003000容納人數9001100100034建模分析Springfield–casedemonstration4of基于案例3.3，对于案例5.4的问题a，在Excel上建模并求得的最优解如下所示：按照原本题目的建模及规划求解，最优解为555555.6Springfield

CaseDemonstration34建模分析Springfield–casedemonstration5ofSpringfield

CaseDemonstration敏感性报告-可变单元格

终递减目标式允许的允许的单元格名称值成本系数增量减量$C$21地区1学校10177.77777783001E+30177.7777778$D$21地区1学校245000177.77777781E+30$E$21地区1学校30266.66666677001E+30266.6666667$D$22地区2学校2422.2222222040034.210526324.545454545$E$22地区2学校3177.777777805004.54545454534.21052632$C$23地区3学校1011.111111116001E+3011.11111111$D$23地区3学校2227.777777803004.54545454534.21052632$E$23地区3学校3322.2222222020034.210526327.692307692$C$24地区4学66666671E+30$D$24地区4学校20366.66666675001E+30366.6666667$C$25地区5学校1366.66666670016.66666667108.3333333$E$25地区5学校3133.33333330400108.333333316.66666667$C$26地区6学校183.33333333050033.33333333166.6666667$D$26地区6学校202003001E+30200$E$26地区6学校3366.666666700166.666666733.3333333334建模分析Springfield–casedemonstration6ofSpringfield

CaseDemonstration敏感性报告-限制式

终阴影约束允许的允许的单元格名称值价格限制值增量减量$E$16学校1六年级学生人数269.3333333001E+3018.66666667$E$17学校2六年级368.5555556001E+3027.44444444$E$18学校3六年级339.1111111001E+3020.88888889$E$16学校1六年级学生人数269.33333330029.333333331E+30$E$17学校2六年级368.55555560038.555555561E+30$E$18学校3六年级339.11111110039.111111111E+30$F$16学校1七年级288-2777.77777800.2580645162.909090909$F$17学校2七年级362.1111111001E+3033.88888889$F$18学校3七年级300.8888889001E+3059.11111111$F$16学校1七年级28800481E+30$F$17学校2七年级362.11111110032.111111111E+30$F$18学校3七年级300.8888889000.8888888891E+30$G$16学校1八年级242.6666667001E+3045.33333333$G$17学校2八年级369.3333333001E+3026.66666667$G$18学校3八年级360-6666.66666705.3333333330.666666667$G$16学校1八年级242.6666667002.6666666671E+30$G$17学校2八年级369.33333330039.333333331E+30$G$18学校3八年级36000601E+30$H$22地区1地区分配数450177.77777784503.77358490636.36363636$H$23地区2地区分配数600577.77777786003.77358490636.36363636$H$24地区3地区分配数550477.77777785503.77358490636.36363636$H$25地区4地区分配数350311.111111135072.727272736.451612903$H$26地区5地区分配数500-55.5555555650012.90322581145.4545455$H$27地区6地区分配数450277.77777784503.22580645236.36363636$E$28学校1总人数80009001E+30100$F$28学校2总人数1100-177.7777778110036.363636363.773584906$G$28学校3总人数1000-144.4444444100042.105263163.88349514634延伸问题的分析与解决1of6Springfield

CaseDemonstrationSpringfield

CaseDemonstration02案例背景Springfield–casedemonstration7of问题c：设其他地区的校车成本不变，运用敏感性报告，检验在最优解不变的情况下，6区到学校1的校车可能增加的成本。如果求成可以增加的成本不超过10%，用solver求出一个允许增加10%的最优解.问题d：将c中的学校1改成学校2.Springfield

CaseDemonstration34建模分析

Springfield–casedemonstration8ofSpringfield

CaseDemonstration敏感性報告依照敏感性报告，在最优解不变的情况下，地区六到学校一的校车成本可以增加33.33美元，如果可以增加的成本不超过10%，最优解为559318。地区六到学校二的校车成本可无限增加，最优解也不会改变，因为规划求解后的最优解中，没有地区六到学校二的学生。

终递减目标式允许的允许的单元格名称值成本系数增量减量$C$21地区1学校10177.77777783001E+30177.7777778$D$21地区1学校245000177.77777781E+30$E$21地区1学校30266.66666677001E+30266.6666667$D$22地区2学校2422.2222222040034.210526324.545454545$E$22地区2学校3177.777777805004.54545454534.21052632$C$23地区3学校1011.111111116001E+3011.11111111$D$23地区3学校2227.777777803004.54545454534.21052632$E$23地区3学校3322.2222222020034.210526327.692307692$C$24地区4学66666671E+30$D$24地区4学校20366.66666675001E+30366.6666667$C$25地区5学校1366.66666670016.66666667108.3333333$E$25地区5学校3133.33333330400108.333333316.66666667$C$26地区6学校183.33333333050033.33333333166.6666667$D$26地区6学校202003001E+30200$E$26地区6学校3366.666666700166.666666733.33333333問題c

&

d34结论：假设其他成本不变，根据敏感性报告，在最优解不变的情况下，地区6到学校1的校车成本允许增量为33.33美元。允许增加10%成本的新最优解如上表所示，559318美元。建模分析Springfield–casedemonstration9ofSpringfield

CaseDemonstration問題c34结论：假设其他成本不变，根据敏感性报告，在最优解不变的情况下，地区6到学校2的校车成本允许增量为无限大，因为最优解下地区6分配到学校2的学生数为0，并不影响总成本。建模分析Springfield–casedemonstration10ofSpringfield

CaseDemonstration問題d34建模分析Springfield–casedemonstrationofSpringfield

CaseDemonstration問題e：將問題c中的學校1同時改為學校1,2,31134建模分析Springfield–casedemonstrationofSpringfield

CaseDemonstration問題e：將問題c中的學校1同時改為學校1,2,3当校车成本增加10%的情况下，最优解的变化如下（忽略地区6到学校3，不影响答案）

5593183003033063093123153183213243273305005555565555565555565555565555565555565555565555565555565555565555565055559725559725559725559725559725559725559725559725559725559725559725105563895563895563895563895563895563895563895563895563895563895563895155568065568065568065568065568065568065568065568065568065568065568065205572225572225572225572225572225572225572225572225572225572225572225255576395576395576395576395576395576395576395576395576395576395576395305580565580565580565580565580565580565580565580565580565580565580565355584325584325584325584325584325584325584325584325584325584325584325405587275587275587275587275587275587275587275587275587275587275587275455590235590235590235590235590235590235590235590235590235590235590235505593185593185593185593185593185593185593185593185593185593185593181234建模分析

Springfield–casedemonstrationofSpringfield

CaseDemonstration

终递减目标式允许的允许的单元格名称值成本系数增量减量$C$21地区1学校10177.77777783001E+30177.7777778$D$21地区1学校245000177.77777781E+30$E$21地区1学校30266.66666677001E+30266.6666667$D$22地区2学校2422.2222222040034.210526324.545454545$E$22地区2学校3177.777777805004.54545454534.21052632$C$23地区3学校1011.111111116001E+3011.11111111$D$23地区3学校2227.777777803004.54545454534.21052632$E$23地区3学校3322.2222222020034.210526327.692307692$C$24地区4学66666671E+30$D$24地区4学校20366.66666675001E+30366.6666667$C$25地区5学校1366.66666670016.66666667108.3333333$E$25地区5学校3133.33333330400108.333333316.66666667$C$26地区6学校183.33333333050033.33333333166.6666667$D$26地区6学校202003001E+30200$E$26地区6学校3366.666666700166.666666733.33333333百分比总和为15%，依照百分之百法则，1/15=6.67%，变动百分比之合不超过100%，最优解就不会改变假设地区6到各校区的成本增加1%学校1：(505-500)/33.33=15%学校2：(303-300)/∞=0%学校3：(0-0)/166.67=0%問題e1334建模分析

Springfield–casedemonstrationofSpringfield

CaseDemonstration问题f：根据影子价格，判断是否可以租一些简易教室来增加学校的容量，降低运输成本。敏感性报告

终影子限制式允许的允许的单元格名称值价格右手边增量减量$C$27学校人数学校180009001E+30100$D$27学校人数学校21100-177.7777778110036.363636363.773584906$E$27学校人数学校31000-144.4444444100042.105263163.8834951461434案例背景Springfield–casedemonstration15of学校1影子价格为0，成本不会因为增加学生而受到影响，但若減少100以上则可能发生改变。学校2影子价格为-177.77，学生数量增加1位的时候，总成本便会降低177.78，故若增加20位学生降低的成本会超过增加教室的成本(20*177.78>2500)Springfield

CaseDemonstration学校3影子价格为-144.44，学生数量每增加1位，总成本便会降低144.44，故若增加20位学生降低的成本会超过增加教室的成本(20*144.44>2500)问题f：根据影子价格，判断是否可以租一些简易教室来增加学校的容量，降低运输成本。由敏感性報告可知34案例背景Springfield–casedemonstration16of学校2的影子价格是-177，允许变动范围是[-3.77，36.36]学校3的影子价格是-144，允许变动范围是[-3.88，42.11]Springfield

CaseDemonstration问题g:对于租用建议教室的学校，运用敏感性报告分析影子价格的有效范围由敏感性報告可知34建模分析Springfield–casedemonstrationofSpringfield

CaseDemonstration问题h：学校1、2、3租用教室的可能性组合与由solver求出的最优解（考虑教室租费）如下：结论：可见，仅由学校2租用一间简易教室，能使得校车和教室租费的总成本最小。若影子价格有效，租用教室可行数目组合为(0,1,0)、(0,1,1)、(0,1,2)、(0,0,1)、(0,0,2)

1734学校二学校三百分百法则计算

人数成本减量教室成本增量

10(20/36)+(0/42)=55.6%→符合177.77*20=3,555.425001055.411(20/36)+(20/42)=103.2%

12(20/36)+(40/42)=150.8%

01(0/36)+(20/42)=47.6%→符合144.44*20=2,888.82500388.802(0/36)+(40/42)=95.2%→符合144.44*40=5,777.65000777.6基于实际考量对假设深入分析1of6Springfield

CaseDemonstrationSpringfield

CaseDemonstration03深入分析Springfield–casedemonstrationof通过对该案例背景分析可得该类案例属于：使总成本最小的分配问题。具体来说是需要将分布在六个不同的地区的学生，分配到3个学校去上学（这些地区到不同学校的距离和路况不同，所以校车成本不同），这个问题要求我们给出一个最优分配方案，使得产生的校车成本最小。Springfield

CaseDemonstration案例性质分析1834深入分析Springfield–casedemonstrationof六个地区的学生总人数已确定Springfield

CaseDemonstration给定的数据条件六个地区各年级学生的人数比例已确定。三所学校的学生容量已确定不同地区的学生，被送往不同学校，校车成本已给定1934深入分析Springfield–casedemonstrationof1.一个地区的学生可以被分往不同的学校Springfield

CaseDemonstration建立模型时的假设2.学校各个年级的人数保持在该学校总人数的30%-36%之间3.六个地区去往新学校的学生中，要保持该地区的年级人数比例。2034深入分析Springfield–casedemonstration21ofSpringfield

CaseDemonstration同時突破建模假设1、2的进一步分析六个地区各年级学生在分往不同学校时比例不变将一个地区的学生分配到同一所学校，并且不受到各校各年级人数的比例限制34建模分析Springfield–casedemonstration22ofSpringfield

CaseDemonstration在上述放宽假设条件下通过在Excel上建模并求得的最优解34深入分析Springfield–casedemonstration23ofSpringfield

CaseDemonstration突破建模假设3的进一步分析六个地区各年级学生在分往不同学校时比例不变六个地区各年级学生在分往不同学校时不限制人数比例这样放宽假设的是基于对现实问题的考量：现实情况中很少出现某一地区的学生去往某一学校的各年级人数的比例是固定的。34建模分析Springfield–casedemonstration24ofSpringfield

CaseDemonstration在上述放宽假设条件下通过在Excel上建模并求得的最优解。34深入分析Springfield–casedemonstration25ofSpringfield

CaseDemonstration每一个地区与每个学校的组合都会有一个相对应的校车成本除了无法实现的地区向学校派送分配学生外，即使某些地区可向某学校分配学生，实际中也应排除这种选择。这样放宽假设的是基于对现实问题的考量：学生上学，划分学区、就近入学。《义务教育法》中规定就近入学，也是教育局划分学区时遵循的原则之一。目的在于遏制择校，为每个学生提供相对平等的受教育权，确保教育公平。按照老百姓的朴素理解，“就近入学”的“就近”，是指离家最近，但实际上，“就近”是相对的。34深入分析Springfield–casedemonstration26ofSpringfield

CaseDemonstration按照相对“就近”的原则将学生分往三所学校，学校1、2、3可接收六个地区中相对成本较低的三个地区的学生。地区2离各所学校的地理位置都相对不近，因此地区2的学生们被特别安排都去到交通成本相对最低的学校2。重新规划求解，得出最优成本。34結論Springfield–casedemonstration27of根据进一步分析，我们建议把一个地区的学生分配到相同学校，或者打破各地区原来的年级比例限制，且允许把一个地区的学生分配到不同学校，因为这两个方案都能使总成本达到更低水平，420000美元。Springfield

CaseDemonstration34遇到的问题与解决方法1of6Springfield

CaseDemonstrationSpringfield

CaseDemonstration04遇到的问题与解决方法Springfield–casedemonstration28of在建立模型时，一开始不了解题意的意思，因而列出了过多的限制式，造成模块的易读性不高，规划求解的最优解答案也不正确，在小组讨论后，重新了解题目要求的限制内容及学生比例的应用方式，并利用定义名称的功能，将模块易读性提高，也成功规划求解，求出最优解答。Springfield

CaseDemonstration34阮伟豪-金服遇到的问题与解决方法Springfield–casedemonstration29of做题的过程中，试图在不同的表单中相互引用单元格，但是在规划求解的时候就行不通。而且一开始对于不同区分到各学校各年级的要按固定比例，不理解，绕了很多弯。Springfield

CaseDemonstration34胡妍佳-管信遇到的问题与解决方法Springfield–casedemonstration30of最初建模时，首先须搞懂题意，厘清所有条件才能设好限制式，最初