《机械优化设计》课件

1、 1. 1.课程的最终成绩构成：考勤成绩（课程的最终成绩构成：考勤成绩（20%20%）+ +作业成绩（作业成绩（30%30%）+ +实验（实验（50%50%）2. 2.实行点名制度，请假需要正式假条。实行点名制度，请假需要正式假条。3. 3.按时、按质、按量、独立完成作业，发现大量抄袭的情况，只有看到的按时、按质、按量、独立完成作业，发现大量抄袭的情况，只有看到的 第一本作业有成绩，其余按没交处理。第一本作业有成绩，其余按没交处理。4. 4.课堂上不许大声说话，有问题请举手或下课讨论；上课过程中，手机不课堂上不许大声说话，有问题请举手或下课讨论；上课过程中，手机不 许响。许响。 优化设计是20

2、世纪60年代初，在电子计算机技术广泛应用的基础上发展起来的一门新的设计方法。它是以电子计算机为计算工具，利用最优化原理和方法寻求最优设计参数的一门先进设计技术。 什么是优化? 从客观上来说，优化是自然发展的规律，也是社会发展的规律，所谓“生存竞争”、“优胜劣汰”，就包含了优化的概念。 从主观上来说，优化是人类一切活动的准则，是人的本能，所谓“人往高处走，水往低处流”，也包含了优化的概念。 “”这个概念当今已被广泛用于各行各业各个领域。例如：优化产业结构、优化资源配置、优化生存环境、企业劳动力的优化组合、产品的优质优价，直至下一代的优生优育。在这里我们只想讨论一下优化与机械，特别是与机械CAD的

3、关系。 优化设计技术是机械产品CAD中的一项核心技术。 我们所讲的优化，是作为一项工程技术而提出来的，它体现了人类在认识和掌握自然和社会发展规律的基础上，运用自己的聪明才智和积累的经验，追求美好事物、创造美好世界的主观能动性，因而是改造客观世界的有力武器和工具。特别是在电子计算机问世以后，使许多优化理论和方法得以应用于实际，因此，。 优化设计优化设计：根据给定的设计要求和现有的设计条件，应用专业理论和优化方法，在计算机上满足给定设计要求的许多可行方案中，按给定的目标自动地选出最优的设计方案。机械优化设计机械优化设计：在满足一定约束的前提下，寻找一组设计参数，使机械产品单项设计指标达到最优的过程

4、。 绪论：机械优化设计机械优化设计：机械设计理论+优化方法得到设计参数的指在一定条件指在一定条件( (各种设计因素各种设计因素) ) 影响下影响下所能得到的最佳设计值。所能得到的最佳设计值。 （相对概（相对概念）念）机械优化设计方法包括：机械优化设计方法包括：1)解析法: 主要是利用微分学和变分学的理论，适应于解决小型和简单的问题；2)数值计算方法: 使利用已知的信息，通过迭代计算来逼近最优化问题的解，因此它的运算量很大，直到计算机出现后才得以实现。 传统设计传统设计：在调查分析的基础上，参考同类产品通过估算、经验类比或试验等方法来确定初始方案，然后通过计算各个参数是否能满足设计指标的要求，如

5、果不符合要求就凭借经验对参数进行修改，反复进行分析计算性能检验参数修改，直到符合设计指标为止。 优化设计优化设计：借助计算机技术，应用一些精度较高的力学的数值分析方法（如有限元法等）进行分析计算，并从大量的可行设计方案中寻找到一种最优的设计方案。 优化设计与传统设计相比有以下三点特点：优化设计与传统设计相比有以下三点特点： 设计的思想是最优设计，需要建立一个能够正确反映实际设计问题的优化数学模型； 设计的方法是优化方法，一个方案参数的调整是计算机沿着使方案更好的方向自动进行的，从而选出最优方案； 设计的手段是计算机，由于计算机的运算速度快，分析和计算一个方案只需要几秒甚至千分之一秒，因而可以从

6、大量的方案中选出“最优方案”。 机械优化设计包括： 1）建立优化设计问题的数学模型 2）选择恰当的优化方法 3）编程求解最优的设计参数 4）优化结果分析NNY提出设计问题提出设计问题开始开始建立优化数学模型建立优化数学模型选择优化设计方法选择优化设计方法运行优化设计程序运行优化设计程序优化结果分析优化结果分析对优化结果满意否？对优化结果满意否？结束结束更更换换方方法法修修改改模模型型图1-1 优化设计过程 本课程的研究内容： 优化的原理与算法本课程分为八章进行讨论：第一章，介绍优化设计的基本概念；第二章，介绍优化设计算法中用到的数学基础知识，为后面几章的学习打好基础；第三、四、五、六章分别介绍

7、一位搜索、无约束优化、线性规划和约束优化的原理与算法，这些都是本课程学习的重点；第七章，介绍多目标及离散变量优化方法；第八章，介绍几种机械优化设计的实例，说明如何应用优化方法解决机械设计问题。 1）模糊优化设计技术2）面向产品创新设计的优化技术3）广义优化设计技术4）产品全寿命周期的优化设计技术5）CAD/CAPP/CAM集成系统中的优化技术6）智能优化算法7）多学科综合优化 有一块边长有一块边长为为6米的正方米的正方形铝板，四角截取同样的形铝板，四角截取同样的边长为边长为x的方块并转折，的方块并转折，造一个无盖的箱子，造一个无盖的箱子，x为为何箱子容积最大？何箱子容积最大？xx6m解解: V

8、=x(6-2x)2 dV/dx=(6-2x)2 -4x (6-2x) = (6-2x) (6-6x)=0 x=1 Vmax=16m3 如图所示的人字架由两个钢管构成，如图所示的人字架由两个钢管构成， 其顶点受外力其顶点受外力2F=32F=310105 5N N。 人字架的跨度人字架的跨度2B=152cm2B=152cm， 钢管壁厚钢管壁厚T=0.25cmT=0.25cm， 钢管材料的弹性模量钢管材料的弹性模量E=2.1E=2.110105 5MpaMpa， 材料密度材料密度=7.8=7.810103 3kg/mkg/m3 3， 许用压应力许用压应力 y y= 420MPa= 420MPa。 求

9、在钢管求在钢管压应力压应力 不超过许用压应力不超过许用压应力 y y 和和失稳临界应力失稳临界应力 e e的条件下，的条件下， 人字架的人字架的高高h h和钢管和钢管平均直径平均直径D D，使钢管，使钢管总质量总质量m m为最小为最小。人字架的优化设计问题归纳为求x=D hT 使质量m(x)min满足强度约束条件和稳定约束条件ex)(yx)(L1222122442222()I()()48A()rRD=r+RT=R-reFLF BhFhhEIFLAIRrTDARrTD钢管所受的压力压杆失稳的临界压力其中， 是钢管截面惯性矩是钢管截面面积和 分别是钢管的内半径和外半径而12221222221222

10、122222222()()8()()()()8()eeyFF BhATDhFE TDABhF BhTDhF BhE TDTDhBh钢管所受的压应力是钢管的临界应力是根据强度约束条件有根据稳定约束条件有1222122222( , )22()( , )()( , )2( )yyym D hALTD BhD hF BhDm D hThF Bhm hh 人字架总质量刚好满足强度条件导出代入式中得到2222*22()(1)01527622D6.4348.47yyyydmF dBhFBdhdhhhhBcmcmFDcmTFBmkg 求导解得代入 表达式得等值线越往里，函数值越小;等值线愈稀疏说明目标函数值的

11、变化愈慢；无约束时,等值线族的共同中心就是函数的极小值。等值线（面）：等值线（面）：函数函数f(x)f(x)的值依次为一系列常数的值依次为一系列常数c ci i时，变时，变量量x x取得的一系列值的集合。取得的一系列值的集合。求极值就是求等值线的中心！求极值就是求等值线的中心！等值线（面）：等值线（面）：函数函数f(x)f(x)的值依次为一系列常数的值依次为一系列常数c ci i时，变时，变量量x x取得的一系列值的集合。取得的一系列值的集合。二维设计问题，等值线为平面曲线。对于三维设计问题，其等值函数是一个面，叫做等值面；对于n 维设计问题则为等值超越曲面。 1222122212222222

12、2( , )2()min( )()( )()()8()yyem D hTD BhxF BhTDhxF BhE TDTDhBh人字架总质量满足强度约束条件即满足稳定约束条件即由图中数据得：由图中数据得：D D* *=6.43cm=6.43cm，h h* *=76cm=76cm，在极值点处，在极值点处m m* *=8.47kg=8.47kg 第二节第二节 机械优化设计问题示例机械优化设计问题示例例例1.1 平面四连杆机构的优化设计平面四连杆机构的优化设计 问题：给定最大最小传问题：给定最大最小传动角的前动角的前提下，当曲柄提下，当曲柄从从0位置转到位置转到0+90o时，时，要求摇杆的输出角要求摇杆

13、的输出角最优最优地实现一个给定的规律地实现一个给定的规律f0() 。例如：。例如：= f0()= 0+2/(3)*(-0)2 取取x1=1.0，x4=5.0。目标函数：最小二乘法建立目标函数目标函数：最小二乘法建立目标函数连续模型：连续模型：离散模型离散模型:000902)()(dxfjsijiixxfxf1232)(),()(约束条件：约束条件：1) 传动角传动角maxmin)236arccos(322322maxxxxx)216arccos(322322minxxxx所以所以2212122cos135360 xxx x2212122cos45160 xxx xmaxmin135452) 曲

14、柄存在条件曲柄存在条件3) 边界约束边界约束 当当x1=1.0时，若给定时，若给定x4，则可求出，则可求出x2和和x3的边界值。例如，的边界值。例如，当当x4=5.0时，则曲柄存在条件和边界值限制条件分别为：时，则曲柄存在条件和边界值限制条件分别为： 和和21314123144123,xxxxxxxxxxxxxx23236040 xxxx 231717xx例例1.2 齿轮减速器的优化设计齿轮减速器的优化设计 二级圆柱齿轮二级圆柱齿轮减速器的优化设计。减速器的优化设计。已知条件：已知条件： 传动功率传动功率P; 总传动比总传动比i; 输出转速输出转速n.问题：问题： 满足强度的条满足强度的条件下

15、，件下，体积最小体积最小。设计参数：设计参数： 4个齿轮的齿数：个齿轮的齿数： 传动比：传动比： 法向模数：法向模数： 齿轮螺旋角：齿轮螺旋角：设计变量：设计变量：4个齿轮齿数确定个齿轮齿数确定2个即可，设为：个即可，设为： 加上加上 ，共计，共计6个。个。 z,z,z,4321z zz ,z342121izi21 ,nnmm21 iii 12iii 31z,z , , ,211nnmmi目标函数：目标函数：约束条件：约束条件：齿面接触强度、齿根弯曲强度、齿面接触强度、齿根弯曲强度、中间轴上大齿轮不与低速轴干涉。中间轴上大齿轮不与低速轴干涉。1) 齿面接触强度齿面接触强度高速级：高速级：低速级

16、：低速级：)1 ()1 (cos21232111izmizmann0cos 106.845 3116131312TKizmnH0cos 106.845 3226233322TKizmnH2) 齿根弯曲强度条件齿根弯曲强度条件高高速级速级小小齿轮齿轮 (1-3a)高高速级速级大大齿轮齿轮 (1-3b)低低速级速级小小齿轮齿轮 (1-3c)低低速级速级大大齿轮齿轮 (1-3d)0cos )1 ( 3 2213111122zmiTKYnw0cos )1 ( 3 2213111111zmiTKYnw0cos )1 ( 3 2233222233zmiTKYnw0cos )1 ( 3 2233222244

17、zmiTKYnw3)不干涉条件不干涉条件 (1-4)4)其它约束条件其它约束条件 (1-5)简写：简写：s.t. 0) 2cos (cos2 )i(1 z 111123n2sizmmmnniiibxamin)1 ()1 (cos21)(232111izmizmaxfnn)6 , 2 , 1( )7 , 2 , 1( 0)(maxminixxxjxgiiij例例1-4 轴承和轴承系统的优化设计轴承和轴承系统的优化设计优化的目标：轴振动的振幅与激振力的幅值之比优化的目标：轴振动的振幅与激振力的幅值之比最小。最小。ce运动方程，求振幅运动方程，求振幅X1 (1-7) 2222211211222112

18、1111)()()()(xkxxxkxxxmxxkxxFxm 0)()(2211122111222111211111xkkxkxxxmFxkxkxxxm 000212111121211112121Fxxkkkkkxxxxmm FxKxCxM )sin()sin(222111tXxtXx目标函数：目标函数：约束条件：约束条件：2自由度有自由度有2个固有频率，避开。个固有频率，避开。min)(1FXxfX X1 122112 . 18 . 02 . 18 . 0例例1-8 生产计划的优化生产计划的优化生产甲种产品：生产甲种产品：9kg、3个工时、个工时、4kW、60元元生产乙种产品：生产乙种产品：

19、4kg、10个工时、个工时、5kW、120元元供应供应/天：天：360kg、300个工时、个工时、200kW最大利润。最大利润。设每天生产甲、乙种产品分别为设每天生产甲、乙种产品分别为x1、x2件，则目标件，则目标函数：函数：max12060),(2121xxxxf约束条件：约束条件：材料约束：材料约束：工时约束：工时约束：电力约束：电力约束：3604921 xx30010321xx2005421 xx一个优化设计问题一般包括三个部分：一个优化设计问题一般包括三个部分： 1. 1.需要合理选择的一组独立参数，称为需要合理选择的一组独立参数，称为设计变量设计变量； 2. 2.需要最佳满足的设计目

20、标，这个设计目标是设计变量的需要最佳满足的设计目标，这个设计目标是设计变量的函数，称为函数，称为目标函数目标函数； 3. 3.所选择的设计变量必须满足一定的限制条件，称为所选择的设计变量必须满足一定的限制条件，称为约束约束条件条件（或称设计约束）。（或称设计约束）。优化设计问题的数学模型的优化设计问题的数学模型的：设计变量、目：设计变量、目标函数和约束条件。标函数和约束条件。 在设计过程中进行选择并最终必须确定的各项在设计过程中进行选择并最终必须确定的各项独立独立参数，参数，称为设计变量。称为设计变量。 设计变量向量：设计变量向量：12Tnxx xx设计常量：参数中凡是可以根据设计要求设计常量

21、：参数中凡是可以根据设计要求事先给定事先给定的，称为设计常量的，称为设计常量 。设计变量：需要在设计过程中设计变量：需要在设计过程中优选的参数优选的参数，称为设计变量。，称为设计变量。连续设计变量：有界连续变化的量。连续设计变量：有界连续变化的量。离散设计变量：表示为离散量。离散设计变量：表示为离散量。优化设计的维数：优化设计的维数：设计变量的数目称为优化设计的维数，如设计变量的数目称为优化设计的维数，如有有n(n=1n(n=1，2 2，)个设计变量，则称为个设计变量，则称为n n维设计问题。维设计问题。 任意一个任意一个特定的向量特定的向量都可以说是一个都可以说是一个“设计设计”。 设计空间

22、：设计空间：由由n n个设计向量为坐标所组成的实空间称作设计个设计向量为坐标所组成的实空间称作设计空间。空间。 一个一个“设计设计”，就是设计空间中的一个点，这个点可以看，就是设计空间中的一个点，这个点可以看成是设计变量向量的端点（始点是坐标原点），称这个成是设计变量向量的端点（始点是坐标原点），称这个点式点式设计点设计点。设计空间的维数设计空间的维数（设计的自由度设计的自由度）：设计变量愈多，则设计）：设计变量愈多，则设计的自由度愈大、可供选择的方案愈多，设计愈灵活，但难度的自由度愈大、可供选择的方案愈多，设计愈灵活，但难度亦愈大、求解亦愈复杂。亦愈大、求解亦愈复杂。 含有含有210210个

23、设计变量的为个设计变量的为小型小型设计问题；设计问题； 10501050个为个为中型中型设计问题；设计问题； 5050个以上个以上的为的为大型大型设计问题。设计问题。约束条件：约束条件：在优化设计中，对设计变量在优化设计中，对设计变量取值时的限制取值时的限制条件条件，称为约束条件或设计约束，简称约束。，称为约束条件或设计约束，简称约束。 等式约束：等式约束： 等式约束对设计变量的约束严格（降低设计自由度）等式约束对设计变量的约束严格（降低设计自由度）不等式约束：不等式约束： 要求设计点在设计空间中约束曲面要求设计点在设计空间中约束曲面 的一侧的一侧 （包括曲面本身）（包括曲面本身） ( )0h

24、 x ( )0g x ( )0g x ( )0(1,2, )kh xkl( )0(1,2,)jgxjm目标函数（评价函数）：目标函数（评价函数）：在优化设计中，把设计目在优化设计中，把设计目标（设计指标）用标（设计指标）用设计变量的函数形式表示设计变量的函数形式表示出来，这个出来，这个函数就叫做目标函数，用它可以评价设计方案的好坏，函数就叫做目标函数，用它可以评价设计方案的好坏，所以它又被称作评价函数。所以它又被称作评价函数。12( )( ,)nf xf x xx12( )( ,)minnf xf x xx12( )( ,)maxnf xf x xx12( )( ,)minnf xf x xx

25、 单目标函数优化问题：单目标函数优化问题：在最优化设计问题中，可以在最优化设计问题中，可以只有一只有一个个目标函数。目标函数。多目标函数优化问题：多目标函数优化问题：当在同一设计中要提出当在同一设计中要提出多个目标函多个目标函数数时，这种问题称为多目标函数的优化问题。时，这种问题称为多目标函数的优化问题。 1112221212( )( ,)( )( ,)( )( ,)nnqqnf xf x xxfxfx xxfxfx xx1122( )( )( ).( )qqf xW f xW fxW fxWq：加权因子，是个非负系数。 1212( )( ,)min( )0(1,2, )( )0(1,2,)T

26、nnkjxx xxf xf x xxh xklgxjm求设计变量使目标函数且满足约束条件和约束优化问题约束优化问题无约束优化问题：无约束优化问题：k=j=0min( ),nf xxR优化问题的数学模型优化问题的数学模型min( ),. .( )0(1,2, )( )0(1,2,)nkjf x xRst h xklgxjm 建立优化的数学模型，在计算机上求得的解，就称为建立优化的数学模型，在计算机上求得的解，就称为优优化问题的最优解化问题的最优解，它包括：，它包括：1 1）最优方案（最优点）最优方案（最优点）：2 2）最优目标函数值最优目标函数值：*12,Tnxx xx*()min( )f xf

27、 x建立数学模型要求建立数学模型要求： 1 1）希望建立一个尽可能）希望建立一个尽可能完善完善的数学模型，的数学模型，精精确确的表达实际问题；的表达实际问题； 2 2）力求所建立的数学模型尽可能的）力求所建立的数学模型尽可能的简单简单，方，方便计算求解。便计算求解。例：现用薄板制造一体积例：现用薄板制造一体积5m5m3 3，长度不小于，长度不小于4m4m的无上盖的立的无上盖的立方体货箱。要求该货箱的钢板耗费量最少，试确定货箱的方体货箱。要求该货箱的钢板耗费量最少，试确定货箱的长、宽和高的尺寸。（写出该长、宽和高的尺寸。（写出该优化问题的数学模型优化问题的数学模型）例：有一块薄板，宽度为例：有一

28、块薄板，宽度为24cm24cm，长度为，长度为100cm100cm，制成如图所，制成如图所示的梯形槽，问斜边长示的梯形槽，问斜边长l l和倾角和倾角 为多大时，梯形槽的容积最为多大时，梯形槽的容积最大。（写出该大。（写出该优化问题的数学模型优化问题的数学模型）优化问题的几何解释：优化问题的几何解释：无约束优化问题无约束优化问题：目标函数的极小点就是等值面的中心；：目标函数的极小点就是等值面的中心；等式约束优化问题等式约束优化问题：设计变量：设计变量x x的设计点必须在的设计点必须在所表示的面或线上，为起作用约束。所表示的面或线上，为起作用约束。不等式约束优化问题不等式约束优化问题：可行点：可行

29、点 非可行点非可行点 边界点边界点( )0h x ( )0g x ( )0g x ( )0g x优化问题的几何解释：优化问题的几何解释：数学解析法：数学解析法：把优化对象用数学模型描述出来后，用数学解析法（如微分法、变分法等）来把优化对象用数学模型描述出来后，用数学解析法（如微分法、变分法等）来求出最优解。求出最优解。图解法：图解法：直接用作图的方法来求解优化问题，通过画目标函数和约束函数的图形，求出直接用作图的方法来求解优化问题，通过画目标函数和约束函数的图形，求出最优解。特点是简单、直观，但仅限于最优解。特点是简单、直观，但仅限于n2n2的低维优化问题的求解。的低维优化问题的求解。 数值迭

30、代法：数值迭代法：依赖于计算机的数值计算特点而产生的，它具有一定逻辑结构并按一定格式反依赖于计算机的数值计算特点而产生的，它具有一定逻辑结构并按一定格式反复迭代计算，逐步逼近优化问题最优解的一种方法。不仅可以用于求解复迭代计算，逐步逼近优化问题最优解的一种方法。不仅可以用于求解复杂函复杂函数的优化解，还可以用于处理没有数学解析表达式的优化设计问题。数的优化解，还可以用于处理没有数学解析表达式的优化设计问题。 000102. .44)(min2413222121122211xXgxXgxxXgxxXgt sxxxXf例例1 1：求下列二维优化问题的最优解：求下列二维优化问题的最优解 图解法图解法

31、 000102. .44)(min2413222121122211xXgxXgxxXgxxXgt sxxxXf05 . 0)(12xxXh2221) 2() 2()(minxxXf0)(11xXg22( )0g Xx04)(22213xxXgs.t.X2O（2，2）h (X)g1(X)g3(X)X1g2(X)练习练习1：求下列二维优化问题的最优解：求下列二维优化问题的最优解练习练习2：已知优化问题：已知优化问题2221) 5() 2()(minxxXf 221212123142.1602000st g XxxgXxxgXxgXx 画出此优化问题的目标函数等值线和约束曲线，并确定画出此优化问题的

32、目标函数等值线和约束曲线，并确定（1）可行域的范围（用阴影画出）可行域的范围（用阴影画出）（2）在图中标出无约束最优解）在图中标出无约束最优解 和约束最优解和约束最优解（3）若加入等式约束）若加入等式约束 在图中标出约束最优解在图中标出约束最优解 021xxXh 11,XfX 22,XfX 33,XfXg2(X)g1(X)g3(X)g4(X)X1X2ABCh (X)o机械优化设计中常用的数值解法：优化准机械优化设计中常用的数值解法：优化准则法和数学规划法。则法和数学规划法。1）优化准则法）优化准则法2）数学规划法）数学规划法 kkkxCx1 kkkkkkkdxxxxx11 数值迭代法的基本步骤

33、：数值迭代法的基本步骤：数值迭代法的核心：数值迭代法的核心： 1 1）建立搜索方向）建立搜索方向d dk k 2 2）计算最佳步长）计算最佳步长 k k 3 3）如何判断是否找到最优点）如何判断是否找到最优点迭代法的基本思想：迭代法的基本思想：步步逼近、步步下降步步逼近、步步下降数值迭代法的迭代终止准则数值迭代法的迭代终止准则（ 是充分小的正数，且是充分小的正数，且00）1. 1.点距足够小准则：点距足够小准则： 当相邻两个设计点的移动距离已达到充分小时。当相邻两个设计点的移动距离已达到充分小时。2. 2.函数下降量足够小准则：函数下降量足够小准则： 当函数值的下降量充分小时，也就是前后两个迭

34、代点间函当函数值的下降量充分小时，也就是前后两个迭代点间函数的目标函数值充分接近时。数的目标函数值充分接近时。11kkxx13()()kkf xf x14()()()kkkf xf xf x12(i=1,2, )kkiixxn数值迭代法的迭代终止准则：数值迭代法的迭代终止准则：3. 3.函数梯度充分小准则：函数梯度充分小准则： 根据极值存在的必要条件（函数极值点的必要条件根据极值存在的必要条件（函数极值点的必要条件是函数在这一点的梯度的模为零），则迭代点的函数是函数在这一点的梯度的模为零），则迭代点的函数梯度的模充分小时，可以作为迭代的终止准则。梯度的模充分小时，可以作为迭代的终止准则。15(

35、)kf x 一个多元函数可用一个多元函数可用偏导数偏导数的概念来研究函数沿各坐标方向的概念来研究函数沿各坐标方向的变化率。的变化率。 二元函数的偏导数：二元函数的偏导数：10201201020101201020011102021020022( ,)(,),lim,limxxxxf x xx xxf xx xf xxfxxf xxxf xxfxx一个二元函数在点处的偏导数是0120102010120210200( ,)(,),limdxf x xx xxdf xx xxf xxfdd 称函数在点处沿某一方向的变化率为该函数沿此方向的方向导数，公式可以表示为21o1x2x10 x20 x0X1x2

36、xd偏导数偏导数与与方向导数方向导数之间的之间的数量关系数量关系：00010120210200101201020101101202101202021212,lim,lim,(,)limcoscosdxddxxf xx xxf xxfddf xx xf xxxxdf xx xxf xx xxxdffxx 0001212coscosxxxfffxxd 多元函数的方向导数：多元函数的方向导数：0000012012112( ,)coscoscoscoscosnnniixnixxxxiinf x xxxdfffffxxxxddx 元函数在点 处沿方向 的方向导数可以表示成：其中，是方向 与坐标轴 方向之

37、间夹角的余弦。例：例：21212012112212( )( ,),1 14436Tf xf x xx xxdddd设目标函数求点处沿和两个方向的方向导数。向量 的方向为：，向量 的方向为：，0010120122( ,)(),Txxfxfff x xxf xfxxx二元函数在点 处的梯度是0012102( ,)cos()cosxff x xxdf xd 二元函数在点 处的方向导数等于该点处的梯度与方向单位向量的内积。方向导数与梯度的关系：方向导数与梯度的关系：000()() cos(, )Txff xdf xf dd 0010120122( ,)(),Txxfxfff x xxf xfxxx二元

38、函数在点 处的梯度是 1 1）梯度是一个向量；）梯度是一个向量； 2 2）梯度方向是方向导数最大的方向，即函）梯度方向是方向导数最大的方向，即函数值变化最快（函数值变化率最大）的方向数值变化最快（函数值变化率最大）的方向 ； 3 3）梯度方向是等值面（线）的法线方向）梯度方向是等值面（线）的法线方向 。000012102001212( ,)(,)nnTnxnxf x xxxxxxfxffffxf xxxxfx函数在点处的梯度是220121212,4250 0Tf x xxxxxx求二元函数在点处函数变化率最大的方向和数值。例题：例题：00110222201200244()222()2 52()

39、51()5xxfxxf xfxxfff xxxf xpf x 解：解： 函数变化率最大的方向就是梯度方向，用单位向量 表示，函数变化率最大的数值就是梯度的模 。p 2212121212,4253 22 2TTf x xxxxxxx求二元函数在点和点处的梯度，并作图表示。例题：例题：020002200( )1( )()()()2()f xxxf xf xfxxfxxxxxxxx 在点处的泰勒展开式：其中，000000121020222221210201211222212112211102220(,)(,)1(,)(,)22xxxxxf x xxxxffffff x xf xxxxxxxxxxxx

40、 xxxxxxxx 在点处的泰勒展开式：其中，二元函数：二元函数：二元函数泰勒展开式的矩阵形式：二元函数泰勒展开式的矩阵形式： 002221121101222221222120001212xxTTffxx xxxfff xf xxxxxxxffxxxf xf xxx G xx 00121020( ,)(,)G xf x xxxx是函数在点处的海赛矩阵对称矩阵对称矩阵泰勒展开式的矩阵形式：泰勒展开式的矩阵形式：0001( )2TTf xfxfxxx G xx 0012Tnxffff xxxx 是函数在该点的梯度是函数在该点的梯度多元函数的海赛矩阵：多元函数的海赛矩阵：22221121222202

41、122222212nnnnnfffxx xx xfffG xxxxxxfffxxxxx 3322012121( )3391 1Tf xxxxxxx将函数在点处用泰勒展开的方法简化成一个二次函数。例：例：0001( )2TTf xf xf xxx G xx 多次函数（高次函数）多次函数（高次函数）二次函数（低次函数）二次函数（低次函数）泰勒二次泰勒二次近似式近似式221211221212( )( ,)2,21( )2TTf xf x xaxbx xcxdxexfxabdXABCfxbcef xX AXB XC若令则多次函数（高次函数）多次函数（高次函数）二次函数（低次函数）二次函数（低次函数）泰

42、勒二次泰勒二次近似式近似式二次二维函数用向量和矩阵的表示方法：二次二维函数用向量和矩阵的表示方法：22112212( )28910f xxx xxxx例：将写成向量及矩阵形式。二次二次n维函数用向量和矩阵的表示方法：维函数用向量和矩阵的表示方法：1211111121122122212( )( )( ,) , nnnnijijkkijkTTnnnnnnnf xnf xf x xxa x xb xcX AXB XCaaaxxaaaXAxaaa若是 维函数，则可按下式化为向量及矩阵形式：式中：12,nbbBCcb()()()();TTTTf XB XX Bf XB XX BB （1）函数的梯度为()

43、()()2;TTfXXXfXXXX （2）函数的梯度为11()()();22 (A)TTfXXAXfXXAXAX （3）函数的梯度为为是对称矩阵1()21 ()()2TTTTfXXAXB XCfXXAXB XCAXB （ 4） 对 于 一 般 二 次 函 数， 梯 度 为12211111,()( ,)Tijn nnnnnnnTijijiiiijijijiijj iAaxx xxxx Axa x xa xa x x 设是方阵，是列向量，则 与矩阵A的二次型是00A0A00ATTTxx Axx Axxx Ax如果对于任意，有二次型成立，则矩阵 为正定矩阵；若二次型，则矩阵 为半正定矩阵；相反，如果

44、对于任意，有，则矩阵 负定。矩阵正定与负定的判定：矩阵正定与负定的判定：正定：正定：矩阵矩阵A A正定的条件是正定的条件是A A的的各阶主子式大于零各阶主子式大于零；负定：负定：矩阵矩阵A A负定的条件是负定的条件是各阶主子式负、正相间各阶主子式负、正相间。*12*12()()()0,0,0()()()(),0nTnf xf xf xxxxf xf xf xf xxxx，即梯度 *G xG x海赛矩阵正定（负定），即的各阶主子式均大于零（或负、正相间）*1212( )( ,)( ,)Tnnf xf x xxxx xx多元函数在点处取得极值必要条件必要条件充分条件充分条件 12*12*( )(

45、,)( ,)nTnf xf x xxxx xxG xG x多元函数在点处取得极小值的充要条件是：函数在该点的剃度为0，且海赛矩阵正定，即的各阶主子式均大于零。 12*12*( )( ,)( ,)nTnf xf x xxxx xxG x多元函数在点处取得极大值的充要条件是：函数在该点的剃度为0，且海赛矩阵负定，即各阶主子式负、正相间。4222112121( )245,4f xxx xxxx证明函数在点（2 ）处具有极小值。例：例： 当极值点当极值点x x* *能使能使f f（x x* *）在）在整个可行域中整个可行域中为最小值（最大为最小值（最大值）时，即在整个可行域中对任一值）时，即在整个可行

46、域中对任一 x x都有都有f f（x x）f f（x x* *）（或者（或者f（x）f（x*） ）时，则）时，则x x* * 就是全局极小点（全局极就是全局极小点（全局极大点）。大点）。全局极值点（最优点）：全局极值点（最优点）： 若若f f（x x* *）为）为局部可行域中局部可行域中的极小值（极大值）而不的极小值（极大值）而不是整个可行域中的最小值（或最大值）时，则称是整个可行域中的最小值（或最大值）时，则称x x* *为局为局部极小点（局部极大点）。部极小点（局部极大点）。 局部极值点（相对极值点）：局部极值点（相对极值点）： 一个下凸的函数，它的极值点只有一个，并且该点既一个下凸的函数

47、，它的极值点只有一个，并且该点既是局部极值点也是全局极值点，我们就称这个函数具有是局部极值点也是全局极值点，我们就称这个函数具有凸性。凸性。 函数的凸性（单峰性）：函数的凸性（单峰性）： 设设R R是一个点集（或区域），若连接其中任意两点是一个点集（或区域），若连接其中任意两点x x1 1和和x x2 2的直线都属于的直线都属于R R，则称这种集合，则称这种集合R R是一个凸集。是一个凸集。 凸集：凸集：121201(1)RxRxRxxyR如果对于一切，及一切满足的实数 ，点，则称集合 是凸集。凸集的性质：凸集的性质：1AaAaA |,2ABabABaAbB |,3Ax xa aAABx xa

48、b aA bB若 是一个凸集， 是一个实数， 是凸集 中的一个动点，即，则集合还是凸集。若 和 是凸集， 、 分别是凸集 、 中的动点，即，则集合还是凸集。任何一组凸集的交集还是凸集。 具有凸性（表现为单峰性）或只有唯一的局部最优值，具有凸性（表现为单峰性）或只有唯一的局部最优值，即全局最优值的函数，称为凸函数或单峰函数。即全局最优值的函数，称为凸函数或单峰函数。 凸函数：凸函数：1212121212R01Rxx( )(1)()(1) ()R( )(1)()(1) ()fxf xfxxf xf xf xfxxf xf x设f(x)是一个凸集 上的函数，如果对任何实数（）以及对 中任意两点 和恒

49、有，则函数f(x)就是定义在凸集 上的一个凸函数。如果将上式中的等号去掉而写成严格的不等式：则称 （ ）为严格凸函数。 1 1若若f (x)f (x)为定义在凸集为定义在凸集R R上的一个凸函数，且上的一个凸函数，且 是一个正数（是一个正数（00），则），则f (x)f (x)也必是定义在凸集也必是定义在凸集R R上的上的凸函数凸函数。 2 2定义在凸集定义在凸集R R上的两个凸函数上的两个凸函数f f 1 1 (x) (x)和和f f 2 2 (x) (x) ，其和，其和f (x) = f (x) = f f 1 1 (x) + f (x) + f 2 2 (x)(x) 也一定是该凸集上的一

50、个也一定是该凸集上的一个凸函数凸函数。 3 3若若f f 1 1 (x) (x) 、f f 2 2 (x)(x)是定义在凸集是定义在凸集R R上的两个凸函数，上的两个凸函数， 和和 为两个任意正为两个任意正数，则函数数，则函数f f 1 1 (x) +f (x) +f 2 2 (x)(x) 仍是仍是R R上的上的凸函数。凸函数。 4 4若定义在凸集若定义在凸集R R上的一个凸函数上的一个凸函数f (x)f (x)有有两个最小点两个最小点x x1 1和和x x2 2则这两点处的则这两点处的函数值函数值f (xf (x1 1) ) 和和f (xf (x2 2) ) 必相等必相等，否则，其中较大的点

51、就不是，否则，其中较大的点就不是f (x)f (x)的最小点了。的最小点了。 5 5若若x1和和x2是定义在凸集是定义在凸集R R上的一个凸函数上的一个凸函数f (x)f (x)的的两个最小点两个最小点，则其，则其连接连接线段上的一切点线段上的一切点必为必为f (x)f (x)的的最小点最小点。凸函数的性质：凸函数的性质：凸性条件：凸性条件： 12212111f xR1RR1,f xRxxR()()()()2f xR1RR1f xRf xRf xHessianG xTf xf xxxf x若为定义在上且具有连续一阶导数的函数，而 又是内部的一个凸集 则为 上的凸函数的充分必要条件为：对任意两点

52、 、，不等式恒成立。若为定义在上的一个函数，而 又是内部的一个凸集。设在 上有连续二阶导数，则在 上为凸函数的充分必要条件为：函数的二阶偏导数矩阵，即矩阵处处半正定。2212121212( )10460D|,1,2if xxxx xxxxxxi 证明函数在，上是凸函数。例：例：2212( )()f xxx 试判断函数的凸性。例：例：凹函数：凹函数：1212( )(1)()(1) ()f xfxxf xf x凸函数凸函数下凸下凸有极小值有极小值上凸上凸有极大值有极大值凹函数凹函数1212( )(1)()(1) ()f xfxxf xf x凸规划：凸规划：目标函数目标函数与与约束条件约束条件均为均

53、为凸函数凸函数的优化问题称为凸规划。的优化问题称为凸规划。 001, |( )()2 |( )01,2, 3jRx f xf xRx gxjm）若给定点x 则集合是凸集。）凸规划的可行域是凸集。）凸规划的任何局部最优解就是全局最优解。凸规划的性质凸规划的性质 min( ). . ( )0 (1,2,)kf xst h xkm消元法降维法拉格朗日乘子法升维法12()xx12(,)0h xx12(,)f xx2()F x（二维）（二维）（一维）（一维）1212min( ,). . ( ,)0 f x xsth x x二元函数（一个等式约束）：二元函数（一个等式约束）：1212min( ,). .

54、( ,)0 (1,2, )nknf x xxsth x xxkl1112221212(,)(,)(,)llnllnllllnxxxxxxxxxxxx12min(,)llnF xxx（ n-l n-l 维无约束优化问题维无约束优化问题 ）1212min( ,). . ( ,)0 (1,2, )nknf x xxsth x xxkl*1(, )()()0lkkkF xf xh x 1( , )( )( )lkkkF xf xh x12 ,Tl 极值必要条极值必要条件件*1(, )()()0lkkkF xf xh x 极值必要条极值必要条件件几何意义：几何意义： 在等式约束的极值点上，目标函数的在等

55、式约束的极值点上，目标函数的负梯度负梯度等于各等于各约束函数梯度约束函数梯度的的线性组合线性组合。1212221212,2360,45h x xxxfx xxx用拉格朗日乘子法计算约束条件是的情况下，目标函数的极值点。例：例：求解不等式约束优化问题求解不等式约束优化问题的的基本思想基本思想： 将将不等式不等式约束条件变成约束条件变成等式等式约束条件。约束条件。具体做法具体做法： 引入引入松弛变量松弛变量。松弛变量松弛变量 12 min. . 0 0f xstgxaxgxxb一元函数一元函数f(x)f(x)在给定区间在给定区间a,ba,b上的极值优化问题上的极值优化问题 ： 1200gxaxgx

56、xb 22111112221211,0,0hx agxaaxahx bgxbxbb 2211121121,F x a bfxaxaxbb 拉格朗日函数：拉格朗日函数： 2211121121,F x a bfxaxaxbb 拉格朗日函数：拉格朗日函数：1200极值条件极值条件 121211221200,00,0dgdgdfdxdxdxgxgx极值条件极值条件 121211221200,00,0dgdgdfdxdxdxgxgx1212120dgdgdfdfdxdxdxdx*()axb*()xa*()xb极值条件极值条件 121211221200,00,0dgdgdfdxdxdxgxgx |0,1,

57、2jJ xj gxj起作用约束的下标集合： 000jjj JjjdgdfdxdxgxjJjJ多元函数多元函数不等式不等式优化问题模型：优化问题模型：min( ). . ( )0 (1,2,)jf xstgxjm*1*01,2,.,01,2,.,01,2,.,mjjjiijjjf xgxinxxgxjmjm极值条件库恩库恩塔克条件塔克条件*1*01,2,.,01,2,.,01,2,.,mjjjiijjjf xgxinxxgxjmjm极值条件库恩库恩塔克条件塔克条件*01,2,.,00jjj Jiijjf xgxinxxgxjJjJ*1*01,2,.,01,2,.,01,2,.,mjjjiijjj

58、f xgxinxxgxjmjm极值条件库恩库恩塔克条件塔克条件*0jjjJfxgx 在约束极小值点在约束极小值点x x* *处，处，函数函数f(x)f(x)的负梯度一定可的负梯度一定可以表示成所有起作用约以表示成所有起作用约束在改点的梯度（法向束在改点的梯度（法向量）的非负线性组合。量）的非负线性组合。 库恩塔克条件的几何意义（二维）：库恩塔克条件的几何意义（二维）：库恩塔克条件的几何意义（二维）：结论：结论： 1212k1212x0,0kkkkkkkkkf xg xg xf xg xg xf xg xg x1)在 极 值 点 处和以 及是 线 性 相 关 的 ， 或 者 说可 以 看 做 是

59、和的 线 性 组 合 。2)如 果 点 是 极 小 点 ， 那 么 目 标 函 数 的 梯 度一 定 位 于 两 个 约 束 函 数的 梯 度和形 成 的 夹 角 内 ， 或 者 说 它 们 的 线 性 组 合 系 数 是 正 的 。 min( ). . ( )0(1,2,) ( )0(1,2, )jkf xstgxjmh xkl同时具有等式和不等式约束的优化问题： 101,2,.,00ljkjkj JkiiijjghfinxxxgxjJjJ库恩库恩塔克条件：塔克条件：库恩库恩塔克条件举例：塔克条件举例：*2221221122231KT1,0min( )2,s.t. ( )10 ( )0 (

60、)0Txf xxxxRg xxxgxxgxx 试用条件判定点是否是下面优化问题的极值点。库恩库恩塔克条件举例：塔克条件举例：131122132min( ). . ( )(1)0 ( )0 ( )0f xxstg xxxgxxgxx 试分析约束优化问题：的约束最优解及其库恩塔克条件。(画出目标函数的等值线和可行域)：对于：对于单个变量单个变量（一维问题一维问题）的直接探索（搜索）的直接探索（搜索 或寻查）。或寻查）。多维多维问题的数值迭代法问题的数值迭代法1(0,1,2,)kkkkxxdk1()()()minkkkkkf xf xd 每步为每步为一维一维搜索搜索*()0 1 1）解析法解析法：2