多刚体大作业2(maple)

1、Maple理论力学MAPLE理论力学学号：201431206024专业： 车辆工程 姓名： 张 垚 导师： 李银山 o一、如图1，长、质量的匀质木棒，可绕水平轴O在竖直平面内转动，开始时棒自然竖直悬垂，现有质量的子弹以的速率从A点射入棒中，A、O点的距离为，如图所示。求：（1）棒开始运动时的角速度；（2）棒的最大偏转角。解：（1）子弹射入前，子弹角动量为： 子弹射入后，木棒角动量为：图1子弹射入后，子弹角动量为：应用角动量守恒定律：解得： 图2（2）子弹射入后，子弹角动能：子弹射入后，木棍角动能：子弹摄入后，子弹重力势能：子弹摄入后，木棍重力势能：最大偏角时，子弹重力势能：最大偏角时，木棍重力

2、势能：应用机械能守恒定律：解得 ，答案：（1）；（2）。 Maple程序：> restart: #清零> L1:=3/4*m*v*l: #射入前子弹的角动量L1> L2:=1/3*M*omega*l2: #射入后木棒的角动量L2> L3:=m*(3/4*l)2*omega: #射入后子弹的角动量L3> eq1:= L1= L2+ L3: #角动量守恒> Ek1:=1/2*1/3*M*l2*omega2: #射入瞬间木棒角动能> Ek2:=1/2*1/3*M*l2*omega2: #射入瞬间子弹角动能> Ep1:=-1/2*M*g*l: #射入瞬间

3、木棒重力势能> Ep2:=-3/4*m*g*l: #射入瞬间子弹重力势能> Ep3:=-1/2*M*g*l*cos(theta): #最大偏转时木棒重力势能> Ep4:=-3/4*m*g*l*cos(theta): #最大偏转时子弹重力势能> eq2:= Ek1+ Ek2+ Ep1+ Ep2= Ep3+ Ep4: #角动量守恒> l:=0.4:M=1:m=0.008:v=200:g=9.8: #已知条件> solve(eq1,eq2,omega,theta): #解方程二、如图3，一根长为、质量为M的匀质棒自由悬挂于通过其上端的光滑水平轴上。现有一质量为m的

4、子弹以水平速度v0射向棒的中心，并以v0/2的水平速度穿出棒，此后棒的最大偏转角恰为，则v0的大小为多少？ 解：设子弹射入棒子前绕O的角速度为，射出棒子后的角速度为，射出后棒子的角速度为，子弹绕O点的转动惯量为,棒子绕O点的转动惯量为。根据角动量平衡和能量守恒列出方程如下：图3 可知：代入方程组求解：，最终解得: 答案： Maple程序:> restart: #清零> J1:=m*(1/2*l)2; #子弹绕O点的转动惯量J1> J2:=1/3*M* l2; #棒子绕O点的转动惯量J> omega1:=2*v0/l; #子弹射入棒子前绕O的角速度> omega2:

5、=v0/l; #子弹射出棒子后绕O的角速度> eq1:=J1*omega1=J1*omega2+J2*omega; #角动量平衡>SOL1:=solve(eq1,omega); #解方程求>omega:=subs(SOL1,omega); #值> eq2:=1/2*J*omega2=1/2*M*g*l; #能量守恒> solve(eq2,v0); #解方程，求v三、如图4所示，一轻绳跨过两个质量均为m、半径均为R的匀质圆盘状定滑轮。绳的两端分别系着质量分别为m和2m的重物，不计滑轮转轴的摩擦。将系统由静止释放，且绳与两滑轮间均无相对滑动，则两滑轮之间绳的张力为多少

6、？ 图4解：受力分析如图5，根据受力平衡和力矩平衡列出方程组：图5其中， 由（1）、（2）两式得：可先求出a，解得 ， ，将， 代入，得： 答案： Maple程序：> restart： #清零> eq1:= m1*g-T1 = m2*a; #重物1受力平衡> eq2:= T2-m2*g = m2*a; #重物2受力平衡> eq3:= (T1-T)*R1 = J1*alpha1; #重物1力矩平衡> eq4:= (T-T2)*R2 = J2*alpha2; #重物2力矩平衡> alpha1 := a/R1： #轮1角加速度> alpha2 := a/R2

7、; #轮2角加速度> J1:= (1/2)*M1*R12 #轮1转动惯量 > J2:= (1/2)*M2*R22; #轮2转动惯量> m1:= 2*m：m2 := m： M1 := m： M2 := m： #已知条件> R1 := r：R2 := r： #已知条件> SOL2:= solve(eq1, eq2, eq3, eq4, T, a, T1, T2); #解方程组四、如图9，图示曲线规尺的杆长OA=AB=200mm,而CD=DE=AC=AE=50mm。如OA杆以等角速度绕O轴转动，并且当运动开始时，角。（1）求尺上D点的运动方程。（2）求D点轨迹，并绘图。

8、图7图6 Maple程序：> restart: #清零> phi:=omega*t: #瞬时夹角> x:=OA*cos(phi): #D点的横坐标> y:=(OA-2*AC)*sin(phi): #D点的纵坐标> OA:=l: AB:=l: #OA、AB长度> CD:=l/4: DE:=l/4: AC:=l/4: AE:=l/4: #CD、DE、AC、AE长度> eq:=X2/l2+Y2/(l/2)2=1: #解方程> x:=evalf(subs(l=0.2,omega=Pi/5,x),4): > y:=evalf(subs(l=0.2,o

9、mega=Pi/5,y),4):> eq:=evalf(subs(l=0.2,eq),4):> with(plots): #绘制D点轨迹> implicitplot(eq,X=-0.2.2,Y=-0.1.0.1):结果如图10。五、如图11所示，物体1和2的质量分别为m1与m2，滑轮的转动惯量为J，半径为。（1）如物体2与桌面间的摩擦系数为m，求系统的加速度a 及绳中的张力T1和T2；（2）如物体2与桌面间为光滑接触，求系统的加速度a及绳中的张力T1和T2。（设绳子与滑轮间无相对滑动，滑轮与转轴无摩擦）。图8解：图9图11图10（1）用隔离体法，分别画出三个物体的受力图。如图

10、12，对物体1，在竖直方向应用牛顿运动定律如图13，对物体2，在水平方向和竖直方向分别应用牛顿运动定律，如图14，对滑轮，应用转动定律，并利用关系，由以上各式， 解得；（2）时； Maple程序：> restart: #清零> eq1:=T1m1*g=m1*(-a); #重物1受力> eq2:=T2-mu*N=m2*a; #重物2水平方向受力> eq3:=T2*r-T1*r=J*(-alpha); #滑轮所受力矩> N:=m2*g; #重物2竖直方向受力> alpha:=-(a/r); #角加速度> SOL1：=solve(eq1,eq2,eq3 ,a

11、,T1,T2); #解方程> a:=subs(SOL1,a); #a的大小> T1:=subs(SOL1,T1); #T1的大小> T2:=subs(SOL1,T2); #T2的大小> mu:=o: #摩擦系数为零> a:=subs(SOL1,a); #摩擦为零时a的大小> T1:=subs(SOL1,T1); #摩擦为零时T1的大小> T2:=subs(SOL1,T2); #摩擦为零时T2的大小六、如图15所示，在半径为R1、质量为M的静止水平圆盘上，站一静止的质量为m的人。圆盘可无摩擦地绕过盘中心的竖直轴转动。当这人沿着与圆盘同心，半径为R2（&l

12、t; R1）的圆周相对于圆盘走一周时，问圆盘和人相对于地面转动的角度各为多少？图12解：设人相对圆盘的角速度为，圆盘相对地面的角速度为。则人相对地面的角速度为应用角动量守恒定律 得，解得： 圆盘相对地面转过的角度为：人相对地面转过的角度为：答案：（1）；（2）。 Maple程序：> restart: #清零> eq1:=omegam=omega+omegaM; #角速度关系> eq2:=m*R22*omegam+(1/2)*M*R12*omegaM=0; #角动量守恒> SOL1:=solve(eq1,eq2,omegaM,omegam); #解方程组 > ome

13、gaM:=subs(SOL1, omegaM); #圆盘角速度> omegam:=subs(SOL1, omegam); #人的角速度> thetaM=Int( omegaM,x); #求圆盘转角公式> thetam=Int( omegam,x); #求人的转角公式> eq3:=thetaM=int( omegaM,x); #求圆盘转角> eq4:=thetam=int( omegam,x); #求人的转角> x:=2*pi/omega; #经过的时间> SOL2:= solve(eq3,eq4,thetaM,thetam); #解方程组> th

14、etaM:=subs(SOL2,thetaM); #圆盘转角大小> thetam:=subs(SOL2,thetam); #人的转角大小七、如图13，已知：半径为R的水平圆盘绕O轴匀速转动，角速度为；均质杆AB重为W，长R=1，其两端位于圆盘的圆周上，A端与圆盘铰接，B端通过绳索系于O轴；设各接触面都是光滑的。试用动静法求圆盘对杆A端的约束力和绳索对B端的拉力。图14图13解:进行受力分析如图14：AB杆加速度：虚加惯性力： 答案： Maple程序：> restart: #清零> aC:=omega2*r; #C点的加速度> r:=cos(theta)*1; #C点的半

15、径> theta:=pi/3; #OB与OC的夹角> FR:= cos(theta)*omega2*r*(omega2)*W/g; #惯性力大小 > eq1:=FR*l/2-FTB* cos(theta)*1=0; #力矩平衡> eq2:=FAx+FR-FTB* cos(theta)=0; #水品方向受力平衡> eq3:=FAy+FTB*sin(theta)=0; #竖直方向受力平衡> SOL1:=solve(eq1, FTB); #解方程> FTB:=subs(SOL1, FTB); #绳子拉力> SOL2:=solve(eq2, FAx);

16、#解方程组> FAx:=subs(SOL2, FAx); #A点水平方向约束力> SOL3:=solve(eq3, FAy); #解方程组> FAy:=subs(SOL3, FAy); # A点竖直方向约束力八、在图5所示机构中，。杆以匀角速度绕轴转动，某瞬时且铅垂。求该瞬时，杆和杆的角速度及角加速度。图15图16解：受力分析如图16，求角速度，由分析可知，该瞬时AB杆平动。 求加速度 选A为基点，则： 而 将上等式两端分别在y轴上投影得： 将等式两端分别向X轴上投影，得： 即 而 答案：, Maple程序：> restart: #清零> eq1:=vB=vA;

17、#A、B两点速度相同> vA:=omega0*r; #A点的加速度> eq2:=omegaO2B=vB/r; #杆O2B的瞬时角速度> omegaAB:=0; #杆AB的瞬时角速度> SOL1:=solve(eq1,eq2,omegaO2B); #解方程> omegaO2B:=subs(SOL1, omegaO2B); #杆O2B的瞬时角速度大小> eq3:=alphaA=alphaAn; #A点的角加速度> alphaAn:=r*omega02; #A点的法向角加速度> eq4:=aBn+ aBt= aA+aBAt+aBAn; #平衡方程>

18、; eq5:=aBn=r*omega02; #B点的法向角加速度> aBAn:=0; #AB杆瞬时法向角加速度为零> eq6:=aBAt=4*r*alphaAB; #AB杆瞬时切向角加速度为零> eq7:=aBn=-aA+aBat*cos(pi/3); #B点瞬时法向角加速度为零> SOL2:=solve(eq3,eq4,eq5,eq6,eq7,aBAt,alphaAB); #解方程组> aBAt:=subs(SOL2, alphaBAt); #AB杆切向加速度> alphaAB:=subs(SOL2, alphaAB); #AB杆角加速度> aBt:

19、=aBAt/2; #B点切向加速度> eq8:=alphaO2B=aBt/r; #杆O2B的瞬时角加速度> SOL3:=solve(eq8,alphaO2B); #解方程组> alphaO2B:=subs(SOL2, alphaO2B); #杆O2B的瞬时角加速度值九、如图17所示，直角曲杆绕轴转动，使套在其上的小环沿固定直杆滑动。已知：，与垂直，曲杆的角速度，角加速度为零。求当时，小环的速度和加速度。 图19图18图17 解：小环为动点，动系固结于曲杆；绝对运动为沿AO直线，相对运动沿直线BC，牵连运动为绕O定轴转动。速度分析如图18，则有：此时由加速度分析图19： 其中

20、，将加速度矢量式向方向投影得代入已知数据解得 答案：， Maple程序：> restart: #清零> eq1:=vM=ve*tan(phi); #小环速度> eq2:=ve=OM*omega; #法向速度> eq3:=OM=OB/cos(phi); #OM长度> eq4:=vr=ve/cos(phi); #BC方向速度> phi:=2*pi/3; #的大小> OB:=0.1; #OB的大小> omega:=0.5; #的大小> SOL1:=solve(eq1,eq2,eq3,eq4,vM,ve,vr); #解方程> vM:=subs

21、(SOL1,vM); #小环速度大小> ve:=subs(SOL1,ve); #法向速度大小> vr:=subs(SOL1,vr); #BC方向速度大小> eq5:=ae=OM*omega2; #法向加速度> eq6:=ac=2*omega*vr; #BC法向加速度> eq7:=aM*cos(phi)=-ae* cos(phi)+ac; #加速度平衡> SOL2:=solve(eq5,eq6,eq7,aM); #解方程> aM:=subs(SOL1,aM); #小环加速度大小Maplel理论力学学习心得这一学期我们学习了多刚体动力学这门课程，开课第一天

22、当我看到为我们授课的老师竟然是Maple理论力学的主编李银山老师时，感到十分的惊讶和荣幸。Maple理论力学是一本被列入全国普通高等教育“十一五”国家规划教材的经典力学书籍，而我们竟然能够有幸直接受到教材的主编李银山老师的授课，这将是一次巨大的机遇。在整个授课过程中，我们也确实不仅系统而又深刻的学习了这门课的理论知识，更是不断受到李老师的熏陶，汲取了书中大量的精髓，达到了从“象”到“数”再到“理”的转变。在经过这一段时间的学习后，我已明显地体会到了Maple理论力学一书与同类书籍的不同和可贵之处。该书共分为6篇28章，前4篇分别为静力学、运动学、动力学和分析力学，第5篇为专题篇，分别讲述了“质点振动”、“非惯性系中的质点动力学”、“碰撞”、“变质量动力学”和“多自由度系统的线性振动”，第6篇为高级应用，分别讲述了：“平面三体问题的轨道”、“人造地球卫星”、“陀螺”以及“非线性振动、分岔和混沌”。该书有多处值得称赞的地方：第一，这是一本“新鲜”的书。Maple理论力学一书在充分讲述了传统理论力学的基础上，又增