湖南省中考数学总复习第六单元圆课时25圆的基本概念及性质课件

1、课前考点过关中考对接命题点一圆周角定理及其推论1. 2017衡阳 如图25-1,点A,B,C都在O上,且点C在弦AB所对的优弧上,如果AOB=64,那么ACB的度数是()A. 26B. 30C. 32D. 64C课前考点过关2. 2018张家界 如图25-2,P是O的直径AB延长线上一点,且AB=4,点M为上一个动点(不与A,B重合),射线PM与O交于点N(不与M重合). (1)当点M在什么位置时,MAB的面积最大,并求岀这个最大值. (2)求证:PANPMB. 课前考点过关3. 2018湘潭 如图25-3,AB是以O为圆心的半圆的直径,半径COAO,点M是上的动点,且不与点A,C,B重合,直

2、线AM交直线OC于点D,连接OM与CM. (1)若半圆的半径为10. 当AOM=60时,求DM的长;当AM=12时,求DM的长. (2)探究:在点M运动的过程中,DMC的大小是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由. 课前考点过关课前考点过关3. 2018湘潭 如图25-3,AB是以O为圆心的半圆的直径,半径COAO,点M是上的动点,且不与点A,C,B重合,直线AM交直线OC于点D,连接OM与CM. (2)探究:在点M运动的过程中,DMC的大小是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由. 课前考点过关课前考点过关命题点二圆内接四边形及性质4. 2017永州 如图25-4,四边形A

3、BCD是O的内接四边形,点D是的中点,点E是上的一点,若CED=40,则ADC=. 5. 2016娄底 如图25-5,四边形ABCD为O的内接四边形,已知C=D,则AB与CD的位置关系是 . 100ABCD课前考点过关命题点三 垂径定理及其推论6. 2017长沙 如图25-6,AB为O的直径,弦CDAB于点E,已知CD=6,EB=1,则O的半径为. 7. 2015长沙 如图25-7,AB是O的直径,点C是O上的一点,若BC=6,AB=10,ODBC于点D,则OD的长为. 54课前考点过关命题点四三角形的外接圆8. 2017永州 小红不小心把家里的一块圆形玻璃镜打碎了,需要配制一块同样大小的玻璃

4、镜,工人师傅在一块如图25-8的玻璃镜残片的边缘描出了点A,B,C,给出三角形ABC,则这块玻璃镜的圆心是()A. AB,AC边上的中线的交点B. AB,AC边上的垂直平分线的交点C. AB,AC边上的高所在直线的交点D. BAC与ABC的平分线的交点B课前考点过关考点自查考点一圆的有关概念圆的定义定义1在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A的轨迹所形成的图形叫做圆. 固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半径定义2圆是平面内到一定点的距离等于定长的所有点组成的图形弦连接圆上任意两点的叫做弦 直径经过的弦叫做直径 直径是圆中最长的弦弧圆上任意两点间的部分叫做弧. 大于半圆

5、的弧叫做优弧;小于半圆的弧叫做劣弧线段圆心课前考点过关考点二点与圆的位置关系内上外课前考点过关考点三圆的对称性圆既是轴对称图形,又是对称图形. 圆有无数条对称轴,对称中心只有一个,即为圆心,圆还是旋转对称图形,具有旋转不变性. 中心课前考点过关考点四圆心角、弧、弦之间的关系定义顶点在圆心,并且两边都与圆相交的角叫做圆心角定理在同圆或等圆中,如果圆心角相等,那么它们所对的弧相等,所对的也相等 推论在同圆或等圆中,如果两个圆心角两条弧和两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等拓展弧的度数等于它所对圆心角的度数弦课前考点过关考点五圆周角定义顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫做圆周

6、角定理一条弧所对的圆周角的度数等于它所对的圆心角的度数的 推论在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角;相等的圆周角所对的弧 直径所对的圆周角是;90的圆周角所对的弦是 一半相等相等直角直径课前考点过关考点六圆内接四边形概念如果一个四边形的所有顶点都在同一个圆上,那么这个四边形叫做圆内接四边形,这个圆叫做这个四边形的外接圆性质圆内接四边形的对角互补推论圆内接四边形的一个外角等于它的内对角课前考点过关考点七垂径定理及运用定理垂直于弦的直径,并且平分弦所对的两条弧 推论(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;(3)平分弦所

7、对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧总结简言之,如果过圆心;垂直于弦;平分弦;平分弦所对的优弧;平分弦所对的劣弧中的任意两条结论成立,那么其他的结论也成立平分弦课前考点过关考点八确定圆的条件确定圆的条件不在同一直线上的三个点确定一个圆三角形的外心三角形三边的的交点,即三角形外接圆的圆心 防错提醒锐角三角形的外心在三角形的内部,直角三角形的外心在直角三角形的斜边上,钝角三角形的外心在三角形的外部垂直平分线课前考点过关易错警示【失分点】 1. 对弦、弧、直径、半圆等概念理解不清;2. 计算角度或求线段长度时,如果图形不确定,那么需要分类讨论;3. 不能运用圆心角、圆周角的关系解决

8、问题. 1. 下列说法错误的是()A. 直径相等的两个圆是等圆B. 长度相等的两条弧是等弧C. 圆中最长的弦是直径D. 一条弦把圆分成两条弧,这两条弧可能是等弧B课前考点过关【答案】C【解析】 AB为O的直径,ACB=90.ABC=ADC=35,CAB=55.故选C.2. 2018盐城 如图25-9,AB为O的直径,CD为O的弦,ADC=35,则CAB的度数为()A. 35B. 45C. 55D. 65 图25-9课前考点过关3. 2018孝感 已知圆O的半径为10 cm,AB,CD是O的两条弦,ABCD,AB=16 cm,CD=12 cm,则弦AB和CD之间的距离是cm. 课堂互动探究探究一

9、圆心角、弧、弦之间的关系例1 2017盐城 如图25-10,将O沿弦AB折叠,点C在上,点D在上,若ACB=70,则ADB= . 图25-10110方法模型 运用圆心角、弧、弦的关系时要注意“在同圆或等圆中”的条件,只有在这个条件下,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 课堂互动探究拓展1 2018毕节 如图25-11,AB是O的直径,C,D为半圆的三等分点,CEAB于点E,则ACE的度数为. 图25-11课堂互动探究相等课堂互动探究探究二圆周角定理及其推论例2 2016株洲节选 如图25-13,AB是半径为1的圆O的直径,C是圆上一点,D是BC

10、延长线上一点,过点D的直线交AC于点E,交AB于点F,且AEF为等边三角形. 求证:DFB是等腰三角形. 图25-13证明:AB是O的直径,ACB=90.AEF为等边三角形,CAB=EFA=60,B=30.EFA=B+FDB,B=FDB=30,DF=FB,DFB是等腰三角形.方法模型 运用直径所对的圆周角是90时,没有直径或圆周角时可通过作直线或连线构造出直径或圆周角. 课堂互动探究拓展1 2018菏泽 如图25-14,在O中,OCAB,ADC=32,则OBA的度数是()图25-14A. 64B. 58C. 32D. 26【答案】D【解析】OCAB,弧AC=弧BC.ADC是弧AC所对的圆周角,

11、BOC是弧BC所对的圆心角,BOC=2ADC=64,OBA=90-BOC=90-64=26.故选D.课堂互动探究课堂互动探究【答案】 15【解析】OA=OB,OA=AB,OA=OB=AB,即OAB是等边三角形,AOB=60.OCOB,COB=90,COA=90-60=30,ABC=15.课堂互动探究拓展4 2018宜昌 如图25-17,在ABC中,AB=AC. 以AB为直径的半圆交AC于点D,交BC于点E. 延长AE至点F,使EF=AE,连接FB,FC. (1)求证:四边形ABFC是菱形. (2)若AD=7,BE=2,求半圆和菱形ABFC的面积. 解:(1)证明:AB为半圆的直径,AEB=90

12、.AB=AC,CE=BE.又EF=AE,四边形ABFC是平行四边形.又AB=AC(或AEB=90),平行四边形ABFC是菱形.课堂互动探究拓展4 2018宜昌 如图25-17,在ABC中,AB=AC. 以AB为直径的半圆交AC于点D,交BC于点E. 延长AE至点F,使EF=AE,连接FB,FC. (2)若AD=7,BE=2,求半圆和菱形ABFC的面积. 课堂互动探究探究三垂径定理及其推论例3 如图25-18,已知点O是EPF的平分线上的一点,以O为圆心的圆和角的两边分别交于点A,B和C,D. 求证:(1)OBA=OCD;(2)AB=CD. 证明:(1)如图,过点O分别作OMAB,ONCD,垂足

13、分别为M,N.又EPO=FPO,OM=ON.在RtOMB和RtONC中,OB=OC,OM=ON,RtOMB RtONC(HL),OBA=OCD.(2)RtOBM RtOCN,BM=CN.OMAB,ONCD,AB=2BM,CD=2CN,AB=CD.课堂互动探究方法模型 垂径定理的运用主要是通过作过圆心的垂线构造直角三角形,然后利用勾股定理求解. C课堂互动探究课堂互动探究拓展3 2018乐山 九章算术是我国古代第一部自成体系的数学专著,代表了东方数学的最高成就. 它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用. 书中记载:“今有圆材埋在壁中,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何?”译为

14、:“今有一圆柱形木材,埋在墙壁中,不知其大小,用锯去锯这木材,锯口深1寸(ED=1寸),锯道长1尺(AB=1尺=10寸),问:这块圆柱形木材的直径是多少?”如图25-21所示,请根据所学知识计算:圆柱形木材的直径AC是()A. 13寸B. 20寸C. 26寸D. 28寸【答案】 C【解析】设O的半径为r.在RtADO中,AD=5,OD=r-1,OA=r,则有r2=52+(r-1)2,解得r=13,O的直径AC为26寸.故选C.课堂互动探究探究四圆内接四边形例4 2018南京 如图25-22,在正方形ABCD中,E是AB上一点,连接DE. 过点A作AFDE,垂足为F. O经过点C,D,F,与AD

15、相交于点G. (1)求证:AFGDFC. (2)若正方形ABCD的边长为4,AE=1,求O的半径. 解:(1)证明:在正方形ABCD中,ADC=90,CDF+ADF=90.AFDE,AFD=90.GAF+ADF=90.GAF=CDF.四边形GFCD是O的内接四边形,FCD+DGF=180.又FGA+DGF=180,FGA=FCD.AFGDFC.课堂互动探究例4 2018南京 如图25-22,在正方形ABCD中,E是AB上一点,连接DE. 过点A作AFDE,垂足为F. O经过点C,D,F,与AD相交于点G. (2)若正方形ABCD的边长为4,AE=1,求O的半径. 课堂互动探究方法模型 圆内接四

16、边形的对角互补主要应用是:(1)转移角的位置,从圆内移到圆外;(2)根据互补求角. 课堂互动探究拓展1 2018苏州 如图25-23,AB是半圆的直径,O为圆心,C是半圆上的点,D是弧AC上的点. 若BOC=40,则D的度数为()图25-23A. 100B. 110C. 120D. 130【答案】 B【解析】 OC=OB,BOC=40,OBC=70,D=180-70=110.故选B.课堂互动探究拓展2 2018扬州 如图25-24,已知O的半径为2,ABC内接于O,ACB=135,则AB=. 图25-24课堂互动探究课堂互动探究探究五三角形的外接圆例5 2018安徽 如图25-26,O为锐角三

17、角形ABC的外接圆,半径为5. (1)用尺规作图作出BAC的平分线,并标出它与劣弧BC的交点E(保留作图痕迹,不写作法);(2)若(1)中的点E到弦BC的距离为3,求弦CE的长. 课堂互动探究例5 2018安徽 如图25-26,O为锐角三角形ABC的外接圆,半径为5. (2)若(1)中的点E到弦BC的距离为3,求弦CE的长. 课堂互动探究方法模型 三角形的外接圆一般综合三角形的外心(外接圆的圆心)、圆周角定理和圆内接四边形的对角互补等基本知识,其目的是综合直角三角形或相似三角形的知识,以便求角度及线段的长. 课堂互动探究课堂互动探究课堂互动探究拓展2 2017台州 如图25-27,已知等腰直角三角形ABC,点P是斜