中学数学教学中的数学思想渗透

1、 摘 要 本文总结了中学数学教学中常用的数学基本思想，并就中学阶段数学思想的渗透问题作了初步研究总结。迄今为止，有关研究数学思想的著作不胜枚举，许多著名的学者以及从事数学教学的工作者对数学思想虽然做了广泛深入的研究，但针对中学数学教学中常用的数学基本思想却未能进行较为全面的总结。尤其在当今教育教学改革的大潮中，把数学思想的渗透作为改革重点之一，已是摆在我们面前及待解决的课题。鉴于此，我在教学实践中对教师在授课中数学思想的体现进行了分析研究。据此提出自己对在数学课堂教学中如何渗透数学基本思想的一点看法。本文主要采取案例分析法及比较研究的方法，从不同角度对课堂教学中学生解题过程的表现进行分析研究，

2、同时还分析研究了教师在讲课中存在的有利或不利于发展学生能力的表现，试图通过此项研究，为自己和同行们的教学，进行一些数学思想渗透于课堂教学中的 探索，以利于今后提高教育教学质量。关键词：数学思想，中学数学，渗透m Middle School Mathematics Teaching mathematical ideas permeate Abstract:This paper summarizes the basic mathematical ideas are frequently used in middle school mathematics teaching and mathemati

3、cs in secondary schools conducted a preliminary study summary the infiltration of the thoughts。 So far， the study of mathematical ideas are numerous works of， many famous scholars and workers engaged in teaching mathematics mathematical ideals while doing extensive research， but commonly used in mid

4、dle school mathematics teaching basic mathematical ideas did not conduct a more comprehensive summary。 Especially in the reform of education and teaching in the tide today， penetration of mathematical thought as one of the priorities for reform， is placed in front of us and the issues to be resolved

5、。 In view of this， my teachers taught in teaching practice in the research of mathematical thresents itself on how to ought， were analyzed。 Thus permeate mathematical thinking in mathematics classroom teaching observation。This main take case analysis law and the comparison research of method， from d

6、ifferent angle on classroom teaching middle school students solving process of performance for analysis research， while also analysis research has teachers in lectures in the exists of enabling or not conducive to development students capacity of performance， tries to through this items research， fo

7、r themselves and peer were of teaching， for some mathematics thought penetration Yu classroom teaching in the of exploration， to conducive to future improve education teaching quality。Keywords: mathematics ， middle school math ， penetration 目 录 一、引 言1二、数学思想简介1三、中学数学中的数学基本思想1 (一）函数与方程思想2（二）数形结合思想2（三）

8、分类讨论思想3（四）类比与归纳思想3（五）化归思想3（六）辩证思想4 （七）数学建模思想 4（八）整体思想5四 、数学思想在中学数学教学中的渗透5（一）重视数学思想的教学51、转变教学思想，突出数学思想的教学62、强化辩证思维训练，完善思维方式63、注意思维过程教学，创造思想情境74、突出转化思想，总结解题规律7（二）数学思想教学的原则81、化隐为显原则82、循序渐进原则83、学生参与原则9 （三）如何贯彻数学思想的教学原则91、充分挖掘教材中的数学思想92、有计划有步骤地渗透、介绍有关思想9五、结束语10六、致谢10参考文献12 一、引 言长期以来人们认为数学教学主要是传授知识，所

9、以表现为老师讲知识，学生学知识。随着教育理念的不断发展，人们认识到数学教学不仅要传授给学生数学知识，更重要的是要使学生具备良好的数学思维品质、正确的学习态度、有效的学习方式以及自主探索的创新意识和创新能力，在对这一问题的探讨中要逐步认识到数学思想的重要性。数学思想是数学教育发展的产物，数学思想是处理数学问题的指导思想和基本策略，是数学的灵魂。但是，传统数学教学过分地强调数学逻辑，使课程体系成了环环相扣的严密链条，因而许多影响深远，应用广泛的数学思想被忽视，学生得不到运用数学思想的训练，不会进行“数学式的思维”。 本文所举案例，有的是笔者亲身经历，也有一些是从有关资料上收集来的。该课题研究的特点

10、有二：1以提高行动质量，解决实际问题为首要目标，而不是纯理论论述。 2以研究过程与实际教学过程的结合为主要表现形式，而不仅限于做课题。 二、数学思想简介 数学思想，作为数学知识内容的精髓，是对数学的本质认识，是数学学习的一种指导思想，它是把数学知识的学习和培养能力有机地联系起来，提高个体思维品质和数学能力，从而发展智力的关键所在，也是培养创新型人才的基础，更是一个人数学素养的重要内涵之一。所谓数学思想是对数学规律的理性认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点，它在认识活动中被反复运用，带有普遍的指导意义，是建立数学和用数学解决问题的指导思想，是体现于基础科学中的具有奠

11、基性、总结性的内容，它含有传统数学的精华和现代数学的基本观点，并且将继续发展完善。例如:运动和变化思想、转化的思想、映射的思想、对称化的思想、递推，化归思想，分类思想，模型思想，极限思想，统计思想，最优化思想等。三、中学数学中的数学基本思想 在中学数学的教与学中会接触到很多的数学基本思想，但是有一些思想不能严格的划分到某类当中，现对那些常用的数学基本思想做简单分类和说明。(一）函数与方程思想 涵数与方程都是中学数学的重要内容，也是处理许多数学问题时经常用到的基本思想。 函数是数学的基础概念之一。在物质世界里常常是一些量依赖于另一些量，即一些量的值随另一些量的值的确定而确定。函数就是这类依赖关系

12、的一种数学概括（函数的定义在此不再赘述）。通常我们用记号来表示变量 是变量 的函数，即“变量 通过函数依赖于 ”。至于变量 取何值时， 的值为零呢？于是，我们引入记号 ，这就是我们常说的方程。 函数思想，是指用联系变化的观点分析问题，通过函数的形式把问题中的数量关系表示出来，运用函数的概念、图像、性质等对问题加以研究，使问题获得解决。 方程思想，是指将问题转化为对方程（组）的认识，通过解方程或对方程的讨论使问题得以解决。 由于数学工作者对函数的性质有很深刻的研（如：有界性、单调性、奇偶性、周期性、极值性以及它们的运算性质等），因此，我们可以直接利用某些函数本身所具有的性质及运算法则来解决我们所

13、遇到的问题，这就形成了我们解决问题时的一种基本思想，即函数与方程的思想。 所谓函数与方程的思想，是指遇到实际问题时，设法列出函数关系式或方程 。例：已知弹簧的长度（厘米）在一定的限度内是所挂重物质量（千克）的一次函数现已测得不挂重物时弹簧的长度是厘米，挂千克质量的重物时，弹簧的长度是厘米，求这个一次函数的关系式。分析：已知与的函数关系是一次函数，则关系式必是的形式，所以要求的就是系数和的值而两个已知条件就是x和y的两组对应值，也就是当时，；当时，。可以分别将它们代入函数式，进而求得和的值。解：设所求函数的关系式是，根据题意，得 解这个方程组，得， 所以所求函数的关系式是：（二）数形结合思想数形

14、结合思想就是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来考察的思想，使抽象思维和形象思维相结合，通过“以形助数”或“以数解形”使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。它是中学数学中的重要思想之一。 如在讲“圆与圆的位置关系”时，可自制圆形纸板，进行运动实验，让学生首先从形的角度认识圆与圆的位置关系，然后可激发学生积极主动探索两圆的位置关系反映到数上有何特征。这种借助于形通过数的运算推理研究问题的数形结合思想，在教学中要不失时机地渗透；这样不仅可提高学生的迁移思维能力，还可培养学生的数形转换能力和多角度思考问题的习惯。 （三）分类讨论思想 分类讨论的思想是指根据所研究的问题的某种相

15、同性和差异性将它们分类来进行研究的思想。分类讨论的思想的特点：分类不能重复也不能遗漏；同一次分类时，标准须相同；分类须有一定的范围，不能超范围。    例如：三角形按边分类方法：三角形可分为不等边三角形、等腰三角形，等腰三角形又可分为等边三角形、底边和腰不相等的等腰三角形。    三角形按角分类方法：三角形可分为直角三角形、锐角三角形、钝角三角 。（四）类比与归纳思想类比思想是指不同的研究对象在某些方面有相似或相同之处，来联想、推导、猜想这些研究对象在其它方面也可能相同或相似，并作出某种判断的推理的思想。其特点是从特殊到特殊的推理方式

16、。例如：从分数性质到分式性质；从全等三角形到相似三角形等。 归纳思想是指由个别的、特殊的事例来推出同一类事物一般性的方法。其特点是由特殊至一般的推理方式。    例如：1个点分割直线为2个部分，2个点分割直线为3个部分，3个点分割直线为4个部分，4个点分割直线为5个部分，5个点分割直线为6个部分，n个点分割直线为 1个部分，类比与归纳的思想活动过程如下：   研究对象 形成命题 证明 。  （五）化归思想 在数学中很多复杂的问题通过转换化为较简单的问题，有许多繁难的

17、问题通过转换化为简易的问题。将复杂问题转化为已经解决或易于解决的间题的思维方式称为化归思想。在中学数学教学中经常用到化归思想，化归思想是中学数学思想的核心。在教学中，要强化化归思维，并引导学生归纳总结出： (1)化归思想有三个要素，即对象、目标、方法； (2)新知识可以通过一定方法化归为旧知识； (3)化归目标具有相对性和层次性，应当具体问题具体分析。 （六）辩证思想 辩证思想是科学世界观在数学中的体现，是最重要的数学思想之一。自然界中的一切现象和过程都存在着对立统一规律，数学中的有理数和无理数、整式和分式、已知和未知、特殊和一般、常量和变量、整体和局部等同样蕴涵着这一辩证思想。如初三分式方程

18、一节，就体现了分式方程与整式方程的对立统一思想，教学时，不能只简单介绍分式方程的概念和解法，而要渗透上述思想，我们可以从复习整式和分式的概念出发，然后依据辩证思想自然引出分式方程，接着带领学生领会两个概念的对立性(非此即彼)和统一性(统称有理方程)，再利用未知与已知的转化思想启发学生说出分式方程的解题基本思想，从而发现两种方程在解法上虽有不同，但却存在内在的必然联系。这样，学生在知晓整式方程与分式方程概念和解法的辩证关系后，就能进一步理解和掌握分式方程，收到一种居高临下，深入浅出的教学效果。因此，抓辩证思想教学，不仅可以培养学生的科学意识，而且可提高学生的探索能力和观察能力。（七）数学建模思想

19、  所谓数学建模思想是根据所研究问题的一些属性、关系，用形式化的数学语言表示的一种数学结构，中学数学中常用的数学模型有：图形、图象、表格和数学表达式，具体讲有方程模型、函数模型、几何模型、三角模型、不等式模型和统计模型。数学建模的思想一般原则：简化原则、可推演原则、反映性原则。    例：某公司计划购买若干台电脑，现从两家协力商厂了解到同一型号的电脑报价均为5000元，并且多买都有一定的优惠，A协力商厂优惠条件：第一台按原报价收款，共余每台优惠30%；B协力商厂优惠条件：每台优惠20%。如果你是老板，你该怎么考虑，如何选择？   &#

20、160;分析：什么情况下，两家协力商厂收费相同；什么情况下，A协力商厂优惠；什么情况下，B协力商厂优惠；列不等式解决实际问题的数学建模的思想。    解：设购买台电脑，如果到A协力厂更优惠，则， 移项且合并 ，不等式两边同除以-500得 。   所以购买大于3台时A协力厂更优惠；购买小于3台时B协力厂更优惠；购买3台时两家协力商厂收费相同。  （八）整体思想     所谓整体思想是指将有共同特征的某一类问题看成一个完整的整体，通过对其全面深刻的观察，着眼于问题的整体结构上，从

21、整体上把握问题的内容和解决的方向和策略的思想。   例：甲乙丙三种货物，若购甲3件，乙7件，丙l件共需。315元，若购甲4件，乙10件，丙l件共需4。20元，现购甲、乙、丙各1件共需多少元?(1985年全国初中数学竞赛题)，分析此题学生基本上均能列出方程组 这里无法求解x、y、z，而本题并不需要求出x、y、z的值而是要求出x+y十z之值，必须视x+y+z为一整体，于是上方程组变形为 这样就将上方程组变成二元联立方程即可求出x+y+z来。 除此之外，还有对称思想，最优化的思想（极大、极小、最大、最小等），统计思想，极限思想等。四 、数学思想在中学数学教学中的渗透 在

22、中学数学教材中，数学思想渗透其间，并没有系统的归纳和总结，也没有充分的讲解和讨论，教师在教学中也往往忽略对数学思想的教学时机的把握，或滞后于学生的学习，或脱离基础知识的学习，或蜻蜓点水一触即逝，或哗众取宠的在课后小结中列出几个名词，而对怎样挖掘基础知识中的数学思想方法，如何自觉的渗透数学思想的教学，如何坚持不懈地培养学生数学思想的应用意识，缺乏系统的探究，致使学生对基础知识的学习仅限于理解概念、死记公式定理，模仿性解答题目，这些浅层次水平上很难培养出高素质的创新人才，所以我们在教学中要有意识地恰当地讲解与渗透数学基本思想。 （一）重视数学思想的教学 数学的精神和本质之一在于它的思想。正是基于这

23、种指导思想，在数学教学中，要特别注意突出基本的数学思想的教学。基本的数学思想是人人能懂，处处有用的，学生掌握了它，也就具有了学习数学的万能钥匙。因此，在日常的数学教学中，在加强基础知识教学的同时，沿着数学思想方法这条主线把力气花在培养学生良好的思维品质上，在“思想方法思维方式”的教学上狠下工夫，让学生通过数学学习，从中领悟数学的观点、思考方法和思维方式。初步掌握数学思想的脉络，提高他们数学思想的修养，从而“发展思维，培养能力”。使学生不仅“学会”数学，而且“会学”数学，“数学地”提出问题和解决问题。 知识的传授和能力的培养已经引起广大的中学数学教师的极大关注，它使我们认识到“突出数学思想的教学

24、的必要性和紧迫性。为此，我们应从以下几点努力： 1、转变教学思想，突出数学思想的教学 我们知道传统教材的知识是系统的、刻板的，对能力的培养要求不明确，多半是人为的、潜移默化的。因而教材只能是传授知识的范本，不能作为培养能力的依据。要突破这一模式，必须破旧立新，转变教学的任务观、突出数学思想的教学，将“培养学生的思维能力”明确规定为教学的一项重要任务。知识不等于能力，由于教学中突出数学基本思想，把知识看成一个过程，并弄清它的来龙去脉，掌握思想脉络。在数学教学的指导思想和题例上恰当地处理知识教学和能力培养的关系，把知识的传授和能力的培养结合起来，统一起来，以促使绝大多数学生保持知识和能力的同步提高

25、。 2、强化辩证思维训练，完善思维方式 数学本身处处蕴涵着辩证论点，从内容上看，数学的体系，各个分支的内在联系是辩证的，正数与负数，直线与曲线，常量与变量等无不在一定的条件下相互转化。例如数形结合的思想，数与形的结合与统一，揭示了数学对象的本质属性，更重要的是，利用数形结合来研究数学对象的思维活动，体现了辩证思维的方法和着眼点，数形结合的思维方式正是辩证思维方法的具体再现。我们知道，数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学，数与形是同一事物的两个方面，人们认识事物，也正是从这两个方面的联系中去认识事物的特性和属性的。数形结合能使我们由数思形，见形思数，由此及彼，由表及里地认知事物，防止片面

26、和僵化，这是符合辩证法和认识论的。这种认知事物，揭示规律，把握本质的思维方式，符合人们求知的心理需要，符合不同侧面，不同角度，多层次，多方面的辩证思维的活动方式和特点。因此，数形结合应当作为一种辩证思维方式在数学教学中大力提倡和推行，使学生们自觉地、能动地去认识和实践，以提高他们的思维品质。 3、注意思维过程教学，创造思想情境 “数学是思维的体操”。学好数学，能使思维敏捷、清晰、精细，作为“思维体操”教练的数学教师，更应该研究数学的思维训练的价值取向究竟在何处，其思维规律是什么？这套“体操”应有哪几节？该如何去思维转换？而目前流行的办法是“大运动量”训练，认为做题千万、奥妙自得，无须问什么规律

27、，这当然谈不上已到了大力研究数学思维的规律，科学地设计“思维体操”的时候了，教学中“借透彻分析例题阐述思想，用思维规律启示引导解题过程”。把千变万化的解题路子梳理成若干条清晰的解题思维规律，用编织的一张中学数学解题思维之网教授学生，这才叫做“授之以渔”。 教师要选择好每节课的突破口，注重讲授思维过程，以利于学生认识上的第一次转化，即感性认识到理性认识的转化，由不知到知的转化。这次转化，不能只重结果，还必须注重认识过程，思维过程，对概念来说，有一个抽象概括的过程；对公式来说，有一个推导的过程；对性质，定理来说，有一个归纳过程。而结果则是过程的必然产物，即认识的自然升华，假如在教学中忽视了思维过程

28、，只力求学生掌握结果，势必使学生理解不了，贮存不住，运用不如，造成注入式教学的必然弊病。 要注重思维过程的教学，又必须组织学生参与到思维过程中来，让他们动手、动脑，积极参与，并在此基础上，完成认识上的第二次转化，即从理性认识到实践的转化，由知到用的转化。在教学中，创设思维情境，用提问、比喻、演示教具、演算、推证、实验对比创设情境，重视教给学生分析、综合、归纳、演绎、联想、模型化、数形结合等整套科学的思想、思维方式，才能有助于学生数学思维良好品质的形成，只有这样的教学才能“加强基础、培养能力、发展智力”。 4、突出转化思想，总结解题规律 数学的转化思想是数学的基本思想之一，特别是数学问题的解答与

29、证明，更显示出它的重大意义。“什么是解题？解题就是转化”，因为解题的实质就是一个不断转化论题的过程，通过转化，把原来的问题由生疏变为熟悉，由复杂变为简单，由隐含变为具体，最后由未知转化为已知，可以说转化工作是解题的关键，是解题技巧中最重要最活跃的一个环节。数学的转化思想中的思维有：简单转化、具体转化、类比转化、等价转化、矛盾转化、数形转化、学科转化等，突出解题的思想和方法，使学生把握解题关键，总结解题规律，从而容易找到正确的解题途径，对提高学生灵活地运用知识解题的能力至关重要！我国明朝著名学者徐光启说过：“人具上资而意理疏莽，即上资无用；人具中材而心思缜密，则中材有用。”可见正确的思想方法对提

30、高能力的重要性。 对中学数学教师来说，运用数学思想去指导中学数学教学，有着相当重要的意义。只有如此，才能使学生学习数学的过程与数学的发现过程同步，使学生的数学思维的形成、发展与数学的思维结构相似、接近，从而使学生通过数学学习，优化思维素质，提高发现、研究和解决问题的能力。“在教学中，应当引导学生在学好概念的基础上掌握数学的规律（包括法则、性质、公式、定理、数学思想和方法）”，就能卓有成效地发展学生的智能。因此，突出数学思想，是提高学生数学素质，适应国际数学教学改革的“发展思维，培养能力”的迫切需要。 （二）数学思想教学的原则 加强数学思想的教学，在具体的实施过程中，除了遵循通常的数学教学原则外

31、，还注重以下三条原则，才能真正取得实效。 1、化隐为显原则 数学思想虽然蕴含在数学知识中，但是如果没有有意识地把数学思想作为教学对象，学生学习知识时并不一定注意到思想。因此，进行数学思想教学时必须以数学知识为载体，把隐匿在知识背后的思想显示出来，使之明朗化，才能通过知识传授过程达到思想教学目的。 如在教“二元一次方程组”时用化归思想指导解方程，可以引导学生回忆以前解一元一次方程的实质是把一个复杂的方程化归为一个较为简单的方程，从而激起学生应用化归方法解决新课题的愿望，在以后教“一元二次方程”、“可化为一元二次方程的有关方程”、“三元一次方程组”等继续引导学生按照“明确化归目标寻找与目标的差异消

32、除差异”等步骤，探索解题思路。这样学生多数都能归纳出解代数方程的基本思路：无理方程有理化，分式方程整式化，高次方程低次化，多元方程少元化。 2、循序渐进原则 数学思想的形成难于知识的理解和掌握。数学思想教学应与知识教学、学生认知水平相适应，按照反复孕育、初步形成、运用发展的顺序逐步完成。结合不同阶段知识教学，有意识地反复孕育同一个数学思想尤为重要，以期收到潜移默化、水到渠成的功效，切忌操之过急，一次完成，宜采取“小步走”、“多层次”的教学方法。例如在对学生进行化归的基本思想教学时，可采用如下步骤进行。首先在教有理数时孕育化归思想，让学生懂得通过绝对值概念，可将有理数大小比较化归为算术数大小比较

33、，有理数四则运算化归为算术数四则运算。在教整式加减法的实质是通过同类项概念转化为有理数加减。通过这两次孕育，学生就能初步体会到化归的基本思想：将新知识转化为旧知识。 3、学生参与原则 数学知识教学是数学认识活动结果的教学，呈静态点型，重在记忆理解，数学思想的教学是数学活动的过程的教学，呈动态线型，重在思辨操作，离开教学活动过程思想也就无从谈起，只有组织学生积极参与教学过程，在教师的启发引导下才能逐步领悟、形成、掌握数学思想。 （三）如何贯彻数学思想的教学原则 1、充分挖掘教材中的数学思想 数学思想是隐性的更本质的知识内容，因此教师必须深入钻研教材，充分挖掘有关思想。例如，有理数乘法法则的讲述，

34、在新教材中就充分运用了数形结合和归纳推理的思想，较旧教材中注重由一般到特殊的演绎推理降低了难度而又不失科学性，教师可给学生介绍这两种基本而又常用的思想。 在进行教学时，一般可从前面我们对数学特征及中学数学内容分析的数学思想中考虑应渗透、或介绍或强调哪些数学思想?要求学生在什么层次上把握数学方，是了解，还是理解，还是掌握?或者灵活运用然后进行合理的教学设计，从教学目标的确定，问题的提出、情境的创设，到教学方法的选择，整个教学过程都要精心设计安排，做到有意识有目的地进行数学思想教学。 比如 化归是数学研究问题的一般思想和解决问题的一种策略，因此，我们可作为一种指导思想渗透在教学过程中，根据具体内容，通过渗透、介绍、强调等同方式，让学生体验、学习这一思想。通过反复的体验和实践，使学生从中学到数学地思考问题、解决问题的一般思想。 2、有计划有步骤地渗透、介绍有关思想 例如， 在知识形成阶段，可选用观察、实验、比较、分析、抽象、概括等抽象化、模型化的思想、函数的思想、方程的思想、极限的思想、统计的思想等等。在知识结论推导阶段和解题教学中可选用分类讨论、化归、等价转换、特殊化与一般化、归纳、类比等思想。 由于数学思想是基于数学知识又高于数学知识的一种隐性的数学知识，要在反复的体验和实践中才能对个体逐渐认识、理解，并内化为个体认知结构中对数学学习和问