误差理论与测量平差基础习题集2

1、第五章条件平差§5-1条件平差原理5.1.01 条件平差中求解的未知量是什么?能否由条件方程直接求得5. 1. 02 设某一平差问题的观测个数为n.必要观测数为t，若按条件平差法进行平差，其条件方程、法方程及改正数方程的个数各为多少?5. 1.03 试用符号写出按条件平差法平差时，单一附合水准路线中(如图5-1所示)各观测值平差值的表达式。图5-15. 1. 04 在图5-2中，已知A ,B的高程为Ha= 12.123 m , Hb=11. 123m,观测高差和线路长度为:图5-2 S1=2km,S2=Ikm,S3=0.5krn,h1 =-2.003m,h2=-1.005 m,h3=

2、-0.501 m，求改正数条件方程和各段离差的平差值。 5.1.05 在图5-3的水准网中，A为已知点B、C、D为待定点，已知点高程HA=10.000m,观测了5条路线的高差: h1=1.628m， h2=0. 821 m，h3=0.715m，h4=1.502m，h5=-2.331 m。 各观测路线长度相等，试求:（1）改正数条件方程;(2)各段高差改正数及平差值。 5.1.06 有水准网如图5-4所示，其中A、B、C三点高程未知，现在其间进行了水准测量，测得高差及水准路线长度为 h1 =1 .335 m，S1=2 km; h2=1.055 m，S2=2 km;h3=-2.396 m，S3=3

3、km。 试按条件平差法求各高差的平差值。2.1.07如图 5-5 所示，L1=63°1940，=30；L2 =58°2520,=20；L3=301°4542，=10.(1)列出改正数条件方程;(2)试用条件平差法求C的平差值(注: C是指内角)。5-2条件方程 5. 2.08 对某一平差问题，其条件方程的个数和形式是否惟一? 5.2.09 列立条件方程时要注意哪些问题?如何使得一组条件方程彼此线性无关? 5.2. 10 指出图5-6中各水准网条件方程的个数(水准网中Pi表示待定高程点，hi表示观测高差)。(a) (b)图5-65. 2. 11指出图5-7中各测角网

4、按条件平差时条件方程的总数及各类条件的个数(图中Pi 为待定坐标点)。 (2) (b)(3) (d)图5-75.2. 12 指出图5-8中各测角网按条件平差时条件方程的总数及各类条件的个数(图中Pi为待定坐标点， i为已知边，i为已知方位角)。 （a） (b) (4) (d)图5-8 5. 2. 13试指出图5-9中各图形按条件平差时条件方程的总数及各类条件的个数(图中pi为待定坐标点,i为角度观测值，Si为边长观测值，i为已知边长，i为已知方位角)。 5. 2. 14如图5-10所示的三角网中，A、B为已知点，P1一P;为待定点，0为已知方位角。0为已知边长，观测了23个内角，试指出按条件平

5、差时条件方程的总数及各类条件的个数。 5. 2. 15试按条件平差法列出图5-11所示的水准网的全部条件方程(Pi为待定点，hi为观测高差)。 5.2.16在图5-12所示的GPS基线向量网中，用GPS接收机同步观测了网中5条边的基线向量( X12 Y12 Z12) 、( X13 Y13 Z13) 、( X14 Y14 Z14 ) 、( X23 Y23 Z23) 、(X34 Y34 Z34 )，试按条件平差法列出全部条件方程。 5.2.17图5-13中，A、B为已知点，', ,J-',P，为待定坐标点，观测了11个角度，试列出全部平差值条件方程。5. 2. 18图5-14中，.

6、 , 3为己知坐标点，P1、P2、P3为待定点，观测了12个角度和2条边长S1、S2，试列出全部平差值条件方程。图5-95. 2. 19有如图5-15所示的三角网，B,C为已知点，观测角Li(i=1l，2，,10)，用文字符号列出全部条件式。 5.2.20 如图5-16所示的三角网中，A 、B为已知点，FG为已知边长，观测角Li(i=1,2，、20)，观测边Sj=1,2)，则1)在对该网平差时，共有儿种条件?每种条件各有几个?(2)用文字符号列出全部条件式(非线性不必线性化)。5.2.21如图5-17所示，A、B为已知点，CP为已知方位角，试列出全部条件方程。5. 2. 22如图5-18所示的

7、三角网中.指出条件方程的总数和各类条件方程式的个数并用平差值列出所有非线性条件方程。5.2,.23如图5 -19所示的三角网中，用文字符号列出全部条件式。5.2.24如图5 -20所示的测角网中，A、B为已知点，P1、P2、P3为待定点，观测了11个角度，试列出全部改正数条件方程。5.2. 25如图5-21所示的测角网中，A、B为已知点，P1、P2、P3为待定点，观测了13个角度和1条边长S，试列出全部改正数条件方程。5.2.26有水准网如图5-22所示，试列出该网的改正数条件方程。已知数据= 31. 100m ,/B : 34. 165m = 1. 001m,5i : Lktn = 1, 0

8、02m，S2 2km; -0. 060m,=2km ；fe4 = 1. 000m,S4 = lkm；5 =0. 500m,5；, =2km；A6 =0. 560m,5 = 2km ； A7 - 0. 504m ,57 =2.5 km ； hs = 1. 064m，Ss =2. 5kmt5.2.27图5-23中, A 、B为已知坐标点，P为待定点，观测了边长S和方位角1、2、3试列出全部改正数条件方程。5. 2. 28在图5-24中，已知A 、B两点的坐标，P1、P2:为待定点，同精度测得各角值如下所示:角号观测值角号观测值角号观测值141°5428433°4325776&#

9、176;0837248°4333546°4718350°4549661°5652试按条件平差法列中改正数条件方程。5. 2. 29为量测一房屋面积(如图5-25所示)，测该房屋四角得四个角上的坐标观测值31Xi，Yi:X/cmY/cm123439.9439.9020.3620.4628.9735.8635.9228.91试列出条件方程。5. 2.30如图5 -26所示，在数字化地图上进行一条道路两边(平行)的数字化，每边各数字化了2个点，试按条件平差写出其条件方程。§5-3精度评定5.3.31在条件平差中，能否根据已列出的法方程计算单位权方差？

10、5.3.32条件平差中的轉库评定主要是解决哪些方面的问题？图 5-275.3.33在图5-27的ABC中,按同精度测得L1、L2及L3， 试求;(1)平差后 A角的权PA ；（2）在求平差后 A角的权PA 时；若设F1=1或2 =180°-2-3，最后求得的与PF1，PF2？为什么？（3)求A角平差前的权与平差后的权之比；（4)求 平差后三角行内角和的权倒数；（5）平差后三内角之和的权倒数等于零,这是为什么？ 5.3. 34在图5 -28中，同精度侧得L1= 35°20 15", L2=35°2015，L3=35°2015试求平差后AOB的权。

11、5.3.35 如图5-29所示的水准网中，侧得各点间高差为h 1=1. 357m, h2=2. 008m, h3=0. 353m, h4=1.000m，h5=-0. 657m, S1=1km , S2=1km, S3= 1km,.S4 = 1km,.S5=2km。设C=1，试求:（1）平差后l$两点间高差的权;（2）平差后A,C两点间高差的权。5. 3.36 有水准网如图5-30所示，侧得各点何高差为气hi(i=1,2，7)，已算得水准网平差后高差的协因数阵为: Q= 试求:1)待定点A,B,C,D平差后高程的权; (2)C,D两点间高差平差值的权。 5. 3. 37如图5-31所示的三角网中

12、，A,B为已知点，C,D,E,F为待定点，同精度观测了15个内角，试写出: (1)图中CD边长的权函数式;(2)平差后LB的权函数式。 5. 3. 38 有大地四边形如图5-32所示，A,C为已知点，B,D为待定点.同精度观测了8个角度，各观测值为;L1=63°1425.02，L2=23°2850.06，L3=23°3129.31，L4=69°4514.74，L5=61°4057.38，L6=25°0219.23，L7=27°2408.77，L8=65°5235.08， 试列出平差后BD边的权函数式。 5.3.39

13、 如图5-33所示，试按条件平差法求证:在单一水准路线中平差后高程最弱点在水准路线中央。5.3.40 已知条件式为AV-W =0，其中W =-AL，观测值协因数阵为Q。现有函数式F=fT(L+V),(1)试求QFF (2)试证:V和F是互不相关的。§5-4水准网平差示例 5.4.41在进行水准网平差时，当网形及观测路线或方案确定后，能否在观测前估计出网中的精度最弱点? 5. 4. 42如图5 -34所示的水准网中，A,B,C为已知点，HA= 12. 000m,HB = 12. 500m,HC =14. OOOm ;高差观测值h 1 =2. 500m,h2 =2. 000m,h3=I.

14、 352m,h4=1. 851m;S1=1 km , S2=1 km, S3=2 km , S4=1 km,试按条件平差法求高差的平差值及P2点的精度P2 。 5. 4. 43有水准网如图5-35所示，A,B,C,D均为待定点:独立同精度观测.了6条路线的高差: h1=1 .576 m，h2=2.215 m，h3=-3.800 m， h4=0.871 m，h5=-2.438 m，h6 =-1. 350 m 试按条件平差法求各高差的平差值。5. 4. 44在水准网(如图5-36所示)中，观到高差及路线长度见下表:序号观测高差/m路线长/kmh110.3561.0h215.0001.0h320.3

15、602.0h414.5012.0h54.6511.0h65.8561.0h710.5002.0HA = 50. 000m，HB= 40.000m，试用条件平差法求:(1)各高差的平差值;(2)平差后P1到P2点间高差的中误差。5. 4, 45水准网(如图5-37所示)的观测高差及水准路线长度见下表:观测值号观测高差/m路线长/kmh1+189.4043.1h2+736.9779.3h3+376.60759.7h4+547.5766.2h5+273.52816.1h6+187.27435.1h7+274.08212.1h8+86.2619.3到E点平差后高差的中误差(3)E点到C点平差后高差的中

16、误差。§5-5 综合练习题 5. 5. 46 有三角形如图5-38所示，L1L4为独立同精度角度观测值，试按条件平差法导出L3的平差值。5. 5. 47 如图5 -39所示，一矩形两边的独立同精度观测值L = L1 L2T= 8.608. 50 T cm，已知矩形的对角线为10cm(无误差)，求平差后矩形的面积及精度5.5.48在图5-40所示的直角三角形ABA中，为确定C点坐标观测了边长S1，S2和角度。得观测值列于下表，试按条件平差法求(1)观侧值的平差值;(2)C点坐标的估值。观测值中误差45°000010S1215.456 m2 cmS2152.311 m3 cm5

17、.5.49在图5-41所示的三角形ABC中，侧得下列观测值; 1=52°30'20"， 2=56°18'20"， 3=71°11'40" S1=135.622m S2=119.168m 设测角中误差为10"，边长观测值的中误差为2.0 cm. (1)试按条件平差法列出条件方程; (2)试计算观测角度和边长的平差值。 5.5.50有独立边角网如图5-42所示.边长观测值为S1S5，角度观测值为14其观测数据见下表:边长观测值/m角度角度观测值°S12107.828159 16 06S23024

18、.716244 07 56S32751,089336 47 50S44278.366458 40 26S53499.1125 已知 =0. 7，s =5mm+10-6·S。若按条件平差法平差 (1)列出全部条件方程式; (2)求出观测值的改正数及平差值。 5. 5. 51有平面直角三角形ABC如图5-43所示，测出边长S1 ,S2和角度，其观侧值及其中误差为:S1=416.046 m,s1=2.0 cm S2=202.116 m,s2=1.2 cm=29°03'43",=8.0(1试按条件平差列出条件方程式;(2)求出观测值的平差值及其协因数阵与协方差阵。

19、5. 5. 52在图5-44中，B点和C点的位置已知为固定值(见下表)，测得下列独立观测值1=17°1116,1=102=119°0926,1=103=43°3850,1=3+10-6×2×5S1=1404.608 m,1=10点号X/mY/mB1000.0001000.000C714.7541380.328S2=1110.086 m (1)试按条件平差求各观测值的平差值;(2)试求A点坐标的最小二乘估值及其协方差阵。5.5.53在单一附合导线(如图5-45所示)上观侧了4个左角和3条边长，B,C为已知点，p1、p2为待定导线点，已知起算数据为

20、: XB=203 020. 384m,YB=-59 049. 801 m， Xc=203 059. 503 m，YC=-59 796. 549 m， AB=226°44'59",CD =324°46'03" 观侧值为:角号观测值°边号边长/m1234230 32 37180 00 42170 39 22236 48 37S1S2S3204.953200.130345.153观测值的测角中误差 =5边长中误差s1=0.5 mm (s1以m为单位)。试按条件平差法:(1)列出条件方程式;(2)组成法方程;(3)求联系数K及改正数V平

21、差值 5.5.54图5-46中，A,B,C,D为已知点，p1一p3为待定导线点，观测了5个左角和4条边长，已知点数据为:X/mY/mABCD599.951704.816747.166889.339224.856141.165572.726622.134观测值为：i观测值°边号边长/m174 10 301143.8252279 05 122124.777367 55 293188.9504276 10 114117.338580 23 46观测值的测角中误差=2"边长中误差Si=0.2 (Si以m为单位)。试按条件平差法: 1)列出条件方程; (2)写出法方程; (3)求出联

22、系数K观测值改正数V及平差值5. 5. 55有闭合导线如图5-47所示，观测4条边长和5个左转折角，已知测角中误差=5边长中误差按Si=3mm+2×10-8Si计算(Si以km为单位)，起算数据为:XA=2 272.045m, YA=5 071.330m，XB=2 343. 895 1 m，YB =5140. 882 6m。观测值如下:角号角度观测值°边号观测值/m192 49 431805.1912316 43 582269.4863205 08 163272.7184229 33 064441.5965试按条件平差: (1列条件方程; 2)求改正数V和平差值L (3)求

23、导线点2,3,4的坐标平差值及点位精度。5.5.56图5-48为一闭合导线,A ,B为已知点P1-P3为待定导线点、已知点数据为:X/mY/mAB803.632923.622471.894450.719观测了7个角和6个边长，观测值为：i观测角°边号边长/m1234567230 28 50109 50 40132 18 50124 02 35110 57 5199 49 56272 31 1112345699.432107.938119.875121.970153.739139.452观测值的侧角中误差=6'"边长中误差Si= 0.5 mm (Si以m为单位)。试按

24、条件平差法: (i)列出条件方程; (2)写出法方程; (3)求出联系数K、观测值改正数Y及平差值L.5. 5. 57有闭合导线如图5-49所示，观测8条边长和9个左转折角。已知测角中误差=，边长中误差Si =3mm +2 x 10-6Si,已知起算数据为:XA=2272.045 m XB=2343.8951 mYA=5071.331 m YB=5410.8826 mi观测值°边号边长/m12345678926 35 54193 25 58269 15 24138 32 08287 36 28214 07 46205 08 28235 44 32229 32 091234567825

25、0.872259.454355.886318.658258.776269.484272.719441.598试按条件平差: (1列条件方程; (2)求改正数V和平差值 (3)求各导线点的坐标平差值i，i(i=2,38)及点位精度。5, 5. 58有一闭合导线网如图5-50所示.A,B为已知点,P1-P5为待定导线点，已知点数据为：X/mY/mAB730.024881.272270.230181.498观测了11个角和7个边长，观测值为：i观测值°Si观测边长/m1234567891011152 33 00110 47 4848 48 25147 22 50260 28 0158 48

26、 18237 22 56249 09 40258 00 02249 12 20207 26 511234567208.421252.692178.188217.980224.689192.104188.105观测值的测角中误差= 4"，边长中误差Si= 0.5 mm (Si以m为单位)。试按条件平差法.(1)列出条件方程; 2)写出法方程; (3)求出联系数K观测值改正数V及平差值L 5.5.59如图5一51所示，对一直角房屋进行了数字化，其坐标观侧值见下表，试按条件平差法求平差后各坐标的平差值和点位精度。点号坐标123456X/m1579.3934577.9294569.55845

27、70.2454571.2004572.028Y/m2595.1822602.8302601.0992597.1682579.3742593.619 5. 5. 60有一GPS网如图5-52所示，1点为已知点，2,3 ,4点为待定坐标点，现用GPS接收机观测了5条边的基线向量(Xij Yij Zij). 已知1点的坐标为; X1=-I 054581.276 1m,Y1= -5 706 987,139 7m,Z1=2 638 873. 815 2mo 基线向量观测值及其协因数为:编号起点终点基线向量观测值/m基线协因数阵X Y Z11285.4813-59.5931120.19510.009997

28、 -0.003934对 0.024978 称-0.0028340.0086150.0079062132398.0674-719.80512624.22920.009822 -0.003794 对 0.024366 称-0.0027770.0084240.0070813232312.5960-660.20122504.03340.009375 -0.004329 对 0.022359 称-0.0027830.0081240.0076554242057.6576-645.28842265.70650.011729 -0.00024 对 0.034331 称-0.0025320.0092550.00

29、7819534-254.961614.9260238.31420.011691 -0.000438 对 0.034529 称-0.0025280.0094060.007855设各基线向量耳相碑立，试用燕件平差传声 (1)条件方程 (2)法方程; (3)基线向量改正数及其平差值。第六章附有参数的条件平差§6-1附有参数的条件平差原理6.1.01在附有参数的条件平差模型里，所选参数的个数有没有限制？能否多于必要 观测数？6.1.02某平差问題有12个同精度观测值，必要观测数t=6，现选取2个独立的参数参与平差，应列出多少个条件方程？6.1.03和条件平差法相比，附有参数的条件平差法有哪些

30、优、缺点？6.1.04图6-1的水准路线中A、B为已知点，其髙程为HA、HB,P为待定点，观测高差为h1、h2，且QU=I( I为单位阵），若令P点的最或是髙程为参数，试按附有参数条件平差法列出：(1) 条件方程；(2) 平差值1、2、的表达式。6, 1.05巳知附有参数的条件方程为V1-4=0,V2+V4+-2=0,V3-V4-5=0,试求等精度观值Li的改正数Vi(i= 1，2，3，4)及参数。6.1.06已知附有参数的条件方程为V1-V2+V3-8=0,V4+V5+V6+6=0,试求等精度观测值Li,的改正数Vi(i=1,2,7)及参数。6.1.07试按附有参数的条件平差法列出图6-2扣

31、示的函数模型。(a) 已知点：A(b) 已知点:A观测值:h1 h6观测值:h1h5参数:P1点高程P1， 参数:A、P2点间高差方AP26.1.08试按附有参数的条件平差法列出如图6-3所示的函数模型。（a） 已知值：A （b）已知点：A、B 观测值：L1 L4 观测值：L1L3 参数：BOD 参数：ACB6.1.09 有水准网如图6-4，已知点A的高程HA=8.000m，P1、P2点位待定点，观测高差及路线长度为：h1=1.168m，S1=1km，h2=0.614m，S2=2km，h3=-1.788m，S3=1km。设P1点高程为位置参数，试求：(1)条件方程；(2)各观测高差改正数；(3

32、)P1点高程平差值。6.1.10 有水准网如图6-5所示,A为已知点，高程为HA=10.000m，同精度观测了5条水准路线，观测值为h1 = 7. 251m, h2 = 0. 312m, h3,= -0. 097m，h4 = 1. 654m，h5 =0. 400m。若设AC 间的高差平差值Ac为参数之试按附有参数的条件平差法，（1）列出条件方程；（2）列出法方程;（3）求出待定点C的最或是髙程。 §6-2 精度评定6.2.11 图6-6所示的水准网中A为巳知点，P1、P2、P3为待定点，观测了高差h1h5观测路线长度相等，现选取P3点的髙程平差值为参数，试求P3点平差后高程的权。6.

33、2.12 图6-7所示的水准网中，A为已知点，C、D为待定点，同精度观测了 4条水准路线髙差，现选取3为参数，试求平差后C、D两点间高差的权。6.2.13有一三角网如图6-8所示，A、B为已知点，C、D为待定点，观測了L1-L6个角度，试用附有参数的条件平差法求平差后ABC的权。6.2.14在附有参数的条件平差中，若有平差值函数 =+，试写出求的协因数的表达式。6.2.15在附有参数的条件平差中，平差值函数和改正数向量V是否相关？试说明原因。§6-3 综合练习题6.3. 16 如图6-9所示，已知髙程为HA=53m，HB=58m，观测线路等长，测得高差为：h1 =2. 95m，h2

34、=2,97m，h3 =2. 08m，h4=2. 06m，现令P点的高程平差值为参数，试按附有参数的条件平差求：（1)观澜髙差的平差值、P点髙程的平差值；（2)P点髙程的平差值 的权倒数。6.3.17在图6-10所示的水准网中,点A的髙程HA=10.000m，P1 -P4为待定点，观测髙差及路线长度为：h1=1.270m， S1=2:h2=-3.380 m， S2=2:h3=2.114 m， S3=1:h4=1.613 m， S4=2:h5=-2.721 m， S5=1:h6=2.931 m， S6=2:h7=0.782 m， S7=2。若设P2点高程平差值为参数，试：(1)列出条件方程；(2)求出法方程；(3)求出观测值的改正数及平差值；(4)平差后单位权方差及P2点高程平差值中误差。6.3.18 有测角网如图6-11所示,A、B 为已知点, C、D、E为待定点，观测了 8个角度。若按附有参数的条件平差法平差，(1)需设哪些量为参数？(2)列出条件方程。 6.3.19如图6-12所示的测角网中，A,B为已知点.C,D为待定点观测了6个角度观测值为L1=40°2358，L2=37°1136;L3=53°4902，L4=57°0005;L5=31°5900，L6=36°2556。 若按附有参数