从梯子的倾斜角说起

1、九年级下北师版教材§1、1 从梯子的倾斜程度谈起（第1课时）枣庄市第四中学 孙玫玉教学目标：1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系.2.能够用tanA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，能够用正切进行简单的计算.体验数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题.教学重点与难点：重点：（1）理解正切的意义，能够用tanA表示直角三角形中两边的比.（2）会利用正切刻画物体的倾斜程度、山的坡度等，并能够根据直角三角形中的边角关系进行简单的计算.难点：理解正切的意义，能够用tanA表示直角三角形中两边的比.教法及学法指

2、导：本节课中，从引入、探究、归纳、应用都充分利用了“梯子的倾斜程度”这一活生生的现实情景，在具体活动中，我先让学生通过对情景问题的讨论产生困惑，再引导学生共同探究梯子的倾斜角与直角三角形边的比之间的关系.通过层层深入的探究，把每个知识点都落实到实处后，再水到渠成地让学生利用正切来刻画梯子的倾斜程度、山的坡度等，这样使学生接受新知识水到渠成，简单易懂.课前准备：课件，直尺，课本，练习本.教学过程:一、 创设情境、引入新课教师多媒体课件展示图片,学生感受梯子的诸多作用.生活小帮手梯子【师】（多媒体课件展示）顽皮的小明忘记了家里的钥匙，他找来了一把梯子，怎样放置梯子，才会更安全的进入家中拿到钥匙？妈

3、呀！我好害怕呦！【生1】别把梯子放的太陡峭【生2】把梯子放的平缓一些【师】我们也经常听人们说这个梯子放的“陡”，那个梯子放的“平缓”，该如何判断梯子的“陡”或“平缓”呢，这节课我们就来研究这个问题（板书课题：1.1 从梯子的倾斜程度谈起（1）设计意图：从生活中有关梯子的实例入手， 设制了小明爬梯子拿钥匙的动漫情景，以新颖、有趣的问题情景，激发学生的学习兴趣，从而自然引出课题，并且为学生探究梯子的倾斜程度埋下伏笔，同时也体现了数学来源于生活，又将为生活服务。二、探究新知、合作交流探究一30°60°°图1-1【师】 (用多媒体演示) 图中的三个梯子，那个更陡峭为什么？

4、【生】第三个梯子更陡峭因为第三个梯子与地面的倾斜角比第一个梯子与地面的倾斜角大，也比第二个梯子与地面的倾斜角大，所以第一个梯子更陡峭.【师】由此，你有什么发现？【生】梯子与地面倾斜角越大，梯子越陡峭；倾斜角越小，梯子越平缓.过渡语：这位同学总结的很准确，发现梯子与地面的倾斜角越大，梯子越陡峭若梯子与地面的倾斜角不知道，你能判断梯子的陡峭程度吗？探究二1米5米6米6米图1-24米5米6米5米图1-3【师】（用多媒体演示）下面每幅图中的两个梯子那个更陡峭？你是怎么判断的？【生1】测量梯子与地面的倾斜角，发现：在图1-2中第一个梯子与地面的倾斜角比第二个梯子与地面的倾斜角大，所以第一个梯子更陡峭；在

5、图1-3中第二个梯子与地面的倾斜角比第一个梯子与地面的倾斜角大，所以第二个梯子更陡峭；【生2】在图1-2中，这两个梯子顶端的高度相等，而第一个梯子的底部距离墙是1米，第二个梯子的底部距离墙是5米，所以第一个梯子更陡峭.【师】很好，这个同学抓住了梯子的底部与墙的距离这个量，也判断出了第一个梯子更陡峭.可是这个方法只能判断等高的两个梯子，对于图1-3中的两个梯子能不能用这种方法判断哪个梯子更陡峭吗？若能，说一说你的方法【生3】不能用，因为这两个梯子不等高.【生5】上面两个梯子虽然不等高，但是它们的底部到墙的距离相等，第一个梯子的高4米，第二个梯子的高6米，所以第二个梯子更陡峭.【师】这个同学很棒！

6、他抓住了梯子的高度这个量，并且判断出了第二个梯子更陡峭.可是这个方法只能判断与墙距离相等的两个梯子，对于下面的梯子能不能用这种方法呢？探究三【师】（用多媒体演示）3米5米2米4米图1-4【生1】这两个梯子的高不等，底部到墙的距离也不相等，所以以上两种方法都不能用.【生】可以通过测量梯子与地面倾斜角的大小来判断梯子的陡峭程度. 测量第一个梯子与地面的倾斜角为68°，测量第二个梯子与地面的倾斜角为37°， 所以第一个梯子比第二个梯子陡峭过渡语：同学们表现的棒极了，我为你们感到自豪！可是测量梯子与地面倾斜角比较麻烦，有没有更简单的方法？请看下面的挑战探究四【师】观察下面三个梯子，

7、并填写下表：图1-54米2米2米4米4米4米 梯子梯子高度(h)梯子底部与墙的距离(a) 梯子与地面倾斜角 ()2米 4米27° 4米4米 45°14米2米 64°2【师】1.梯子与地面倾斜角有什么变化？2.梯子的陡峭程度有什么变化？ 3.的值有什么变化？【生1】梯子与地面倾斜角越来越大.【生2】 梯子越来越陡峭.【生3】的值越来越大.【师】由此，你有什么发现？【生4】梯子与地面倾斜角越大，梯子越陡峭，同时的值也来越大.【生5】当斜角不易测量时，我们可以通过计算倾斜角的对边与邻边的比值来比较梯子的倾斜程度.【师】让我们为这个同学的精彩发现而鼓掌！【生】鼓掌.3米5

8、米2米4米图1-【师】既然我们可以通过计算倾斜角的对边与邻边的比值来比较梯子的倾斜程度，那么对于探究三中的问题，除了用测量倾斜角的方法，还可以怎么做？【生】1.第一个梯子的倾斜角的对边与邻边的比值是2.5，2.第二个梯子的倾斜角的对边与邻边的比值是0.75，所以第一个梯子更陡峭.设计意图：通过五个逐层深入的问题，让学生经历由简单到复杂、由特殊到一般的探究过程，既对已学知识和生活经验进行了回味和运用，也让学生的思想逐步向本节课的中心“两直角边之比”靠近。从而强化了对“正切”概念的生成化理解。三、提炼升华、归纳概念（课件展示）想一想：如图,小明想通过测量B1C1及AC1,算出它们的比,来说明梯子A

9、B1的倾斜程度; 而小亮则认为,通过测量B2C2及AC2,算出它们的比,也能说明梯子AB1的倾斜程度.你同意小亮的看法吗? （） RtAB1C1和RtAB2C2有什么关系? （3） 如果改变B2在梯子上的位置呢?由此你能得出什么结论?【生1】（1）B2AC2=B1AC1, B2C2A=B1C1A=90°, RtAB1C1RtAB2C2【生2】：由（1）知RtAB1C1RtAB2C2 【生】（思考后独立解决第1、2问，但第3问在学生独立思考的基础上，分小组织讨论交流.）【生】改变B2在梯子上的位置，铅直高度与水平宽度的比始终相等.【师】由次，我们可以得到怎样的结论？【生】梯子的倾斜角一

10、定时，倾斜角的对边与邻边的比值一定.【生】在直角三角形中的锐角A确定以后，它的对边与邻边之比也随之确定. ACBA的对边A的邻边【师】对于直角三角形中锐角A的对边与邻边的比，我们有如下定义：（用多媒体演示）如图，在RtABC中，如果锐角A确定，那么A的对边与邻边之比便随之确定，这个比叫做A的正切(tangent)，记作tanA，即tanA=【师】对于正切的定义和表示需要注意（用多媒体演示）1. 初中阶段，正切是在直角三角形中定义的A是一个锐角.2. tanA是一个完整的符号，它表示A的正切，记号里习惯省去角的符号“”， 但BAC的正切表示为tanBAC，1的正切表示为tan1 3. tanA0

11、 且没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中锐角A的对边与邻边的比. tanA的大小只与A的大小有关，而与直角三角形的边长无关.设计意图：通过证明加强对正切函数概念的理解，教师的强调讲解既深化对正切函数概念的认识，同时对正切函数的书写、表示进行规范，为下一步运用正切函数做了铺垫。7m10mABC 巩固练习：.判断对错: 如图，（ ）（3）tanA=（ ）（2）tanA=（ ）（1）tanA= （ ）(4)tanA=0.7m （ ） (5) tanB= 第题图图. 在RtABC中，三边都同时扩大100倍，则锐角A的正切值（ ）A.扩大100倍B.缩小100倍 C.不变D.不能确定设计意图：设计这

12、两个题目的是矫正学生在表示正切函数中容易犯的错误，与上面学习正切的定义时教师的规范强调相辅相成，便于在下一步的运用中能正确的理解和运用正切函数，防患于未然。四、学以致用、例题示范【师】有了“正切”这个数学工具我们就可以更容易比较梯子的陡峭程度了，下面我们看例题.8m6m乙5m13m甲例1下图表示两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡?分析：比较甲、乙两个自动电梯哪一个陡，只需分别求出tan、tan的值，比较大小，越大，扶梯就越陡.解：甲梯中， tan = . 乙梯中， tan = 因为tantan，所以乙梯更陡.设计意图：设计的这个例题目的就是让学生初步学会运用”正切”这一数学工具判断梯子的倾斜程

13、度，同时规范学生好学生解题步骤，培养良好的解题习惯。60m100m过渡语：如图,正切也经常用来描述山坡的坡度，坡与平面的夹角称为坡角例如，有一山坡在水平方向上每前进100m就升高60m,那么山坡的坡度i(即tan)就是例2某人沿一斜坡的底端B走了10米到达点A，此时点A到地面BC的垂直高度AC为6米，则斜坡AB的坡度i为多少？分析：坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度i(或坡比),即坡度等于坡角的正切. 注意坡度i(或坡比)是两数之比，不是度数.所以先运用勾股定理求出BC的长度，然后在RtABC6m10mACB中再求出B的正切.解：在RtABC中，AB=10cm，AC=6cm 由勾股定理得 B

14、C=8m tanB= 所以斜坡AB的坡度为（或34）设计意图：在学生正确理解正切定义，并且会用正切判断梯子陡峭程度的基础上再学习理解坡度水到渠成，坡度就是一个角的正切，坡度是对正切应用的拓展延伸。通过例2的学习让学生进一步理解坡度或坡比不是度数而是两数之比。巩固练习：1在RtABC中,C=90°,AB=3,BC=1,则tanA= _.2如图, ACB=90°，CDAB，则tanACD= ，tanB= = = _ 六、归纳总结、盘点收获【师】通过这节课的学习，我们有哪些收获？【生】正切的定义.【生】梯子的倾斜程度与tanA的关系.（A和tanA之间的关系）.【生】坡度（或坡比）的定义.【生】数形结合的思想.【生】运用正切函数时要找准直角三角形或构造直角三角形.设计意图：采用开放式小结，让学生对本节课所学的内容进行归纳总结、升华知识，师生共同分享收获。七、布置作业、巩固提高 1.巩固性作业：课本P6知识与技能 第1、2题.2.提高性作业：助学P168自主评价.设计意图：“巩固性作业”可以巩固本节课所学内容，“提高性作业”可以供学有余力的同学进一步提高成绩，使不同层次的同学得到最大限度的发展八、达标检测、小组PK（A组）1一个直角三角形两边长分别为3、4，则较小的锐角的正切值是_.2