华科传热学2003

1、2021-12-141主讲：刘志春主讲：刘志春能源与动力工程学院能源与动力工程学院华中科技大学华中科技大学2021-12-142 3-1 非稳态导热过程非稳态导热过程3-2 集总参数法集总参数法3-3 一维非稳态导热的分析解一维非稳态导热的分析解3-4 半无限大物体的非稳态导热半无限大物体的非稳态导热 3-5 二维及三维非稳态导热二维及三维非稳态导热2021-12-1433-1非稳态导热过程非稳态导热过程非稳态导热：周期性和非周期性非稳态导热：周期性和非周期性两个阶段：非正规状况阶段（初始状况阶两个阶段：非正规状况阶段（初始状况阶段）、正规状况阶段段）、正规状况阶段边界条件对温度分布的影响边界

2、条件对温度分布的影响傅里叶数、毕渥数的表达式和物理意义傅里叶数、毕渥数的表达式和物理意义2021-12-1442021-12-1453-2 集总参数法集总参数法集总参数系统定义、特征集总参数系统定义、特征能量守恒能量守恒温度分布温度分布3-3 一维非稳态导热的分析解一维非稳态导热的分析解求解思路：建立导热微分方程式，求解思路：建立导热微分方程式， 引进过引进过余温度将非齐次方程组化为齐次方程，采余温度将非齐次方程组化为齐次方程，采用分离变量法求解温度表达式。用分离变量法求解温度表达式。2021-12-146厨师吹肉丝厨师吹肉丝一厨师在炒鸡肉丝时要品尝一下一厨师在炒鸡肉丝时要品尝一下咸淡，于是他

3、从咸淡，于是他从100的热炒锅的热炒锅中取出一鸡肉丝，用口吹了一会，中取出一鸡肉丝，用口吹了一会，待其降至待其降至65时再放入口中。试时再放入口中。试估算厨师需要吹多长时间？估算厨师需要吹多长时间？出锅时鸡肉丝可视为平均直径为出锅时鸡肉丝可视为平均直径为2mm的圆条，的圆条，厨师口中吹出的气流温度为厨师口中吹出的气流温度为30，其与鸡肉，其与鸡肉丝之间的表面传热系数为丝之间的表面传热系数为100W/m2K，鸡肉，鸡肉丝的丝的 = 810 kg/m3，c = 3.35kJ/(kg)， = 1.1 W/(m K)。2021-12-147解：首先检验是否可用集总参数法。为此计解：首先检验是否可用集总

4、参数法。为此计算算BiV，故可以采用集总参数法。故可以采用集总参数法。05. 0045. 02)2()/(2hrrllrhAVhBiv10705. 02srchcVhA5 . 01003010065tttto)0705. 0exp(5 . 0s83. 92021-12-148 半无限大物体概念半无限大物体概念在在x = 0的边界有边界条件，物体可以向的边界有边界条件，物体可以向x正方正方向及向及y， z方向无限延伸。方向无限延伸。在一定的时间内，边界面处的温度扰动只能在一定的时间内，边界面处的温度扰动只能传播到有限深度，在此深度以外，物体仍保传播到有限深度，在此深度以外，物体仍保持原有状态（初

5、始状态）。于是，在此时间持原有状态（初始状态）。于是，在此时间内，可以把物体视为半无限大。内，可以把物体视为半无限大。2021-12-149很多实际的物体在加热或冷却过程的初期很多实际的物体在加热或冷却过程的初期都可以视为是一个半无限大固体的非稳态都可以视为是一个半无限大固体的非稳态导热过程。导热过程。半无限大物体求解半无限大物体求解1)数学描述：数学描述：ox2021-12-1410一半无限大物体，初始温度为一半无限大物体，初始温度为t0（均匀），在（均匀），在 = 0时刻，时刻，x = 0的表面温度突然升高到的表面温度突然升高到tw并保持并保持不变，要确定物体内部温度场。：不变，要确定物体

6、内部温度场。：这一问题的数学描写为：这一问题的数学描写为：22xtat:00)0 ,(txt:0 xwtxt),(:x0),(txtx0 0t0tw2021-12-1411该微分方程的初、边值问该微分方程的初、边值问题可以用拉普拉斯变换求题可以用拉普拉斯变换求解，得到这一问题的分析解，得到这一问题的分析解为：解为： x0 0t0twdttttaxww20200)exp(2)erf(2erfaxax2是无量纲变量；是无量纲变量；erf( )称为误差函数。称为误差函数。 2021-12-141222axx处的温度仍为处的温度仍为t0，由此得两个重要参数；，由此得两个重要参数；（1）几何位置：）几何

7、位置：如果如果 ，则，则 时刻时刻x处的温度可认为仍处的温度可认为仍为初始温度为初始温度t0 。 ax4对解的讨论对解的讨论1）当）当 = 2时，时，erf( ) = 0.9953, 得得 / 0 = 0.9953，故，故当当 2时，即时，即:2021-12-1413对初始温度均匀的厚度为对初始温度均匀的厚度为2 的平板，当一个侧面的温的平板，当一个侧面的温度突然变化到另一个温度时，度突然变化到另一个温度时，若若a4则在时刻则在时刻 之前平板可采用半无之前平板可采用半无限大模型。限大模型。（2）如果时间）如果时间 x2/(16a)，则此时，则此时x处的处的温度可认为完全不变，仍然是温度可认为完

8、全不变，仍然是t0， 故故x2/(16a)称为惰性时间。称为惰性时间。2021-12-14142) 热流密度热流密度任一时刻、任一点处的热流密度为：任一时刻、任一点处的热流密度为： )(erf)(0 xttxtqwx)4/(02axweatt表面表面x = 0处的热流密度为：处的热流密度为： attqww0在在0, 时间内流过面积为时间内流过面积为A的表面的总热量为：的表面的总热量为： dattAdqAQww000)()(20ttcAwc称为吸热系数，代表物体的吸热能力。称为吸热系数，代表物体的吸热能力。2021-12-14153）对有限大小的物体，半无限大的概念一般）对有限大小的物体，半无限

9、大的概念一般只适用与非导热的初始阶段，当物体表面的热只适用与非导热的初始阶段，当物体表面的热扰动已深入物体内部时需要用节点方法。扰动已深入物体内部时需要用节点方法。4）对无限大物体：不存在正规热状况阶段）对无限大物体：不存在正规热状况阶段 2021-12-1416例题：在初始时处于均一温度例题：在初始时处于均一温度Ti=5 的湿土的湿土（a=7.7510-7m2/s） 中埋一根水管，如果地中埋一根水管，如果地表温度突然降到表温度突然降到-20 并将维持并将维持10小时，那么小时，那么管子要埋多深才能确保在此期间它周围的土壤管子要埋多深才能确保在此期间它周围的土壤温度在温度在2 以上？以上？解解

10、:把土壤视作半无限大物体进行求解，临界把土壤视作半无限大物体进行求解，临界深度处的温度应该在深度处的温度应该在10小时后恰好降低到小时后恰好降低到2 ，所以所以)2( 88. 0)20(5)20(200axerfttttww2021-12-1417查图知查图知所以所以1 . 12axmhshsmx37. 0 /360010/1075. 71 . 12/1272021-12-1418应用海斯勒线算图可以求出厚度为应用海斯勒线算图可以求出厚度为2 的大的大平板、半径为平板、半径为R的无限长圆柱体、及半径为的无限长圆柱体、及半径为R的球体的温度分布和传导的热量。的球体的温度分布和传导的热量。 对非一

11、维非稳态导热问题，我们能不能利对非一维非稳态导热问题，我们能不能利用上面的一维非稳态导热线算图来进行求用上面的一维非稳态导热线算图来进行求解呢？解呢？ 用一个无限长矩形柱为例来回答这一问题。用一个无限长矩形柱为例来回答这一问题。 2021-12-1419设无限长方柱体设无限长方柱体2 1 2 2, 初始温度为初始温度为t0，过程开，过程开始时至于始时至于t 的流体中，的流体中，h已知，由对称性可只考已知，由对称性可只考虑虑1/4，微分方程及定解条件为：，微分方程及定解条件为： 2222yxa00tttt无量纲过余温度无量纲过余温度2 1xy2 22021-12-14202222yxa初始条件：

12、初始条件：1)0 ,(yx边界条件：边界条件：0),(),(11xxyxhy0),(),(22xyyxhx0),(0 xxyx0),(0yyyx00tttt0 xy21222021-12-1421现考虑两无限大平板，厚度分别为现考虑两无限大平板，厚度分别为2 1及及2 2，定解条件与方柱体相同，若无量纲过余温度分定解条件与方柱体相同，若无量纲过余温度分别为别为 x(x, )及及 y(y, )，那么它们必须满足各自，那么它们必须满足各自的微分方程及定解条件，即的微分方程及定解条件，即对对 x： 对对 y： 22xaxx1)0 ,(xx0),(0 xxxx初始条件：初始条件：边界条件：边界条件：0

13、),(),(11xxxxxh22yayy1)0 ,(yy0),(0yyyy初始条件：初始条件：边界条件：边界条件：0),(),(22xyyyyh2021-12-1422可以证明上二解的乘积就是无限长方柱体的可以证明上二解的乘积就是无限长方柱体的解：解： ),(),(),(yxyxyx先证明其满足微分方程：先证明其满足微分方程：xyyxyx)(2222xayaxyyx2222)()(yxayxyx2222yxa2021-12-1423再证明其满足初始条件：再证明其满足初始条件：111)0 ,()0 ,()0 ,(yxyxyx再证明它也满足边界条件：再证明它也满足边界条件：0),(),(11xxy

14、xhy1),(),(),(),(1xxyyxxxyhy左边左边1),(),(),(1xxxyxxhy00),(yy2021-12-1424再证明它满足边界条件：再证明它满足边界条件：0),(0 xxyx0),(),(xxyxxy左边右边 0同样可证明它也满足边界条件：同样可证明它也满足边界条件：0),(),(22xyyxhx0),(0yyyx故已证明：故已证明：),(),(),(yxyxyx确定是无限长方柱体导热微分方程的解。确定是无限长方柱体导热微分方程的解。2021-12-1425同理，可以证明：对于短圆柱体、短方柱体等同理，可以证明：对于短圆柱体、短方柱体等二维、三维的非稳态导热问题，都

15、可以用二个二维、三维的非稳态导热问题，都可以用二个或三个一维问题的解的乘积来表示其中的温度或三个一维问题的解的乘积来表示其中的温度分布。分布。 书中书中P73图图3-21表示了表示了6种情况。种情况。2021-12-1426一个二维非稳态导热问题的解可以用两个导一个二维非稳态导热问题的解可以用两个导热方向相互垂直的一维非稳态导热问题解的热方向相互垂直的一维非稳态导热问题解的乘积来表示。乘积来表示。22 2yx021 1例如：例如：1.矩形截面的长棱柱矩形截面的长棱柱（正四棱柱）：可由两个（正四棱柱）：可由两个大平板正交构成，因而温大平板正交构成，因而温度分布为两个大平板对应度分布为两个大平板对

16、应的温度分布的乘积的温度分布的乘积 20100pp2021-12-1427yzx2.矩形块体矩形块体(立方体立方体) 可由三个大可由三个大平板正交构成，因而温度分布为平板正交构成，因而温度分布为三个大平板对应的温度分布的乘三个大平板对应的温度分布的乘积积 3020100ppp2021-12-14282xrR03.短圆柱体可由一个长圆柱短圆柱体可由一个长圆柱体和一个大平板正交构成，体和一个大平板正交构成，因而温度分布为一个长圆柱因而温度分布为一个长圆柱体和一个大平板对应的温度体和一个大平板对应的温度分布的乘积分布的乘积 cp01002021-12-1429rx04.半长圆柱体可由一个长圆柱体半长

17、圆柱体可由一个长圆柱体和一个半无限大固体正交构成，和一个半无限大固体正交构成，因而温度分布为一个长圆柱体和因而温度分布为一个长圆柱体和一个半无限大固体对应的温度分一个半无限大固体对应的温度分布的乘积布的乘积 sc000需要强调的是，我们要确定某一点的温度时，需要强调的是，我们要确定某一点的温度时，一定要首先确定该点在对应的几个一维空间一定要首先确定该点在对应的几个一维空间上的位置，再去确定相应的一维温度值，最上的位置，再去确定相应的一维温度值，最终乘积得出物体在该点的温度值。终乘积得出物体在该点的温度值。 2021-12-1430例题：一个长例题：一个长63.5mm，直径为，直径为50.8mm

18、的低的低碳钢圆柱体，初始温度为碳钢圆柱体，初始温度为648.89 ，将其置，将其置于于93.33 的液体中淬火，的液体中淬火，h=851.7W/m2K，a=0.427m2/h。试确定淬火。试确定淬火2.7分钟后的圆柱分钟后的圆柱体中心的温度。体中心的温度。解：先检验集总参数法是否适用解：先检验集总参数法是否适用可见集总参数法不适用。可见集总参数法不适用。mmRRllRAVL07. 9222218. 0431007. 97 .8513hLBi2021-12-1431本题示意图如右。轴向导热可以将圆柱设想本题示意图如右。轴向导热可以将圆柱设想成一个厚为成一个厚为l（圆柱体长度）、（圆柱体长度）、y和和z方向为无方向为无限大平板的导热过程，径向导热可视作半径限大平板的导热过程，径向导热可视作半径为为r的无限长圆柱。的无限长圆柱。无限长圆柱无限长圆柱查图得查图得l98. 22RaFo0 . 21hRBi079. 0inf0cylc2021-12-1432无限大平板无限大平板查图得