含有未知函数的导数或微分的方程实用教案

1、例如，都是一阶微分方程22xyyy0d2d)(2yxyxyx定义4.44.4如果一个(y )(y )函数代入微分方程后，使得方程两端恒等，则此函数称为该微分方程的解4.5.14.5.1 基本概念基本概念第1页/共32页第一页，共33页。4.5.14.5.1 基本概念基本概念例如，都是微分方程 的解其中, , 含有一个任意常数，它称为该微分方程的通解，而是时，该微分方程的解，它称为该微分方程的特解Cxy313 xy13 x1C23xy Cxy3y第2页/共32页第二页，共33页。一般，如果一阶微分方程的解中含有一个任意常数，则称此解为微分方程的通解，在通解中，如果可确定任意常数的值，所得到的解称

2、为微分方程的特解为了确定任意常数的值，通常需给出时未知函数对应的值 ，记作 或这一条件称为初始条件0 xx 0yy 00)(yxy00yyxx4.5.14.5.1 基本概念基本概念第3页/共32页第三页，共33页。如果一阶微分方程可以化为0),( yyxFxxfyygd)(d)(4.5.1)(4.5.1)的形式，则称为可分离变量的微分方程 微分方程(4.5.1)(4.5.1)称为变量已分离的微分方程0),( yyxF在(4.5.1)(4.5.1)式两边积分，得Cxxfyygd)(d)(，(4.5.2)(4.5.2)4.5.2 4.5.2 可分离变量(binling)(binling)的一阶微分

3、方程第4页/共32页第四页，共33页。其中是任意常数(4.5.2)(4.5.2)就是微分方程(4.5.1)(4.5.1)的通解表达式应注意注意，不定积分，分别表示和的一个原函数，任意常数要单独写出来Cyygd)(xxfd)()(yg)(xfC4.5.2 4.5.2 可分离变量(binling)(binling)的一阶微分方程第5页/共32页第五页，共33页。例例1 1解微分方程)3(2yxy两边(lingbin)(lingbin)积分，得解解原方程可改写为分离变量，得)3(2ddyxxyxxyyd2d311d2d31Cxxyy，4.5.2 4.5.2 可分离变量(binling)(binlin

4、g)的一阶微分方程第6页/共32页第六页，共33页。记，则方程的通解为1eCC3e2xCy123lnCxy，即 3e12Cxy4.5.2 4.5.2 可分离变量(binling)(binling)的一阶微分方程第7页/共32页第七页，共33页。例例2 2解微分方程xxyxyyd)e1 (2d)1 (e2解分离变量(binling)(binling)，原微分方程化为xxxyyyd12de1e2，两边(lingbin)(lingbin)积分，得Cxxxyyylnd12de1e2，4.5.2 4.5.2 可分离变量(binling)(binling)的一阶微分方程第8页/共32页第八页，共33页。所

5、以(suy)(suy)Cxyln)1ln()e1ln(2，即)1 (e12xCy得1)1 (ln2xCy4.5.2 4.5.2 可分离(fnl)(fnl)变量的一阶微分方程第9页/共32页第九页，共33页。解解原方程可化为分离变量，得xyxxycossindd两边(lingbin)(lingbin)积分，得Cxylnsinlnln，xxxyydsincosd1，例例3 3求微分方程满足初始条件的特解0cossinxyxy32xy4.5.2 4.5.2 可分离变量(binling)(binling)的一阶微分方程第10页/共32页第十页，共33页。)()(ygxfy 0d)()(d)()(212

6、1yyNxNxyMxM或 的形式经过代数运算，它们都可以化(4.5.1)(4.5.1)的形式所以，是原方程的通解由初始条件 ，可得 故所求特解为 可分离变量的微分方程往往具有xCysin32xyxysin33C4.5.2 4.5.2 可分离变量(binling)(binling)的一阶微分方程第11页/共32页第十一页，共33页。例例4 4设某厂生产某种商品的边际收入函数为，其中 为该种产品的产出量 如果该产品可在市场上全部售出求总收入函数QQR250)(Q)(QR解解 是变量已分离的微分方程两边积分得QQR250)(CQQQRd)250()(CQQ2504.5.2 4.5.2 可分离变量(b

7、inling)(binling)的一阶微分方程第12页/共32页第十二页，共33页。当，应有由此可得所以，总收入函数为0Q0)0(R0C250)(QQQR4.5.2 4.5.2 可分离(fnl)(fnl)变量的一阶微分方程第13页/共32页第十三页，共33页。例例5 5设某水库的现有库存量为( (单位：），水库已被严重污染经计算，目前污染物总量已达（单位：吨），且污染物均匀地分散在水中如果现已不再向水库排污，清水以不变的速度（单位：/ /年）流入水库，并立即和水库的水相混合，水库的水也以同样的速度流出如果记当前的时刻为V0Q3km3kmrr0t4.5.2 4.5.2 可分离(fnl)(fnl)

8、变量的一阶微分方程第14页/共32页第十四页，共33页。(1)(1)求在时刻，水库中残留污染物的数量t)(tQ(2)(2)问需经多少(dusho)(dusho)年才能使用水库中污染物的数量降至原来的10%.10%.解解(1)(1)根据题意，在时刻，的变化率( (污染物的流出速度) )0( tt)(tQ污染物流出速度= =污水流出速度VrQVQ4.5.2 4.5.2 可分离(fnl)(fnl)变量的一阶微分方程第15页/共32页第十五页，共33页。由此可得微分方程QVrtQdd，即，tVrCQe1eCC tVrQQdd分离变量得1lnCtVrQ，两边积分, ,得4.5.2 4.5.2 可分离变量

9、(binling)(binling)的一阶微分方程第16页/共32页第十六页，共33页。由题意，初始条件为，代入上式，得，故微分方程的特解为00QQt0QC tVrQQe0(2)(2)当污染物降至原来10%10%时，有代入上式得01 . 0)(QtQtVrQQe1 . 000，4.5.2 4.5.2 可分离(fnl)(fnl)变量的一阶微分方程第17页/共32页第十七页，共33页。例如，当水库的库存量，流入( (出) )速度为150(150(/ /年) )时，可得( (年) )km(5003V3km6 . 7t解得( (年) )VrrVt30. 21 . 0ln4.5.2 4.5.2 可分离变

10、量(binling)(binling)的一阶微分方程第18页/共32页第十八页，共33页。4.5.3 4.5.3 一阶线性微分方程(wi fn fn chn)(wi fn fn chn)未知函数及其导数都是一次的微分方程，称为一阶线性微分方程一阶线性微分方程的一般形式为)()(xqyxpy(4.5.3)(4.5.3)如果，(4.5.3)(4.5.3)式化为0)(xq0)(yxpy(4.5.4)(4.5.4)第19页/共32页第十九页，共33页。4.5.3 4.5.3 一阶线性微分方程(wi fn fn chn)(wi fn fn chn)(4.5.4) (4.5.4) 式称为一阶线性齐次微分方

11、程当 时，(4.5.3)(4.5.3)式称为一阶线性非齐次微分方程0)(xq第20页/共32页第二十页，共33页。所以方程(4.5.4)(4.5.4)的通解为xxpCyd)(e(4.5.5)(4.5.5)4.5.3 4.5.3 一阶线性微分方程(wi fn fn chn)(wi fn fn chn)Cxxpylnd)(ln，两边积分，得1.1.一阶线性齐次微分方程的通解(4.5.4)(4.5.4)分离(fnl)(fnl)变量后，化为xxpyyd)(d，第21页/共32页第二十一页，共33页。4.5.3 4.5.3 一阶线性微分方程(wi fn fn chn)(wi fn fn chn)(4.5

12、.3)(4.5.3)的通解可以利用“常数变易法”得到：首先求得微分程(4.5.3)(4.5.3)对应的一阶线性齐次方程的通解(4.5.5)(4.5.5)，然后将(4.5.5)(4.5.5)式中的任意常数换为待定的函数即设方程 (4.5.3)(4.5.3)的通解为0)(yxpyC)(xuu xxpxuyd)(e )(4.5.6)(4.5.6)2.2.一阶线性非齐次方程(fngchng)(fngchng)的通解第22页/共32页第二十二页，共33页。4.5.3 4.5.3 一阶线性微分方程(wi fn fn chn)(wi fn fn chn)将(4.5.6)(4.5.6)式和(4.5.7)(4.

13、5.7)式代入(4.5.3)(4.5.3)，得dxxpxxpxpxuxu)(d)(e )()(e )()(e )()(d)(xqxuxpxxp即，xxqxuxxpde )()(d)()e)(e )(d)(d)(xxpxxpxuxuyxxpxxpxpxuxud)(d)(e)()(e )( (4.5.7)(4.5.7)因此第23页/共32页第二十三页，共33页。将上式代入(4.5.6)(4.5.6)式，得)de )(ed)(d)(Cxxqyxxpxxp(4.5.8)(4.5.8)可以验证，(4.5.8)(4.5.8)就是非齐次方程(4.5.3)(4.5.3)的通解4.5.3 4.5.3 一阶线性微

14、分方程(wi fn fn chn)(wi fn fn chn)Cxxqxuxxpde )()(d)(，两边积分，得第24页/共32页第二十四页，共33页。4.5.3 4.5.3 一阶线性微分方程(wi fn fn chn)(wi fn fn chn)解解先解对应的一阶线性齐次方程02xyy可得其通解为2exCy令原方程的通解为2e )(xxuy则22e )(2e )(xxxxuxuy，例例6 6求微分方程的通解2e22xxxyy第25页/共32页第二十五页，共33页。将和代入原方程，原方程化为yy2222e2e )(2e )(2e )(xxxxxxxuxxuxu，即xxu2)(，所以Cxxu2

15、)(于是原方程的通解为2e )(2xCxy4.5.3 4.5.3 一阶线性微分方程(wi fn fn chn)(wi fn fn chn)第26页/共32页第二十六页，共33页。4.5.3 4.5.3 一阶线性微分方程(wi fn fn chn)(wi fn fn chn)例例7 7求微分方程的通解xxxyysin2cot解法解法1 1先求对应的齐次方程的通解由0cotxyy分离变量，得xxyydcotd1，第27页/共32页第二十七页，共33页。4.5.3 4.5.3 一阶线性微分方程(wi fn fn chn)(wi fn fn chn)因此，对应的齐次方程的通解为xCysinCxxyln

16、dcotlnCxxxlndsincosCxlnsinln两边(lingbin)(lingbin)积分，得第28页/共32页第二十八页，共33页。即xxu2)(4.5.3 4.5.3 一阶线性微分方程(wi fn fn chn)(wi fn fn chn)yyxxxxxuxxuxxusin2cotsin)(cos)(sin)(，将和代入原方程，得两边积分，得所以，原方程的通解Cxxu2)(xCxysin)(2令，则xxuysin)(xxuxxuycos)(sin)(第29页/共32页第二十九页，共33页。解法解法2 2用公式(4.5.8)(4.5.8)求方程的通解，由于xxpcot)(，xxxqsin2)(，易求xxxxxxxpdsincosdcotd)(xsinln，4.5.3 4.5.3 一阶线性微分方程(wi fn fn chn)(wi fn fn chn)第30页/共32页第三十页，共33页。4.5.3 4.5.3 一阶线性微分方程(wi fn fn chn)(wi fn fn chn)dsin1sin2(sinCxxxxxxCxsin)(2)desin2(esinlnsinlnCxxxyxx代入公式(4.5.8)(4.5.8)，则