品质统计原理——统计检定

1、授课目录第1章导论第2章统计资料的整理与描述第3章机率导论第4章常用的机率分配与统计分布第5章描样方法与描样分布第6章统计估计第7章统计检定第8章变异数分析第9章相关分析与回归模式第 10章 无母数统计检定第 11章 类别资料分析 - 列联表与卡方检定第七章 统计检定未经检定 (Testing) ，仅能称为假设。实验验检真理 统 计检定是利用样本统计式，对已提出的母体参数或特徵，进行统计程序的检定，以决定是否接受先前提出的母体参数或特徵论点。此种统计程序过程又称之 为的假设检定 (Testing Hypothesis) 。 假 设检定与区间估计是推论统计之主体。 倘无根据之理论与以前的研究，

2、即无所谓之假设检定。无根据之理论与以前的研究，即随意进行假设检定，实是假设检定之滥用，此时宜作区间估计而不是假设检定。总言之，要进行假设检定，先问问此假设从何 而来。范例、倘系学会宣称， 本系学生每周平均看书时间为23hrs ，怀疑者进行随机抽样，欲以实际的资料验证与驳 斥此宣称 ，然资料显示怀疑者是 不能驳斥此宣称 ，因为， 该系学生每周平均看书时间为 23 hrs 的确在 95%信赖 区间 21-25 hrs 之内。倘系学会宣称， 本 系 学 生 每 周 平 均 看 书 时 间 为 30 hrs ，然资料显示怀疑者 能驳斥此宣称 ，因为， 该系学生每周平均看书时间为 30 hrs 不在 9

3、5%信赖区 间 21-25 hrs 之内。 此过程称之为假设检定 统计检定的概念一般而言，统计假设包括事先假设 H0(Null Hypothesis) 与 对 立 假 设 H1(AlternativeHypothesis) 。 检 定 统 计 式(Testing Statistics)就是用来检验统计假设的度量工具 。在显着水准 a 下 (0 a 1) ，检定统计式将母体分为两 个 区 域 ： 接 受 区 域 (Acceptance Region) 与 拒 绝 区 域 (Rejection Region) 。 此 两 区 域 的 分 界 点 称 为 临 界 值 (Critical Value)

4、 ，通常以 Ca 表示 ( 若母体为常态分布则以检定统计系利用适合的检定统计式， 在显着水准 a 下，对统计假设进行统计程序之检验。 此统计检验的过程又称为假设检定。其程序如下：模糊语句或思想确定问题与统计假设 （H0、 H1）决定 a 并由检定统选定检定统计式 T 与样本数 n计式 T 的机率分布 统计检定找出拒绝区域 Ra法其则值，若该值落於 Ra则拒绝 H0 假决策法则样本资料代入检定统计式计算以拒绝域作为判定之准则范例、 老板欲知公司正研发的手机是否较Motorola 手机好，如 品质没有比 Motorola 来得差，则考虑量产上市 。 因此各随机抽取 10 部，比较其通话品质。 （

5、为方便，以 通话品质为品质指标 ） 。计算结果，在 95%的信心下，二 牌子手机品质的母体平均值的差异介於 , ，由於 此区 间包含着 0 （ 即无差异 ） ，那麽就不能说此二牌子手机品质的有差异 。老板会很高兴， 也许会将公司此新产品上 市。 此即以事实作决策也 建立统计假设模糊语句或思想， 转换为确定问题的陈述， 并建构统计假 设，如：某型汽车轮胎平均寿命的国际标准为40 km，则事先假设 H0： m = 40对立假设 H1： m 1 40 ( 互斥的集合 ) 一般统计假设被设立成立以下三种类型： ( 以上述为例 )(a) 双边检定事先假设 H0： m = 40 ；对立假设 H1： m 1

6、 40(b) 左边检定 ( 以拒绝域作为判定之准则 )事先假设 H0： m 3 40 ；对立假设 H1： m < 40(c) 右边检定事先假设 H0：m 40 ；对立假设 H1：m > 40决定拒绝域模糊语句或思想， 转换为确定问题的陈述， 并建构统计假设，与选取适当的检定统计式，再根据显着水准a，并找出拒绝区域 Ra。因 统计检定是一种决策法则 ，用来决定是否要拒绝事先假设，而这项法则便是 以拒绝域作为判定的准则 型 I 误差与型 II 误差由检定统计式根据显着水准找出拒绝域後， 最後即将随机 样本值代入检定统计式中求算。但进行假定检定时，由於机 率的关系，会产生二种错误的决策：

7、 (一般设为 a= 5%) a= P(Type I Error) = P (Reject H0|True H 0)Ex：事先假设 H0：m = 40 ；对立假设 H1：m 1 40a= P(Type I Error) = P (Reject m = 40 | True m = 40) b = P(Type II Error) = P(Accept H0| False H 0)= P(Accept H 0| True H 1)b = P(Type II Error) = P(Accept m = 40| False m =40)= P(Accept m = 40| True m 1 40)定义检

8、定力 (Power) 为 ：Power = 1- b = P (Reject H0| False H 0)= P (Reject H 0| True H 1)检定力是评量统计检定优劣的量值，检定力愈大，表示此统计检定的效率愈佳。倘有多个统计式存在，采 同一显着水准，则检定力之大小，可从中找出最佳的 检定统计式。 显着水准 a 可视为可能发生的错误机率或所能 接受的错误机率 。统计检定亦可视为抽样结果与统计假设H0 比较，以判决抽样结果是被接受或拒绝 。母体平均值 m之检定常态母体平均值 m之假设检定对母体 (m, s 2)的平均值 m进行假设检定。因为 样本平均 值 x 为母体平均值 m之最佳

9、点估计式，所以 m值之检定可透 过统计量 x进行 ，然在小样本 (n < 30) 情况下，由於受到变 异数已知与否的影响，须分 2 种情况处理。(a) 变 异 数 已 知 ： 检 定 m 用 Z 检 定 式 进 行 检 定 : Z=( x -m)/(s/n 1/2 )统计假设决策法则双边检定：If Z < -Z a/2 or Z > Z a/2 ,H0: m = m 0, H 1: m 1 m 0then Reject H 0左边检定：If Z < -Z a , then RejectH0: m 3 m 0, H 1: m < m 0H0右边检定：If Z >

10、; Za , then Reject H0H0: m m0, H 1: m >m0(b) 变 异 数 未 知 ： 检 定 m 用 t 检 定 式 进 行 检 定:t n-1=( x -m)/(S/n 1/2)统计假设决策法则双边检定：H0: m = m 0, H 1: m 1 m 0If t < -ta/2,n-1 or t >t a/2,n-1 , then Reject H 0左边检定：H0: m 3 m 0, H 1: m < m 0If t < -t a,n-1 , then RejectH0右边检定：H0: m m0, H 1: m >m0If t

11、 > t a,n-1 , then RejectH0范例、致远管理学院假设预算报告指出，A 栋宿舍每月用电费为 24 万。为了了解此预算之合适度，该校随机抽取 10 与 A栋相似之宿舍，求得其每月用电费平均为 22 万， 假设每月用电费为为常态分布，且已知 s= 6，则在显着 水准 a = 时，试问此项预算合理乎令 m为 A 栋宿舍平均每月用电费。(1) 建立统计假设H0： m = m0 , H 1： m 1 m0 TT H0： m = 24 , H 1：m 1 24(2) 样本来自常态分布，且已知 s= 6 ，故采用 Z检定(3) 应用双边检定，检定临界值 = ±(4) 样本

12、统计量为Z=( x -m)/(s/n 1/2 )=(22-24)/(6/101/2)= >Accept H 0 TTA 栋宿舍每月用电费为 24 万预算是合理的。 范例、某校规定所有教师每年平均出差不超过8 天，董事会为了解此项规定执行情形，於是在去年所有教师中随机 抽取 15 位进行调查，发现平均出差天数 10，假设该校 所有教师每年出差为 N(8,4) ，则在显着水准 a = 时，试 问此项规定，校方是否依规定执行令 m 为所有教师每年平均出差天数。(1) 建立统计假设H0：m m0 , H 1：m > m0 TT H0：m 8, H 1：m >8(2) 样本来自常态分布

13、，且已知 s= 2 ，故采用 Z检定(3) 应用右边检定，检定临界值 =(4) 样本统计量为RejectZ=( x -m)/(s/n 1/2 )=(10-8)/(2/151/2)= >Reject H 0TT此项规定校方未依规定执行。范例、某公司宣称它们每日生产之超大珍珠奶茶为 N(3600, s2)，s2 未知。其经理发现最近有减产现象，为实际了解 平均每日产量， 於是自每日产量记录中随机抽取 20 天进 行调查，发现平均产量 3500 杯，标准差为 180 杯，则在 显着水准 a = 时，试问该公司生产之超大珍珠奶茶最近是否有减产现象SOL：令 m 为该公司生产之超大珍珠奶茶每日平均

14、产量(1) 建立统计假设H0：m 3 m0 , H 1：m < m0 TT H0： m 3 3600 , H 1： m < 3600(2) 样本来自常态分布，且 s 未知，故采用 t 检定(3) 应用左边检定，检定临界值 2,19 =(4) 样本统计量为1/2)=t n-1=( x -m)/(S/n 1/2)= (3500-3600)/(180/20Reject H 0TT该公司生产之超大珍珠奶茶最近是有减产现象。两个常态母体平均值差之假设检定假设两样本平均值 x1与 x 2分别来自两母体 N(m1, s 12) 、 N(m2, s 22) ，由上节知 x1- x2 为 m1-m2

15、 之最佳点估计式，所以 m1-m2的检定可透过统计量 x1- x2 来进行。(a) 两变异数已知，两平均值是否相等的 Z 检定式2 2 1/2Z=( x1- x 2 )-(m 1-m2)/( s 12/n 1)+( s 22/n 2) 1/2统计假设决策法则双边检定：If Z< -Z a/2 or Z >Z a/2 ,t n1 n2 2(x1 x2) ( 1 2 )Spn11n2其中假设2 2 2 s1 = s 2 = s ，左边检定：If Z< -Z a , then Reject H 0H0: m 13m2, H 1: m 1<m2右边检定：If Z >Z a

16、 , then Reject H0H0: m 1m2, H 1: m 1>m2H0: m 1=m2, H 1: m 11m2then Reject H 0(b) 两变异数未知，两平均值是否相等的 t 检定式统计假设决策法则双边检定：If t< -t a/2,n-1 or t >t a/2,n-1 ,H0: m 1=m2, H 1: m 11m2then Reject H 0左边检定：If t< -t a,n-1 , then Reject H0H0: m 13m2, H 1: m 1<m2右边检定：If t >t a,n-1 , then Reject H

17、0共同 (Common)变异数 Sp(n1 1)S12 (n2 1)S22n1 n2 2H0: m 1m2, H 1: m 1>m2范例、甲公司广告宣称它们的婴儿奶粉较乙公司的产品好， 此谓好是指婴儿食用甲公司的奶粉， 体重明显增加较快。 消基会为查证甲公司为此广告是否夸大其词，随机抽取 10 位甫出生的健康宝宝，其中 5 位喂食甲公司的奶粉， 另 5 位喂食乙公司的奶粉，经过 2 周後观察每位婴儿体 重增加值如下： ( 单位：盎司 )婴儿12345甲公司的奶粉3224302927乙公司的奶粉3036283740假设 2 周内婴儿体重上升服从常态分布， 试问 (a) 已知食 用甲公司的奶

18、粉体重上升变异数为 11，而食用乙公司的 奶粉体重上升变异数为 9，则在显着水准 a = 时，试问 甲公司广告之声称是否正确 (b) 若 s12= s22= s2，但 s 未知， 则在显着水准 a = 时，试问甲公司广告之声称是否正确 SOL：令食用甲公司的奶粉与乙公司的奶粉体重增加的平均值分别为 m1, m 2。(a)(1) 建立统计假设H0: m 13m2, H 1: m 1<m2T H0: m 1-m230, H 1: m 1-m2<0(2) 样本来自常态分布，且 s12=11，s22= 9，故采 Z检定(3) 应用左边检定，检定临界值 =(4) 样本统计量为2 2 1/2Z

19、=( x1- x 2 )-(m 1-m2)/(s 12/n 1)+(s 22/n 2) 1/2= <Reject H 0TT(b)(1) 建立统计假设H0: m 13m2, H 1: m 1<m2T H0: m 1-m230, H 1: m 1-m2<0(2) 样本来自常态分布，且若 s12= s22= s2，但 s 未知，故 采 t 检定(3) 应用左边检定，检定临界值 ,8 =(4) 共变异数 S (n1 1)S1 (n2 1)S2 8.9n1 n2 2Reject H 0 TT非常态母体平均值之假设检定 （ 大样本时 ）上述系讨论常态母体平均值及平均值差的检定方法。 若

20、样本非来自常态分布母体，则可根据中央极限定理，当样本数n 够大时，上述检定统计式照样可以使用。范例、高速公路关西休息站宣称：尽管实施周休 2 日，假日 820 时平均每小时维持 6 部游览车进入，且服从卜氏分 布。池上便当连锁店观察由於周休 2 日关系，假日游览 车进入关西休息站的车数似乎有增加的趋势。为了验证发现平均每小时有 7 部游览车进入，标准差为 3，试问 在显着水准 a = 时，周休 2 日後，假日游览车进入关西 休息站的车数似乎有增加的趋势SOL：令 m为假日游览车平均每小时进入关西休息站的车数。(2) 建立统计假设H0: m m0, H 1: m > m0 TT H0: m

21、 6, H 1: m > 6(2) 样本来自卜氏分布，因大样本故采用 Z 检定(3) 应用右边检定，检定临界值 =(4) 样本统计量为Z=( x -m)/(s/n 1/2 )=(7-6)/(3/36 1/2)= 2 >Reject H 0TT拒绝关西休息站平均每小时维持 6 部游览车进入的说法，当实施周休 2 日，假日 820 时母体变异数之假设检定常态母体 N(m, s 2) 中的变异数 s2 进行假设检定，可由样 本变异数 S2 来进行。其检定式为：c2n-1=(n-1)S 2/s 2统计假设决策法则双边检定：2 2 2 2 If c > c 1-a/2,n-1 or c

22、 < c 1-a/2,n-1 ,2 2 2 2 H0: s = s 0, H 1: s 1s 0then Reject H 0左边检定：2 2If c < c 1-a,n-1 , then Reject H02 2 2 2 H0: s 3 s 0, H 1: s < s 0右边检定：2 2If c > c 1-a,n-1 , then Reject H 02 2 2 2 H0: s s 0, H 1: s > s 0两个常态母体变异数之假设检定两常态母体的变异数 s12, s 22 进行假设检定，可由样本变异数 S12, S 22来进行。其检定式为 (检定 s12

23、, s 22是否相等 ) ：Fn11,n2 1=(S12/s 12)/(S 22/s 22)= (S 12/S 22)统计假设决策法则双边检定：If F >F/2,n1 1,n2 1 or F<F1 /2,n1 1,n2 1H0: s 12=s22, H 1: s 121s22then Reject H 0左边检定：If F<F1 ,n1 1,n2 1 , then Reject H02 2 2 2 H0: s 1 3s2 , H 1: s 1 <s2右边检定：If F >F,n1 1,n2 1 , then Reject H02 2 2 2 H0: s 1 s2

24、 , H 1: s 1 >s2范例、存量管制中，有一主要的考量因素是产品每日需求量 的变异程度。 A 公司存管人员根据经验相信其产品每日 需求量呈常态分布、且变异数为250。兹由存量记录随机抽取 25 天，得其平均值为、样本变异数为 500，试问 在显着水准 a = 时，是否有足够证据说明该公司存管人 员的经验想法是对的SOL：令 s2 为产品每日需求量的变异程度。(1) 建立统计假设H0: s 2= s 02, H 1: s 21s02TT H0: s 2=250, H 1: s 21250(2) 因样本来自常态分布，故采用 c2 检定(3) 应用右边检定，检定临界值 ,24= , ,

25、24 =(4) 样本统计量为c2n-1=(n-1)S 2/s 2= (24)(500)/250= 48 >Reject H 0TT A 公司存管人员经验是不正确的。范例、花旗银行成长基金欲比较 2 种投资 （A、B） 之风险，假 设各投资 1 千万在 2 种投资方案上，并预测其每月盈收 如下 （单位：万元 ）A12625-5186-310915B180-153225-2037-15若每月报酬率是常态分布，试问在显着水准a = 时， A种投资风险是否较 B 种投资风险高SOL：(1) 建立统计假设2 2 2 2H0: s 1 3 s 2 , H 1: s 1 < s 2(2) 因样本

26、来自常态分布，故采用 F 检定(3) 应用右边检定，检定临界值 ,9,7 =(4) 样本统计量为Fn11,n2 1= (S 1 /S2 )= = <Reject H 0TT A 种投资风险不较 B 种投资风险高母体比例之假设检定欲对(二项分布 )母体比例 p 进行假设检定， 兹样本比例 p? 为母体比例 p的最佳估计式。故母体比例 p 之检定式：Z=( p?- p)/ p(1- p)/n 1/2( p?= x/n)统计假设决策法则双边检定：If Z< -Z a/2 or Z >Z a/2 ,H0: p = p0, H 1: p 1 p0then Reject H 0左边检定：

27、If Z< -Z a , then Reject H 0H0: p 3 p0, H 1: p < p0右边检定：H0: p p0, H1: p > p0If Z >Z a , then Reject H0两二项分布母体比例差之假设检定欲比较两个二项分布母体比例 p1 , p2是否相等时，可对 其比例差 p1-p2 进行假设检定，兹样本比值 p?1, p?2为两母体比 例 p1 , p2 的最佳估计式。故母体比例差 p1-p2 之检定式：1/2Z = ( p?1 - p?2 )-(p 1-p 2)/ p?1(1- p?1 )/n 1+p?2(1- p?2 )/n 2p?1

28、=x1/n 1, p?2 =x2/n 2)统计假设决策法则双边检定：If Z< -Z a/2 or Z >Z a/2 ,H0: p1= p2, H 1: p1 1 p2then Reject H 0左边检定：If Z< -Z a , then Reject H 0H0: p13 p2, H 1: p1 < p2右边检定：If Z >Z a , then Reject H0H0: p1 p2, H1: p1 > p2范例、致远管理学院最近买进一批课桌椅，卖方保证不合格率在 5%以下，送货时该校负责人随机取144 张检验，发现有 12 张不合格。在显着水准 a

29、= 时，是否接受不合格率在 5%以下之保证SOL：令 p 为课桌椅不合格率。(1) 建立统计假设H0: p p0, H 1: p > p0TT H0:(2) 因大样本故采用 Z 检定(3) 应用右边检定，检定临界值 =(4) 样本统计量为 p?=x/n=12/144=TT Z=( p?- p)/ p(1- p)/n 1/2=>Reject H 0TT拒绝卖方保证其课桌椅不合格率在p , H 1: p >5%以下之宣称范例、致远管理学院去年举办 2 次教师甄试，第 1 次有 98 位报名，录取 54 位；第 2 次有 142 位报名，录取 91 位。在显着水准 a = 时，试问

30、 2 次教师甄试录取率是否相同SOL： 令 2 次教师甄试录取的比例为 p1 , p2。(1) 建立统计假设H0: p1= p2, H 1: p1 1 p2(2) 因大样本故采用 Z 检定(3) 应用双边检定，检定临界值 =(4) 样本统计量为p?1 =x1/n 1= 54/98,p?2 =x2/n 2= 91/142,1/2Z = ( p?1- p?2)-(p 1-p 2)/ p?1 (1- p?1 )/n 1+ p?2 (1- p?2 )/n 2 1/2 =< Accept H 0TT致远去年举办 2 次教师甄试的录取率是相同的。习题一1. 假设依规定标准拔河绳子的平均抗张力强度应为

31、 10000 kg 以上。兹运 动会安检人员对新出产的一批拔河绳子，进行随机抽验 25 个样本，得 其平均值为 9850 kg。若拔河绳子的抗张力强度服从常态母体，且母体 标准差为 600，试问在显着水准 a = 时，是否同意此新出产的一批拔河 绳子抗张力强度合乎标准1/2 1/2Z=( x -m)/(s/n 1/2) = (9850-10000)/(600/(25)1/2) = >Accept H 0TT同意此新出产的拔河绳子抗张力强度合乎标准。2. A公司宣称其所制造的电池可使用超过 300 个小时。消基会人员随机抽 最 12 个电池检检，得到以下资料： 290、331、 329、3

32、64、332、333、 346、356、352、272、316、347。假设电池可使用期限是服从常态母体， 且母体标准差未知，试问在显着水准 a = 时，是否相信 A公司的宣称 1/2 1/2t=( x -m)/(S/n 1/2) = /(12) 1/2) = >Accept H 0TT同意宣称此电池可使用超过 300 个小时。3. 工管系统计学暑期训练营宣称：经过该营训练出的学生，平均解一题 统计题目所须时间为 3分钟。校方欲证实此事， 於是抽查 9 位该训练营 学生测试解题， 得资料如下：、，假设解一题统计题目所须时间 为常态分配，且变异数未知，试问在显着水准 a = 时，是否相信该

33、营： 经过该营训练出的学生， 平均解一题统计题目所须时间为 3 分钟的宣称 t=( x -m)/(S/n 1/2 ) = /(10) 1/2 ) = 於 ± 间Accept H0TT 同意经过该营训练出的学生，平均解一题统计题目所 须时间为 3 分钟的宣称。4. 住乡下的人会比住都市的人长寿工管系欲探讨这个问题，於是从麻豆 镇与台南市去年老人 (65 岁以上 )的死亡资料中， 各随机抽取 10名统计 如下表。假设老人 (65 岁以上 )的死亡年龄为常态分布，且变异数相等， 试问在显着水准 a = 时，住乡下且 65 岁以上 (以麻豆镇为代表 )的人会 比住都市的人 (以台南市为代表 ) 平均寿命长麻豆镇78726888836792807586台南市7670749485