材料力学弯曲剪应力PPT学习教案

1、会计学1材料力学弯曲剪应力材料力学弯曲剪应力平行的方向都与假设SF. 1y沿宽度均布。.2NFNIIF在在h h b b的情况下的情况下第第2页页/共共68页页第1页/共68页*dNIAAF*d)d(d)(1NAzAAIyMMAF*d1AzAIyM*d1AzAyIMMISzz*xbSIMSIMMzzzzdd*即：SI bMxzz*ddxbFFd INIINbISFzz*S*1ddd*zzAzSIMMAyIMM结论：结论：NFNIIF*A*A*ASdFyyzyy第第3页页/共共68页页第2页/共68页 *SbISFzz*CzyAS 222yhyyhb 2242yhb 23 SmaxbhF3.切应

2、力分布规律)4(222SyhIFz5.7 梁的切应力 max bhyzFSy123bhIz223S46yhbhF第第4页页/共共68页页第3页/共68页2. 工字形截面梁工字形截面梁 22*22222 222yhdhbyyhdyhhbSz (1) 腹板上的切应力腹板上的切应力dISFzz*S 其中其中第第5页页/共共68页页第4页/共68页 可见腹板上的切应力在与中性轴可见腹板上的切应力在与中性轴z垂直的方垂直的方向按二次抛物线规律变化。向按二次抛物线规律变化。第第6页页/共共68页页第5页/共68页(2) 在腹板与翼缘交界处：在腹板与翼缘交界处：在中性轴处：在中性轴处： hbdIFz2Smi

3、n 2S*max,Smax222 hdhbdIFdISFzzz第第7页页/共共68页页第6页/共68页 对于轧制的工字钢，上式中的对于轧制的工字钢，上式中的 就是型就是型钢表中给出的比值钢表中给出的比值 ，此值已把工字钢截面的，此值已把工字钢截面的翼缘厚度变化和圆角等考虑在内。翼缘厚度变化和圆角等考虑在内。*max, zzSIxxSI第第8页页/共共68页页第7页/共68页(3) 翼缘上的切应力翼缘上的切应力 翼缘横截面上平行于翼缘横截面上平行于剪力剪力FS的切应力在其上、的切应力在其上、下边缘处为零下边缘处为零( (因为翼缘的因为翼缘的上、下表面无切应力上、下表面无切应力) )，可，可见翼缘

4、横截面上其它各处见翼缘横截面上其它各处平行于平行于FS的切应力不可能的切应力不可能大，故不予考虑。分析表大，故不予考虑。分析表明，工字形截面梁的腹板明，工字形截面梁的腹板承担了整个横截面上剪力承担了整个横截面上剪力FS的的90%以上。以上。第第9页页/共共68页页第8页/共68页 但是，如果从长为但是，如果从长为d dx的梁段的梁段中用铅垂的纵截面在翼缘上截取中用铅垂的纵截面在翼缘上截取如图所示包含翼缘自由边在内的如图所示包含翼缘自由边在内的分离体就会发现，由于横力弯曲分离体就会发现，由于横力弯曲情况下梁的相邻横截面上的弯矩情况下梁的相邻横截面上的弯矩不相等，故所示分离体前后两个不相等，故所示

5、分离体前后两个同样大小的部分横截面上弯曲正同样大小的部分横截面上弯曲正应力构成的合力应力构成的合力 和和 不相等，因而铅垂的纵不相等，因而铅垂的纵截面上必有由切应力截面上必有由切应力 1构成的合构成的合力。力。*N1F*N2F*N1*N2SdFFF udx A*自由边自由边11*1NF*2NF第第10页页/共共68页页第9页/共68页根据根据 可得出可得出xFdd1S 从而由切应力互等定理可从而由切应力互等定理可知，翼缘横截面上距自由边为知，翼缘横截面上距自由边为u处有平行于翼缘横截面边长的处有平行于翼缘横截面边长的切应力切应力 1，而且它是随，而且它是随u按线性按线性规律变化的。规律变化的。

6、huIFhuIFISFzzzz222*1SSS udx A*自由边自由边11*1NF*2NF第第11页页/共共68页页第10页/共68页思考题思考题: 试通过分析说明，图试通过分析说明，图a中所示上、下翼缘左半部中所示上、下翼缘左半部分和右半部分横截面上与分和右半部分横截面上与腹板横截面上的切应力指腹板横截面上的切应力指向是正确的，即它们构成向是正确的，即它们构成了了“切应力流切应力流”。第第12页页/共共68页页第11页/共68页 由由56a号工字钢制成的简支梁如图号工字钢制成的简支梁如图a所示，试所示，试求梁的横截面上的最大切应力求梁的横截面上的最大切应力 max和同一横截面上和同一横截面

7、上腹板上腹板上a点处点处( (图图b) )的切应力的切应力 a 。不计梁的自重。不计梁的自重。例题例题 4-13第第13页页/共共68页页第12页/共68页1.求求 max 梁的剪力图如图梁的剪力图如图c所示，由图可见所示，由图可见FS,max=75kN。由型钢表查得由型钢表查得56a号工字钢截面的尺寸如图号工字钢截面的尺寸如图b所所示，示，Iz=65 586 cm4和和Iz/S * z,max=47.73cm。d=12.5mm例题例题 4-13解解:第第14页页/共共68页页第13页/共68页 MPa6 .12Pa106 .12m105 .12m1073.47N10756323*max,ma

8、x,S*max,max,Smax dSIFdISFzzzz 例题例题 4-13第第15页页/共共68页页第14页/共68页dISFzzaa*max,S 其中：其中：33*mm109402mm212mm560mm21mm166 zaS于是有：于是有： MPa6 . 8Pa106 . 8m105 .12m1065586m10940N10756348363 a 2. 求求 a例题例题 4-13第第16页页/共共68页页第15页/共68页腹板上切应力沿高度的变化规律如图所示。腹板上切应力沿高度的变化规律如图所示。 max例题例题 4-13第第17页页/共共68页页第16页/共68页3. 薄壁环形截面梁

9、薄壁环形截面梁 薄壁环形截面梁在竖直平面薄壁环形截面梁在竖直平面内弯曲时，其横截面上切应力内弯曲时，其横截面上切应力的特征如图的特征如图a所示：所示： (1) 由于由于d r0，故认为切应，故认为切应力力 的大小和方向沿壁厚的大小和方向沿壁厚 无无变化；变化； (2) 由于梁的内、外壁上无切由于梁的内、外壁上无切应力，故根据切应力互等定理应力，故根据切应力互等定理知，横截面上切应力的方向与知，横截面上切应力的方向与圆周相切；圆周相切；第第18页页/共共68页页第17页/共68页 (3) 根据与根据与y轴的对称关系轴的对称关系可知：可知： (a) 横截面上与横截面上与y轴相交轴相交的各点处切应力

10、为零；的各点处切应力为零； (b) y轴两侧各点处的切轴两侧各点处的切应力其大小及指向均与应力其大小及指向均与y轴轴对称。对称。第第19页页/共共68页页第18页/共68页 2000*22rrrSz 薄壁环形截面梁横截面上的最大切应力薄壁环形截面梁横截面上的最大切应力 max在中性轴在中性轴z上，半个环形截面的面积上，半个环形截面的面积A*=p pr0 ，其，其形心离中性轴的距离形心离中性轴的距离(图图b)为为 ，故求，故求 max时有时有20r第第20页页/共共68页页第19页/共68页302002p22drrrAIA zyzAAAAIIIAzAyAzyAI2 dddd22222p 及及30

11、p21rIIz 得出：得出： 整个环形截面对于中性整个环形截面对于中性轴轴z的惯性矩的惯性矩Iz可利用整个可利用整个截面对于圆心截面对于圆心O的极惯性矩的极惯性矩得到，如下：得到，如下：第第21页页/共共68页页第20页/共68页从而有从而有 AFrFrrFISFzzSS0S3020S*max2222 式中，式中， A=2p pr0 为整个环形截面的面积。为整个环形截面的面积。第第22页页/共共68页页第21页/共68页(4) 圆截面梁圆截面梁 圆截面梁在竖直平面内弯曲圆截面梁在竖直平面内弯曲时，其横截面上切应力的特征时，其横截面上切应力的特征如图如图a所示：认为离中性轴所示：认为离中性轴z为

12、为任意距离任意距离y的水平直线的水平直线kk上各上各点处的切应力均汇交于点处的切应力均汇交于k点和点和k点处切线的交点点处切线的交点O ，且这些，且这些切应力沿切应力沿y方向的分量方向的分量 y相等。相等。因此可先利用公式因此可先利用公式 求出求出kk上各点的切应上各点的切应力竖向分量力竖向分量 y ，然后求出各点处各自的切应力。，然后求出各点处各自的切应力。kkzzybISF *S 第第23页页/共共68页页第22页/共68页AFdFddddFdISFzz344346432421S2S42S*Smax 圆截面梁横截面上的圆截面梁横截面上的最大切应力最大切应力 max在中性轴在中性轴z处，其计

13、算公式为处，其计算公式为第第24页页/共共68页页第23页/共68页II. 梁的切应力强度条件梁的切应力强度条件 图图a所示受满布均布荷所示受满布均布荷载的简支梁，其最大弯矩载的简支梁，其最大弯矩所在跨中截面上、下边缘所在跨中截面上、下边缘上的上的C点和点和D点处于点处于单轴单轴应力状态应力状态(state of uniaxial stress) (图图d及图及图e)，故根据这些点对该梁，故根据这些点对该梁进行强度计算时其强度条进行强度计算时其强度条件就是按单轴应力状态建件就是按单轴应力状态建立的正应力强度条件立的正应力强度条件 max第第25页页/共共68页页第24页/共68页 该梁最大剪力

14、所在两该梁最大剪力所在两个支座截面的中性轴上个支座截面的中性轴上E和和F点，通常略去约束力点，通常略去约束力产生的挤压应力而认为其产生的挤压应力而认为其处于处于纯剪切应力状态纯剪切应力状态 (shearing state of stress ) (图图f及图及图g)，从而其切应，从而其切应力强度条件是按纯剪切应力强度条件是按纯剪切应力状态建立的，即梁的切力状态建立的，即梁的切应力强度条件为应力强度条件为亦即亦即 max bISFzz*max,max,S式中，式中， 为材料在横力弯曲时的许用切应力。为材料在横力弯曲时的许用切应力。第第26页页/共共68页页第25页/共68页翼缘在腹板上：在腹板上

15、：bISFzz*S8)(822maxhbBBHbIFzS8822minhBBHbIFzSmaxminSSFF)97. 095. 0 (1bhFSbBhHy第第27页页/共共68页页第26页/共68页 在翼缘上，还有垂直于FS方向的剪应力分量，它与腹板上的剪应力比较，一般来说也是次要的。 腹板负担了截面上的绝大部分剪力，翼缘负担了截面上的大部分弯矩。*max*maxSmax/ZzSzzSIbFbISF对于标准工字钢梁：第第28页页/共共68页页第27页/共68页在翼板上：在翼板上：NlNll*dIANAF*d)d(d)(IIAzANAIyMMAF*dAzAIyM*dAzNAyIMFMISzz*x

16、FFNdNIIIdxdxbhHzzdyxMISzzdd*zzSISF*)2)(2*zbHS*IIddd*zzAzNSIMMAyIMMF第第29页页/共共68页页第28页/共68页AFSmax34bISFZzy*S最大剪应力：最大剪应力：z1.1.圆截面圆截面2.2.圆环截面圆环截面最大剪应力：最大剪应力：AFS2maxSFymax第第30页页/共共68页页第29页/共68页*maxmaxmaxbISFZZsCL8TU19q 20kN / m4mABd（第二个强度条件）（第二个强度条件）第第31页页/共共68页页第30页/共68页解：解：kN,40maxSFmaxmax MWzMqlmax284

17、0kN m由正应力强度条件：由正应力强度条件：6331016032/1040dp即得 d 137mm34maxmaxAFs623101004/104034dp即得d 261 . mm由剪应力强度条件：由剪应力强度条件：所以dmin 137mmq 20kN / m4 mABd-40kN-40kN40k40kN NmkN40第第32页页/共共68页页第31页/共68页1.求求 max 梁的剪力图如图梁的剪力图如图c所示，由图可见所示，由图可见FS,max=75kN。由型钢表查得由型钢表查得56a号工字钢截面的尺寸如图号工字钢截面的尺寸如图b所所示，示，Iz=65 586 cm4和和Iz/S * z

18、,max=47.73cm。d=12.5mm例题例题 4-13解解:第第33页页/共共68页页第32页/共68页 MPa6 .12Pa106 .12m105 .12m1073.47N10756323*max,max,S*max,max,Smax dSIFdISFzzzz 例题例题 4-13第第34页页/共共68页页第33页/共68页dISFzzaa*max,S 其中：其中：33*mm109402mm212mm560mm21mm166 zaS于是有：于是有： MPa6 . 8Pa106 . 8m105 .12m1065586m10940N10756348363 a 2. 求求 a例题例题 4-13

19、第第35页页/共共68页页第34页/共68页腹板上切应力沿高度的变化规律如图所示。腹板上切应力沿高度的变化规律如图所示。 max例题例题 4-13第第36页页/共共68页页第35页/共68页 一简易吊车的示意图如图一简易吊车的示意图如图a所示，其中所示，其中F=30 kN，跨长跨长 l=5 m。吊车大梁由。吊车大梁由20a号工字钢制成，许用弯号工字钢制成，许用弯曲正应力曲正应力 =170 MPa，许用切应力，许用切应力 =100 MPa。试校核梁的强度。试校核梁的强度。 例题例题 4-14第第37页页/共共68页页第36页/共68页1. 校核正应力强度。吊车梁可简化为简支梁校核正应力强度。吊车

20、梁可简化为简支梁(图图b)。 荷载移至跨中荷载移至跨中C截面处截面处(图图b)时梁的横截面上的时梁的横截面上的最大弯矩比荷载在任何其它位置都要大。荷载在此最大弯矩比荷载在任何其它位置都要大。荷载在此最不利荷载位置时的弯矩图如图最不利荷载位置时的弯矩图如图c所示，所示，mkN5 .374maxFlM例题例题 4-14解解:第第38页页/共共68页页第37页/共68页 由型钢规格表查得由型钢规格表查得20a号工字钢的号工字钢的Wz=237cm3。梁的最大弯曲正应力为梁的最大弯曲正应力为MPa158Pa10158m10237mN105 .376363maxmax zWM例题例题 4-14第第39页页

21、/共共68页页第38页/共68页mm7 ,cm2 .17*max, dSIzz2. 校核切应力强度。校核切应力强度。 荷载移至紧靠支座荷载移至紧靠支座A处处(图图d)时时梁的剪力为最大。此时的约束力梁的剪力为最大。此时的约束力FAF，相应的剪，相应的剪力图如图力图如图e所示。所示。FS,max=FA=30kN对于对于20a号钢，由型钢规格表查得：号钢，由型钢规格表查得：例题例题 4-14第第40页页/共共68页页第39页/共68页于是有于是有 MPa9 .24m107m102 .17N1030323*max,max,Smax dSIFzz由于梁的正应力和切应力强度条件均能满足，所以由于梁的正应

22、力和切应力强度条件均能满足，所以该梁是安全的。该梁是安全的。(e)例题例题 4-14第第41页页/共共68页页第40页/共68页 简支梁在移动荷载简支梁在移动荷载F作用下，全梁弯矩为最大时，作用下，全梁弯矩为最大时，F力的最不利位置，可用如上所述的由经验来判断。力的最不利位置，可用如上所述的由经验来判断。也可用公式推导，即也可用公式推导，即.2,0)2()()()()(1lxlxlFxxMxlxlFxFxMlxlFFAA得得，ddFAABFFBxl例题例题 4-14第第42页页/共共68页页第41页/共68页F解：叠梁承载时，每解：叠梁承载时，每梁都有自己的中性层梁都有自己的中性层1.1.梁的

23、最大正应力梁的最大正应力：WMmaxmax21其中其中：246)2(22bhhbW 2maxmax122bhFLWMFSF-FLMb2h2hL lbhF122第第43页页/共共68页页第42页/共68页b2h2h6/2maxmaxbhFLWMF62maxBhFL由正应力强度条件：由正应力强度条件：LbhF62可见，两梁结为一体后，承载能力提高一倍。可见，两梁结为一体后，承载能力提高一倍。3.求螺栓最小直径：求螺栓最小直径：螺栓主要是受剪螺栓主要是受剪zzbhFAFs2323max设梁达到了许用应力设梁达到了许用应力 F F 第第44页页/共共68页页第43页/共68页LhLbhbhbhF462

24、3232max中性轴处：中性轴处：全梁中性层上的剪力：全梁中性层上的剪力：4bhbLFs 由螺栓剪切强度条件：由螺栓剪切强度条件：4/4/ 2pdbhAFs螺螺可得：可得：pbhd minpbhd讨论：讨论：F Fs s 与何力平衡？与何力平衡？FSzhzhNIMbhybdyIMbdyF822020SNFbhhLPbhLbhPF423)12/(832第第45页页/共共68页页第44页/共68页maxmaxZWM设计梁的原则应使Mmax尽可能地小，使WZ尽可能地大。一一. . 合理的布置支座位置载荷和合理加载合理的布置支座位置载荷和合理加载1.合理布置支座位合理布置支座位置置M2125. 0ql

25、qlBCAMMM22221)2(8121qxxlqqxlx212 MqxxlACBlx207. 020214. 0ql20214. 0ql第第46页页/共共68页页第45页/共68页PM4/ lPl2l2P2/ la l2l22/ a2/ aaalACBPPPaPl41PaPl2141CL8TU23M8Pl第第47页页/共共68页页第46页/共68页 人单独通过，行至离沟边1米时，板最大弯矩达600N.m。两人过河，一个在右外伸端距支座为x1处，一个在桥上，行至x2处弯矩如图所示。弯矩最值欲通过，要求一人立于右外伸端离右支座为o.537-0.746间另一人可安全通过。通过的人立于左外伸端离左支

26、座为0.536-0.75之间后者再通过。o.536x10.746解得F FF FLxxLFRB/ )(21x2x1L LM1=Fx1， M2=F(L-x1-x2)x2/LM1M，M2M由此得03)4 (2122xxx使上式恒成立，则012)4 (21x由M1M得x1 0.75B支座反力：第第48页页/共共68页页第47页/共68页CL8TU20PhbzhbzW要大同时要大同时A要小，要小，W/A最大为好最大为好。 hbhbhAW167. 062dddAW125. 043223ppaaaAW167. 0623hAW31. 027. 0第第49页页/共共68页页第48页/共68页21maxmaxc

27、tctyyy1Pzy2C1 1）对于）对于 t t= = c c 的材料，可用与中性轴对称的的材料，可用与中性轴对称的截面，使截面上、下边缘截面，使截面上、下边缘tmaxtmax= = cmaxcmax2 2）对于）对于 t t c c 的材料，如铸铁的材料，如铸铁 t t c c ，宜用中性轴偏于受拉边的截面。，宜用中性轴偏于受拉边的截面。第第50页页/共共68页页第49页/共68页)()(maxxWxM即：例如：矩形截面梁，跨中例如：矩形截面梁，跨中C C处处受集中力受集中力P,P,截面高截面高h h为常数，为常数，宽度宽度b b可变化，可变化，b=bb=b（x x）, ,求求b b（x

28、x）时，称为等强度梁。P2/P2 / PLABCxb(x)b(x)min研究半梁研究半梁ACACxpxM2)(2)(61)(hxbxW由等强度条件：由等强度条件：)()(maxxWxM 2)(61)(2PxhxbxW23)(hPxxb第第51页页/共共68页页第50页/共68页对于矩形截面：对于矩形截面：2/2323maxmaxbhPAFShPxb 43)(hPxb 43)(min即：同理：若同理：若b b为常量，高度为常量，高度h=h(x)h=h(x) 2)(61)(2PxxbhxWbPxxh3)(抛物线抛物线由剪切强度条件由剪切强度条件：bPxh 43)(minmin)(xh)(xh鱼腹梁鱼腹梁2/2323maxmaxbhPAFSP2/P2 / PLABCx第第52页页/共共68页页第51页/共68页前面讨论的平面弯曲，仅限于梁至少有一个纵向对称面，外力均作用在该对称面内且垂直于轴线。对于非对称截面梁。横截面上有一对形心主惯性轴y、z，形心主惯性轴y、z与轴线x组成两个形心主惯性平面xOy、xOz形心主惯性平面y、z轴为形心主惯性轴第第53页页/共共68页页第52页/共68页对于开口薄壁截面梁，即使横向力作用于形心主惯性平面内(非对称平面)