椭圆轨道上引力一定不等于向心力吗

1、中学物理 Vol. 27 No.l2009年1月 51 中学物理 Vol. 27 No.l2009年1月椭圆轨道上引力一定不等于向心力吗 51 中学物理 Vol. 27 No.l2009年1月 51 中学物理 Vol. 27 No.l2009年1月我们知道，人造卫星绕地球做匀速圆周运 动时,万有引力等于向心力.那么，人造卫星绕 地球沿椭圆轨道运动时,万有引力还等于向心 力吗?学生一般认为,卫星轨迹不是圆形,而且 速度大小也在不断地变化，显然万有引力是不 等于向心力的(理由是，如果万有引力等于向 心力,卫星就会做匀速圆周运动)，而且许多老 师也是这样解释卫星为什么能沿椭圆轨道运 动的：在近地点，

2、地球对卫星的万有引力小于 卫星所需要的向心力，因此卫星做离心运动, 离地球越来越远，白于克服地球引力做功，到 远地点时卫星的速度最小，此时万有引力大于 卫星所需要的向心力，因此卫星又会逐渐向地 球靠近，到近地点时具有最大的速度，如此循 环形成椭圆轨道.必须强调的是，教师在做上 述解释时要指明，这里的向心力是指卫星此时 以地球为圆心做匀速圆周运动所需要的向心 力，否则，这种说法就是错误的.实际上，在近 地点和远地点，卫星受的万有引力都是等于卫 星所需要的向心力的，而在椭圆轨道的其它位 析与解 由题意可知:a星的轨道半径为 Ra = D2,p星的轨道半径为勺=D/2,设两 星间距为1,则：L -

3、Ra + Rfi=(Do + D»/2(1)由于两星均绕同一点做匀速圆周运动，由 万有引力定律和向心力公式可得：GMM/U = MaRa (2x/T)2(2)GMJIplL2 = M於,2兀/丁)2(3) 置，万有引力则不等于向心力.分析如下：数学概念在椭圆曲线上取包含P点的 一小段曲线段，会有一个圆与曲线相切于P 点，而且此圆跟曲线几乎贴在一起，即没有一 个圆能介于此圆与曲线之间而与曲线相切，此 圆称为曲线在P(Q)点的曲率圆，圆心称为曲 率中心，圆的半径称为曲率半径.曲率圆是曲 线在P(Q)点的最佳圆形近似.分析论证 如图1所示，椭圆轨道卫星经 过近(远)地点P( Q)点时的一小

4、段轨迹，可认 为与椭圆在P点的曲率圆重合,该点的曲率中 心D位于椭圆的长轴上，而处于椭圆焦点F 的地心也是位于长轴上，这样，经过P点时，卫 星受的地球引力刚好沿曲率半径指向曲率中 心,方向与卫星的速度方向垂直，对卫星不做 功，卫星动能(速率)不变.因此，经过近(远) 地点时，可以认为卫星沿曲率圆做匀速圆周运 动,卫星受的万有引力等于卫星所需要的向心 力.而在椭圆轨道的其它位置，由于地球对卫 星的引力没有沿曲率半径指向曲率中心，因此 代入已知条件并整理可得：Ma = n2Dp(Do + Dfi)2l2GT= "(Da + Dfi)2/2GT2.点评星体间存在万有引力作用，正是在这 种引

5、力的作用下，才会出现天空中的“双体转动模 型” 解答本题时要注意到其中所包含的隐含条 件,两星的轨道半径和距离可从图中读岀来.【作者单位:(317605)浙江省玉环县楚门 中学】万有引力不等于向心力.解决问题如图1所示，某卫星沿椭圆轨 道绕地球运行，近地点P离地心距离为a,远地 点Q离地心距离为6,卫星经过近地点时的速 率为4，求卫星经过远地点时的速率错解卫星受的地球引力提供向心力"近地点有:过P、Q点时各取足够短的相等时间由面 积相等有vatal2 =以仍/2,也得vb =牙S 另解2 运行过程卫星的机械能守怛，由 大学物理知识可知,对于半长轴为L的椭圆轨 道，卫星具有的机械能为：

6、r GMntE=-2Tf地球-卫星系统的引力势能为：TT GMmu=-式中r是卫星离地心的距离.近地点有： 51 中学物理 Vol. 27 No.l2009年1月Gm =远地点有:.GMm GMm = 2lT远地点有：两式相比易得: 51 中学物理 Vol. 27 No.l2009年1月a(a + 6)f2GM GMbL2GM 2GMba + 62GMa2GMbb(a + b)9两式相比同样得到：错因 误把卫星与地心的距离当作了该 点的曲率半径，导致错解.正解 由椭圆形状的对称性可知,近地点 与远地点的曲率半径R是相同的，地球引力提 供向心力：近地点有：MmG r =刃 g,远地点有:两式相比得vb =殊途同归另解1据开普勒第二定律，地球和卫星 的连线在相等时间内扫过的面积相等卫