三角形等积变形 Microsoft Office PowerPoint 演示文稿 2

1、白汀水小学奥数三角形的等积变形三角形的等积变形DAB C相相似似等等相相白汀水三角形的等积变形三角形的等积变形一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状本讲即不同的形状本讲即研究面积相同的三角形的各种形研究面积相同的三角形的各种形状以及它们之间的关系。状以及它们之间的关系。这个公式告诉我们：三角形面积的大小，取决于三角形底和高这个公式告诉我们：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也的乘积如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）。同样若三角形的高不变，底越大（小），三角

2、就越大（小）。同样若三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）。这说明；当三角形的面积变化时，它形面积也就越大（小）。这说明；当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化。但是，当三角形的底和的底和高之中至少有一个要发生变化。但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化当三角形的底当三角形的底和高和高的积保持不变，三角形的面积就不变。只有当的积保持不变，三角形的面积就不变。只有当三角形底三角形底和高的乘积和高的乘积变化时，变化时，三角形的面积才发生变化。三角形的面积才发生变化。三角形面积的计算公式：三角形面积的计算

3、公式：三角形面积三角形面积= =底高底高2 2底底高高白汀水等底等高的两个三角形面积相等等底等高的两个三角形面积相等 它们所对的顶点同为它们所对的顶点同为A点，（也就是它们的高相等）那么点，（也就是它们的高相等）那么这两个三角形的面积相等这两个三角形的面积相等 同时也可以知道同时也可以知道ABC的面积是的面积是ABD或或AEC面积的面积的3倍倍为便于实际问题的研究，我们还会常常用到以下结论：为便于实际问题的研究，我们还会常常用到以下结论：若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是或高）

4、是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍另一个三角形面积的几倍 底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的顶点是同一底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等ABCDE白汀水例如在下图中，例如在下图中，ABC与与DBC的底相同（它们的底都是的底相同（它们的底都是BC），），它所对的两个顶点它所对的两个顶点A、D在与底在与底BC平行的直线上，（也就是它们平行的直线上，（也就是它们的高相等），那么这两个三角形的面积相等的高相等），那么这两个三角形的面积相等DAB C白汀水例

5、如下图中，例如下图中，ABC与与DBC的底相同（它们的底都的底相同（它们的底都是是BC），），ABC的高是的高是DBC高的高的2倍（倍（D是是AB中点，中点，AB=2BD，有，有AH=2DE），则），则ABC的面积是的面积是DBC面积的面积的2倍倍上述结论，是我们研究三角形等积变形的重要依据上述结论，是我们研究三角形等积变形的重要依据CABDHE白汀水例例1 用四种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面用四种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形积相等的三角形方法方法2：如右图，先将：如右图，先将BC二等分，分点二等分，分点D、连结、连结AD，得到两个等积三角形，即得到两个等积三

6、角形，即ABD与与ADC等积然等积然后取后取AB、AC中点中点E、F，并连结，并连结DE、DF从而得到从而得到四个等积三角形，即四个等积三角形，即ADE、BDE、DCF、ADF等积等积ABCDEF方法方法1：如左图，将：如左图，将BC四四等分，等分，（B BD=DE=EF=FC=BC/4）、连结、连结AD、AE、AF，则，则ABD、ADE、 AEF、 AFC等积等积BACDEF白汀水方法方法3：如左图，：如左图， 取取ABC三条边的中点三条边的中点D、E、F连结连结DE、DF、EFEF，则则BED、E EAF、 DFC、 EFD等积等积BACDEF方法方法4：如右图，：如右图， 取取点点D，使

7、使BD=BC/3，连结连结A AD、取点取点E E、F F，使使AE=EF=FDAE=EF=FD，则则ABDABD、CAECAE、 CEF、 CFD等积等积BACDEF白汀水例例2 用三种不同的方法将任意一个三角形分成三个小三角形，用三种不同的方法将任意一个三角形分成三个小三角形，使它们的面积比为及使它们的面积比为及1 3 4方法方法2：如上右图，先取如上右图，先取BC中点，再取中点，再取AB的的1/4分点，连结分点，连结AD、DE，从而得到三个三角形：，从而得到三个三角形：ADE、BDE、ACD其面积其面积比为比为1 3 4方法方法 1：如上左图，将：如上左图，将BC边八等分，取边八等分，取

8、1 3 4的分点的分点D、E，连结连结AD、AE，从而得到，从而得到ABD、ADE、AEC的面积比为的面积比为1 3 4BACEDBACDE134134白汀水方法方法2：如下图，先取如下图，先取AB中点中点D，再连结，再连结CD，再取再取CD上的上的1/4分分点点E，连结，连结AE，从而得到三个三角形：从而得到三个三角形：ACE、ADE、BCD其面积比为其面积比为1 3 4BACDE当然本题还有许多种其他分法，同学们可以自己寻找解决当然本题还有许多种其他分法，同学们可以自己寻找解决134白汀水例例3 如右图，在梯形如右图，在梯形ABCD中，中，AC与与BD是对角线，其交点是对角线，其交点O，求

9、，求证：证：AOB与与COD面积相等面积相等证明：证明：ABC与与DBC等底等高，等底等高，SABC=SDBC又又 SAOB=SABCSBOC SDOC=SDBCSBOCSAOB=SCODDAB CO白汀水例例4 如右图，把四边形如右图，把四边形ABCD改成一个等积的三角形改成一个等积的三角形分析分析 本题有两点要求，一是把四边形改成一个三角形，二是本题有两点要求，一是把四边形改成一个三角形，二是改成的三角形与原四边形面积相等我们可以利用三角形等积改成的三角形与原四边形面积相等我们可以利用三角形等积变形的方法，如上图，变形的方法，如上图，把顶点把顶点A移到移到CB的延长线上的的延长线上的A处，

10、处，ABD与与ABD面积相等，从而面积相等，从而ADC面积与原四边形面积与原四边形ABCD面面积也相等这样就把四边形积也相等这样就把四边形ABCD等积地改成了三角形等积地改成了三角形ADC问题是问题是A位置的选择是依据三角形等积变形原则过位置的选择是依据三角形等积变形原则过A作一条和作一条和DB平行的直线与平行的直线与CB的延长线交于的延长线交于A点。点。DCBAA解：连结解：连结BD；过过A作作BD的平行线，与的平行线，与CB的延长线交于的延长线交于A连结连结AD，则，则ACD与四边形与四边形ABCD等积等积白汀水例例5 如右图，已知在如右图，已知在ABC中，中，BE=3AE，CD=2AD若

11、若ADE的面积为的面积为1平方厘米求三角形平方厘米求三角形ABC的面积的面积解法解法1：连结：连结BD，在，在ABD中中 BE=3AE， SABD=4SADE=4（平方厘米）（平方厘米）在在ABC中，中，CD=2AD， SABC=3SABD=34=12（平方厘米）（平方厘米）解法解法2：连结：连结CE，如右图所示，在，如右图所示，在ACE中，中， CD=2AD， SACE=3SADE=3（平方厘米）（平方厘米）在在ABC中，中，BE=3AE SABC=4SACE=43=12（平方厘米）（平方厘米）ABCDE1ABCDE1白汀水例例6 如下页图，在如下页图，在ABC中，中，BD=2AD，AG=2

12、CG，BE=EF=FC=BC/3，求阴影部分面积占三角形面积的几分之几？求阴影部分面积占三角形面积的几分之几？解：连结解：连结BG，在，在ABG中，中， SADG+SBDE+SCFG=（2/9+2/9+1/9）S ABC=5/9ABC BD=2AD， S ADG=SABG，在在ABC中，中，ABCDGEF AG=2CG， S ABG=2/3SABC，S ADG=（1/3）（）（2/3）SABC=（2/9）S ABC 。同理同理S BDE=（2/9）S ABC ； S CFG=（1/9）S ABC 阴影部分面积阴影部分面积=（1-5/9）SABC=4/9 ABC白汀水例例7 如右图，如右图，AB

13、CD为平行四边形，为平行四边形，EF平行平行AC，如果，如果ADE的的面积为面积为4平方厘米求三角形平方厘米求三角形CDF的面积的面积解：连结解：连结AF、CE，SADE=SACE；SCDF=SACF；又又AC与与EF平行，平行，SACE=SACF； SADE=SCDF=4（平方厘米）（平方厘米）BCDAEF4？白汀水例例8 如右图，四边形如右图，四边形ABCD面积为面积为1，且，且AB=AE，BC=BF，DC=CG，AD=DH求四边形求四边形EFGH的面积的面积同理，连结同理，连结AC之后，可求出之后，可求出SHGD+SEBF=2所以四边形所以四边形EFGH的面积为的面积为2+2+1=5（平方单位）（平方单位）CDBAHGEF1？S1S2 解：连结解：连结BD，将四边形，将四边形ABCD分成两个部分分成两个部分S1与与S2连结连结FD，有，有SFBD=SDBC=S1 所以所以SCGF=SDFC= SFBD+SDBC=2S1连结连结HB，同理同理 SAEH=2S2，因此因此SAEH+SCGF=2S1