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1、材料力学-学习指导及习题答案第 一 章 绪论1-1 图示圆截面杆,两端承受一对方向相反、力偶矩矢量沿轴线且大小均为M的力偶作用。试问在杆件的任一横截面m-m上存在何种内力分量,并确定其大小。 解:从横截面m-m将杆切开,横截面上存在沿轴线的内力偶矩分量Mx,即扭矩,其大小等于M。   1-2 如图所示,在杆件的斜截面m-m上,任一点A处的应力p=120 MPa,其方位角=20°,试求该点处的正应力与切应力。 解:应力p与斜截面m-m的法线的夹角=10°,故 pcos=120×cos10°=118.2MPa psin=120×sin10

2、°=20.8MPa    1-3 图示矩形截面杆,横截面上的正应力沿截面高度线性分布,截面顶边各点处的正应力均为max=100 MPa,底边各点处的正应力均为零。试问杆件横截面上存在何种内力分量,并确定其大小。图中之C点为截面形心。 解:将横截面上的正应力向截面形心C简化,得一合力和一合力偶,其力即为轴力 FN=100×106×0.04×0.1/2=200×103 N =200 kN 其力偶即为弯矩 Mz=200×(50-33.33)×10-3 =3.33 kN·m   1-4 板件的

3、变形如图中虚线所示。试求棱边AB与AD的平均正应变及A点处直角BAD的切应变。 解:  第 二 章  轴向拉压应力 2-1试计算图示各杆的轴力,并指出其最大值。解:(a) FNAB=F,FNBC=0,FN,max=F(b) FNAB=F,FNBC=F,FN,max=F(c) FNAB=2 kN, FN2BC=1 kN,FNCD=3 kN,FN,max=3 kN(d) FNAB=1 kN,FNBC=1 kN,FN,max=1 kN   2-2 图示阶梯形截面杆AC,承受轴向载荷F1=200 kN与F2=100 kN,AB段的直径d1=40 mm。如欲使BC

4、与AB段的正应力相同,试求BC段的直径。解:因BC与AB段的正应力相同,故   2-3 图示轴向受拉等截面杆,横截面面积A=500 mm2,载荷F=50 kN。试求图示斜截面m-m上的正应力与切应力,以及杆内的最大正应力与最大切应力。解: 24(2-11) 图示桁架,由圆截面杆1与杆2组成,并在节点A承受载荷F=80kN作用。杆1、杆2的直径分别为d1=30mm和d2=20mm,两杆的材料相同,屈服极限s=320MPa,安全因数ns=2.0。试校核桁架的强度。解:由A点的平衡方程 可求得1、2两杆的轴力分别为由此可见,桁架满足强度条件。 25(2-14) 图示桁架,承受载荷

5、F作用。试计算该载荷的许用值F。设各杆的横截面面积均为A,许用应力均为。 解:由C点的平衡条件 由B点的平衡条件 1杆轴力为最大,由其强度条件 26(2-17) 图示圆截面杆件,承受轴向拉力F作用。设拉杆的直径为d,端部墩头的直径为D,高度为h,试从强度方面考虑,建立三者间的合理比值。已知许用应力=120MPa,许用切应力=90MPa,许用挤压应力bs=240MPa。 解:由正应力强度条件由切应力强度条件 由挤压强度条件式(1):式(3)得 式(1):式(2)得 故 D:h:d=1.225:0.333:1    27(2-18) 图示摇臂,承受载荷F1与F2作用。试确定轴销

6、B的直径d。已知载荷F1=50kN,F2=35.4kN,许用切应力=100MPa,许用挤压应力bs=240MPa。 解:摇臂ABC受F1、F2及B点支座反力FB三力作用,根据三力平衡汇交定理知FB的方向如图(b)所示。由平衡条件由切应力强度条件                              

7、60; 由挤压强度条件                故轴销B的直径 第 三 章 轴向拉压变形3-1 图示硬铝试样,厚度=2mm,试验段板宽b=20mm,标距l=70mm。在轴向拉F=6kN的作用下,测得试验段伸长l=0.15mm,板宽缩短b=0.014mm。试计算硬铝的弹性模量E与泊松比。 解:由胡克定律  3-2(3-5) 图示桁架,在节点A处承受载荷F作用。从试验中测得杆1与杆2的纵向正应变分别为1=4.0×10-4与2=2.0&

8、#215;10-4。试确定载荷F及其方位角之值。已知杆1与杆2的横截面面积A1=A2=200mm2,弹性模量E1=E2=200GPa。 解:杆1与杆2的轴力(拉力)分别为 由A点的平衡条件 (1)2+(2)2并开根,便得 式(1):式(2)得  3-3(3-6) 图示变宽度平板,承受轴向载荷F作用。试计算板的轴向变形。已知板的厚度为,长为l,左、右端的宽度分别为b1与b2,弹性模量为E。   解:   3-4(3-11) 图示刚性横梁AB,由钢丝绳并经无摩擦滑轮所支持。设钢丝绳的轴向刚度(即产生单位轴向变形所需之力)为k,试求当载荷F作用时端点

9、B的铅垂位移。 解:设钢丝绳的拉力为T,则由横梁AB的平衡条件 钢丝绳伸长量 由图(b)可以看出,C点铅垂位移为l/3,D点铅垂位移为2l/3,则B点铅垂位移为l,即 3-5(3-12) 试计算图示桁架节点A的水平与铅垂位移。设各杆各截面的拉压刚度均为EA。 解:(a) 各杆轴力及伸长(缩短量)分别为   因为3杆不变形,故A点水平位移为零,铅垂位移等于B点铅垂位移加2杆的伸长量,即 (b) 各杆轴力及伸长分别为 A点的水平与铅垂位移分别为(注意AC杆轴力虽然为零,但对A位移有约束) 3-6(3-14) 图a所示桁架,材料的应力-应变关系可用方程n=B表示(图b)

10、,其中n和B为由实验测定的已知常数。试求节点C的铅垂位移。设各杆的横截面面积均为A。 (a) (b) 解:2根杆的轴力都为  2根杆的伸长量都为 则节点C的铅垂位移     3-7(3-16) 图示结构,梁BD为刚体,杆1、杆2与杆3的横截面面积与材料均相同。在梁的中点C承受集中载荷F作用。试计算该点的水平与铅垂位移。已知载荷F=20kN,各杆的横截面面积均为A=100mm2,弹性模量E=200GPa,梁长l=1000mm。 解:各杆轴力及变形分别为   梁BD作刚体平动,其上B、C、D三点位移相等   3-8(3-17) 图示桁架,在节点B和

11、C作用一对大小相等、方向相反的载荷F。设各杆各截面的拉压刚度均为EA,试计算节点B和C间的相对位移B/C。 解: 根据能量守恒定律,有 3-9(3-21) 由铝镁合金杆与钢质套管组成一复合杆,杆、管各载面的刚度分别为E1A1与E2A2。复合杆承受轴向载荷F作用,试计算铝镁合金杆与钢管横载面上的正应力以及杆的轴向变形。 解:设杆、管承受的压力分别为FN1、FN2,则 FN1+FN2=F (1) 变形协调条件为杆、管伸长量相同,即 联立求解方程(1)、(2),得   杆、管横截面上的正应力分别为 杆的轴向变形 3-10(3-23) 图示结构,杆1与杆2的弹性模量均为E,横截面面

12、积均为A,梁BC为刚体,载荷F=20kN,许用拉应力t=160MPa,许用压应力c=110MPa。试确定各杆的横截面面积。 解:设杆1所受压力为FN1,杆2所受拉力为FN2,则由梁BC的平衡条件得 变形协调条件为杆1缩短量等于杆2伸长量,即   联立求解方程(1)、(2)得 因为杆1、杆2的轴力相等,而许用压应力小于许用拉应力,故由杆1的压应力强度条件得 3-11(3-25) 图示桁架,杆1、杆2与杆3分别用铸铁、铜和钢制成,许用应力分别为1=40MPa,2=60MPa,3=120MPa,弹性模量分别为E1=160GPa,E2=100GPa,E3=200GPa。若载荷F=160kN,

13、A1=A2=2A3,试确定各杆的横截面面积。 解:设杆1、杆2、杆3的轴力分别为FN1(压)、FN2(拉)、FN3(拉),则由C点的平衡条件 杆1、杆2的变形图如图(b)所示,变形协调条件为C点的垂直位移等于杆3的伸长,即    联立求解式(1)、(2)、(3)得 由三杆的强度条件   注意到条件 A1=A2=2A3,取A1=A2=2A3=2448mm2。   3-12(3-30) 图示组合杆,由直径为30mm的钢杆套以外径为50mm、内径为30mm的铜管组成,二者由两个直径为10mm的铆钉连接在一起。铆接后,温度升高40°,试计算铆钉剪切面上

14、的切应力。钢与铜的弹性模量分别为Es=200GPa与Ec=100GPa,线膨胀系数分别为l s=12.5×10与l c=16×10。 解:钢杆受拉、铜管受压,其轴力相等,设为FN,变形协调条件为钢杆和铜管的伸长量相等,即铆钉剪切面上的切应力                      3-13(3-32) 图示桁架,三杆的横截面面积、弹性模量与许用应力均相同,并分别为A、E与,试确定该桁架

15、的许用载荷F。为了提高许用载荷之值,现将杆3的设计长度l变为l+。试问当为何值时许用载荷最大,其值Fmax为何。 解:静力平衡条件为   变形协调条件为     联立求解式(1)、(2)、(3)得 杆3的轴力比杆1、杆2大,由杆3的强度条件 若将杆3的设计长度l变为l+,要使许用载荷最大,只有三杆的应力都达到,此时 变形协调条件为   第 四 章   扭转 4-1(4-3) 图示空心圆截面轴,外径D=40mm,内径d=20mm,扭矩T=1kNm。试计算横截面上的最大、最小扭转切应力,以及A点处(A=15mm)的扭转切应力。

16、解:因为与成正比,所以4-2(4-10) 实心圆轴与空心圆轴通过牙嵌离合器连接。已知轴的转速n=100 r/min,传递功率P=10 kW,许用切应力=80MPa,d1/d2=0.6。试确定实心轴的直径d,空心轴的内、外径d1和d2。 解:扭矩由实心轴的切应力强度条件 由空心轴的切应力强度条件 4-3(4-12) 某传动轴,转速n=300 r/min,轮1为主动轮,输入功率P1=50kW,轮2、轮3与轮4为从动轮,输出功率分别为P2=10kW,P3=P4=20kW。 (1) 试求轴内的最大扭矩; (2) 若将轮1与轮3的位置对调,试分析对轴的受力是否有利。 解:(1) 轮1、2、3、4作用在轴

17、上扭力矩分别为轴内的最大扭矩若将轮1与轮3的位置对调,则最大扭矩变为 最大扭矩变小,当然对轴的受力有利。 4-4(4-21) 图示两端固定的圆截面轴,承受扭力矩作用。试求支反力偶矩。设扭转刚度为已知常数。 解:(a) 由对称性可看出,MA=MB,再由平衡可看出MA=MB=M (b)显然MA=MB,变形协调条件为解得(c) (d)由静力平衡方程得 变形协调条件为联立求解式(1)、(2)得  4-5(4-25) 图示组合轴,由套管与芯轴并借两端刚性平板牢固地连接在一起。设作用在刚性平板上的扭力矩为M=2kN·m,套管与芯轴的切变模量分别为G1=40GPa与G2=80GPa。试求

18、套管与芯轴的扭矩及最大扭转切应力。 解:设套管与芯轴的扭矩分别为T1、T2,则 T1+T2 =M=2kN·m (1) 变形协调条件为套管与芯轴的扭转角相等,即 联立求解式(1)、(2),得套管与芯轴的最大扭转切应力分别为 4-6(4-28) 将截面尺寸分别为100mm×90mm与90mm×80mm的两钢管相套合,并在内管两端施加扭力矩M0=2kN·m后,将其两端与外管相焊接。试问在去掉扭力矩M0后,内、外管横截面上的最大扭转切应力。 解:去掉扭力矩M0后,两钢管相互扭,其扭矩相等,设为T, 设施加M0后内管扭转角为0。去掉M0后,内管带动外管回退扭转角1

19、(此即外管扭转角),剩下的扭转角(0-1)即为内管扭转角,变形协调条件为 内、外管横截面上的最大扭转切应力分别为  4-7(4-29) 图示二轴,用突缘与螺栓相连接,各螺栓的材料、直径相同,并均匀地排列在直径为D=100mm的圆周上,突缘的厚度为=10mm,轴所承受的扭力矩为M=5.0 kN·m,螺栓的许用切应力=100MPa,许用挤压应力 bs=300MPa。试确定螺栓的直径d。 解:设每个螺栓承受的剪力为FS,则   由切应力强度条件  由挤压强度条件  故螺栓的直径 第 五 章   弯曲应力1(51)、平衡微分方程中的

20、正负号由哪些因素所确定?简支梁受力及Ox坐标取向如图所示。试分析下列平衡微分方程中哪一个是正确的。 解:B正确。 平衡微分方程中的正负号由该梁Ox坐标取向及分布载荷q(x)的方向决定。截面弯矩和剪力的方向是不随坐标变化的,我们在处理这类问题时都按正方向画出。但是剪力和弯矩的增量面和坐标轴的取向有关,这样在对梁的微段列平衡方程式时就有所不同,参考下图。当Ox坐标取向相反,向右时,相应(b),A是正确的。但无论A、B弯矩的二阶导数在q向上时,均为正,反之,为负。   2(52)、对于承受均布载荷q的简支梁,其弯矩图凸凹性与哪些因素相关?试判断下列四种答案中哪一种是错误的。 解:A是错误的

21、。梁截面上的弯矩的正负号,与梁的坐标系无关,该梁上的弯矩为正,因此A是错误的。弯矩曲线和一般曲线的凸凹相同,和y轴的方向有关,弯矩二阶导数为正时,曲线开口向着y轴的正向。q(x)向下时,无论x轴的方向如何,弯矩二阶导数均为负,曲线开口向着y轴的负向,因此B、C、D都是正确的。   3(53)、应用平衡微分方程画出下列各梁的剪力图和弯矩图,并确定|FQ|max和|M|max。(本题和下题内力图中,内力大小只标注相应的系数。) 解:   4(54)、试作下列刚架的弯矩图,并确定|M|max。 解: 5(55)、静定梁承受平面载荷,但无集中力偶作用,其剪力图如图所示。若已知A端弯

22、矩M(0)=0,试确定梁上的载荷(包括支座反力)及梁的弯矩图。 解:   6(56)、已知静定梁的剪力图和弯矩图,试确定梁上的载荷(包括支座反力)。 解:   7(57)、静定梁承受平面载荷,但无集中力偶作用,其剪力图如图所示。若已知E端弯矩为零。请: (1)在Ox坐标中写出弯矩的表达式; (2)试确定梁上的载荷及梁的弯矩图。 解:     8(5-10) 在图示梁上,作用有集度为m=m(x)的分布力偶。试建立力偶矩集度、剪力及弯矩间的微分关系。   解:用坐标分别为x与x+dx的横截面,从梁中切取一微段,如图(b)。平衡方程为 9(5-11)

23、 对于图示杆件,试建立载荷集度(轴向载荷集度q或扭力矩集度m)与相应内力(轴力或扭矩)间的微分关系。 解:(a) 用坐标分别为x与x+dx的横截面,从杆中切取一微段,如图(c)。平衡方程为   (b) 用坐标分别为x与x+dx的横截面,从杆中切取一微段,如图(d)。平衡方程为 10(5-18) 直径为d的金属丝,环绕在直径为D的轮缘上。试求金属丝内的最大正应变与最大正应力。已知材料的弹性模量为E。   解:  11(5-23) 图示直径为d的圆木,现需从中切取一矩形截面梁。试问: (1) 如欲使所切矩形梁的弯曲强度最高,h和b应分别为何值; (2) 如欲使所切矩形

24、梁的弯曲刚度最高,h和b应分别为何值; 解:(1) 欲使梁的弯曲强度最高,只要抗弯截面系数 取极大值,为此令    (2) 欲使梁的弯曲刚度最高,只要惯性矩取极大值,为此令 12(5-24) 图示简支梁,由18工字钢制成,在外载荷作用下,测得横截面A底边的纵向正应变=3.0×10-4,试计算梁内的最大弯曲正应力。已知钢的弹性模量E=200GPa,a=1m。 解:梁的剪力图及弯矩图如图所示,从弯矩图可见: 13(5-32) 图示槽形截面铸铁梁,F=10kN,Me=70kN·m,许用拉应力 t=35MPa,许用压应力c=120MPa。试校核梁的强度

25、。 解:先求形心坐标,将图示截面看成一大矩形减去一小矩形惯性矩 弯矩图如图所示,C截面的左、右截面为危险截面。 在C左截面,其最大拉、压应力分别为   在C右截面,其最大拉、压应力分别为 故 14(5-35) 图示简支梁,由四块尺寸相同的木板胶接而成,试校核其强度。已知载荷F=4kN,梁跨度l=400mm,截面宽度b=50mm,高度h=80mm,木板的许用应力=7MPa,胶缝的许用切应力=5MPa。   解:从内力图可见木板的最大正应力 由剪应力互等定理知:胶缝的最大切应力等于横截面上的最大切应力 可见,该梁满足强度条件。    15(5-41) 图示简

26、支梁,承受偏斜的集中载荷F作用,试计算梁内的最大弯曲正应力。已知F=10kN,l=1m,b=90mm,h=180mm。 解: 16(5-42) 图示悬臂梁,承受载荷F1与F2作用,已知F1=800N,F2=1.6kN,l=1m,许用应力=160MPa。试分别按下列要求确定截面尺寸: (1) 截面为矩形,h=2b; (2) 截面为圆形。 解:(1) 危险截面位于固定端 (2)     17(5-45) 一铸铁梁,其截面如图所示,已知许用压应力为许用拉应力的4倍,即c=4 t。试从强度方面考虑,宽度b为何值最佳。   解:又因y1+y2=400 mm,故y1=80 m

27、m,y2=320 mm。将截面对形心轴z取静矩,得 18(5-54) 图示直径为d的圆截面铸铁杆,承受偏心距为e的载荷F作用。试证明:当ed/8时,横截面上不存在拉应力,即截面核心为R=d/8的圆形区域。 解: 19(5-55) 图示杆件,同时承受横向力与偏心压力作用,试确定F的许用值。已知许用拉应力t=30MPa,许用压应力c=90MPa。 解:故F的许用值为4.85kN。 第 七 章  应力、应变状态分析   7-1(7-1b) 已知应力状态如图所示(应力单位为 ),试用解析法计算图中指定截面的正应力与切应力。解: 与 截面的应力分别为: ; ; ; MPa

28、7-2(7-2b)已知应力状态如图所示(应力单位为 ),试用解析法计算图中指定截面的正应力与切应力。解: 与 截面的应力分别为: ; ; ; 7-3(7-2d)已知应力状态如图所示(应力单位为 ),试用图解法计算图中指定截面的正应力与切应力。解:如图,得:指定截面的正应力 切应力 7-4(7-7) 已知某点A处截面AB与AC的应力如图所示(应力单位为 ),试用图解法求主应力的大小及所在截面的方位。     解:由图,根据比例尺,可以得到:, , 7-5(7-10c)已知应力状态如图所示,试画三向应力圆,并求主应力、最大正应力与最大切应力。   

29、      解:对于图示应力状态, 是主应力状态,其它两个主应力由 、 、 确定。在 平面内,由坐标( , )与( , )分别确定 和 点,以 为直径画圆与 轴相交于 和 。再以 及 为直径作圆,即得三向应力圆。由上面的作图可知,主应力为, , , 7-6(7-12)已知应力状态如图所示(应力单位为 ),试求主应力的大小。解: 与 截面的应力分别为: ; ; ;在 截面上没有切应力,所以 是主应力之一。 ; ; ; 7-7(7-13)已知构件表面某点处的正应变 , ,切应变 ,试求该表面处 方位的正应变 与最大应变 及其所在方位。解: 得: 7-8(7-20)图示

30、矩形截面杆,承受轴向载荷F作用,试计算线段AB的正应变。设截面尺寸b和h与材料的弹性常数E和均为已知。解: , , , AB的正应变为 7-9(7-21)在构件表面某点O处,沿 , 与 方位,粘贴三个应变片,测得该三方位的正应变分别为 , 与 ,该表面处于平面应力状态,试求该点处的应力 , 与 。已知材料的弹性模量 ,泊松比 解:显然, , 并令 ,于是得切应变: 7-10(7-6)图示受力板件,试证明A点处各截面的正应力与切应力均为零。证明:若在尖点A处沿自由边界取三角形单元体如图所示,设单元体 、 面上的应力分量为 、 和 、 ,自由边界上的应力分量为 ,则有 由于 、 ,因此,必有 、

31、、 。这时,代表A点应力状态的应力圆缩为 坐标的原点,所以A点为零应力状态。 7-11(7-15)构件表面某点 处,沿 , , 与 方位粘贴四个应变片,并测得相应正应变依次为 , , 与 ,试判断上述测试结果是否可靠。解:很明显, , 得: 又 得: 根据实验数据计算得到的两个 结果不一致,所以,上述测量结果不可靠。 第 八 章 应力状态与强度理论1、  (8-4)试比较图示正方形棱柱体在下列两中情况下的相当应力 ,弹性常数E和均为已知。(a)       棱柱体轴向受压;(b)    

32、;   棱柱体在刚性方模中轴向受压。解:对于图(a)中的情况,应力状态如图(c)对于图(b)中的情况,应力状态如图(d)所以, , 2、  (8-6)图示钢质拐轴,承受集中载荷F作用。试根据第三强度理论确定轴AB的直径。已知载荷F=1kN,许用应力=160Mpa。解:扭矩 弯矩 由 得: 所以, 3、  (8-10)图示齿轮传动轴,用钢制成。在齿轮上,作用有径向力 、切向力 ;在齿轮上,作用有切向力 、径向力 。若许用应力=100Mpa,试根据第四强度理论确定轴径。解:计算简图如图所示,作 、 、 图。从图中可以看出,危险截面为B截面。其内力分量为:&#

33、160; 由第四强度理论得: 4、8-4 圆截面轴的危险面上受有弯矩y、扭矩x和轴力Nx作用,关于危险点的应力状态有下列四种。试判断哪一种是正确的。 请选择正确答案。 (图中微元上平行于纸平面的面对应着轴的横截面) 答:B 5、  (8-13)图示圆截面钢杆,承受载荷 , 与扭力矩 作用。试根据第三强度理论校核杆的强度。已知载荷 N, ,扭力矩 ,许用应力=160Mpa。解:弯矩 满足强度条件。 6、  (8-25)图示铸铁构件,中段为一内径D=200mm、壁厚=10mm的圆筒,圆筒内的压力p=1Mpa,两端的轴向压力F=300kN,材料的泊松比=0.25,许用拉应力t=3

34、0Mpa。试校核圆筒部分的强度。  解: , , 由第二强度理论:满足强度条件。 7、  (8-27)图薄壁圆筒,同时承受内压p与扭力矩M作用,由实验测得筒壁沿轴向及与轴线成 方位的正应变分别为 和 。试求内压p与扭力矩M之值。筒的内径为D、壁厚、材料的弹性模量E与泊松比均为已知。解: , , , 很显然, 8、  (8-22)图示油管,内径D=11mm,壁厚=0.5mm,内压p=7.5MPa,许用应力=100Mpa。试校核油管的强度。解: , , 由第三强度理论, 满足强度条件。 9、  (8-11)图示圆截面杆,直径为d,承受轴向力F与扭矩M作用,杆

35、用塑性材料制成,许用应力为。试画出危险点处微体的应力状态图,并根据第四强度理论建立杆的强度条件。 解:危险点的应力状态如图所示。 , 由第四强度理论, ,可以得到杆的强度条件: 10、(8-17)图示圆截面圆环,缺口处承受一对相距极近的载荷 作用。已知圆环轴线的半径为 ,截面的直径为 ,材料的许用应力为 ,试根据第三强度理论确定 的许用值。解:危险截面在A或B截面A: , , 截面B: , 由第三强度理论可见,危险截面为A截面。, 得: 即 的许用值为: 11、           &

36、#160;  (8-16)图示等截面刚架,承受载荷 与 作用,且 。试根据第三强度理论确定 的许用值 。已知许用应力为 ,截面为正方形,边长为 ,且 。解:危险截面在A截面或C、D截面,C截面与D截面的应力状态一样。C截面: 由第三强度理论, 得: A截面: 由第三强度理论, 得: 比较两个结果,可得:的许用值: 12、(8-25)球形薄壁容器,其内径为 ,壁厚为 ,承受压强为p之内压。试证明壁内任一点处的主应力为 , 。证明:取球坐标 ,对于球闭各点,以球心为原点。, , 由于结构和受力均对称于球心,故球壁各点的应力状态相同。且由于球壁很薄。 , 对于球壁上的任一点,取通过该点的直

37、径平面(如图),由平衡条件 对于球壁内的任一点, 因此,球壁内的任一点的应力状态为:, 证毕。 第 九 章 压杆稳定问题   9-1(9-8) 图示正方形桁架,各杆各截面的弯曲刚度均为EI,且均为细长杆。试问当载荷F为何值时结构中的个别杆件将失稳?如果将载荷F的方向改为向内,则使杆件失稳的载荷F又为何值?解:(1) 此时,CD杆是压杆。, 时,CD杆失稳。(2) F的方向改为向内时,AC、CB、BD、DB杆均为压杆。 其受到的压力均为 时,压杆失稳。 9-2(9-22) 图示桁架,在节点C承受载荷F=100kN作用。二杆均为圆截面,材料为低碳钢Q275,许用压应力=180Mpa,试确

38、定二杆的杆径。 解: 取结点C分析。 AC杆是拉杆, 得: BC杆是压杆, 得: 考虑到压杆失稳,由于 故: 得: 因此:AC杆的直径为: BC杆的直径为: 9-3(9-12) 图示活塞杆,用硅钢制成,其直径d=40mm,外伸部分的最大长度l=1m,弹性模量E=210Gpa, =100。试确定活塞杆的临界载荷。解:看成是一端固定、一端自由。此时 ,而 ,所以, 。 用大柔度杆临界应力公式计算。 9-4(9-7) 试确定图示细长压杆的相当长度与临界载荷。设弯曲刚度EI为常数。解:由于右段可水平移动而不能转动,所以右端有力偶 。取杆的左段为隔离体,得令 得: 它的通解为: 当 时, 得:

39、 得: 所以,当 时, 即: (n=1,2,3) 取n=1, 得最小值 所以,该细长压杆的相当长度 ,临界载荷为 9-5(9-2) 图示刚杆弹簧系统,试求其临界载荷。图中的k为弹簧常量。解:设弹簧伸长为 ,则 ,那么支反力为: 。各力对弹簧所在截面取矩,则: 即得:  9-6(9-13) 图示结构,由横梁AC与立柱BD组成,试问当载荷集度q=20N/mm与q=40N/mm时,截面B的挠度分别为何值。横梁与立柱均用低碳钢制成,弹性模量E=200GPa,比例极限 =200MPa。解:截面几何性质:No20b工字钢, ,梁长 圆截面立柱: , , ,长 , 结构为一次静不定,由变形协调条件

40、 (1)       当 时 (2)       当 时 9-7(9-15) 图示矩形截面压杆,有三种支持方式。杆长l=300mm,截面宽度b=20mm,高度h=12mm,弹性模量E=200Gpa, =50, =0,中柔度杆的临界应力公式为:试计算它们的临界载荷,并进行比较。解: , , ,(a) (b) (c) 从计算结果看出,第三种支持方式的临界载荷最大。 9-8(9-5) 图示两端球形铰支细长压杆,弹性模量E=200Gpa。试用欧拉公式计算其临界荷载。(1) 

41、      圆形截面,d=30mm,l=1.2m;(2)       矩形截面,h=2b=50mm,l=1.2m;(3)       No14工字钢,l=1.9m。解:(1) (2) (3)   9-9(9-17) 图示连杆,用硅钢制成,试确定其临界载荷。中柔度杆的临界应力公式为 在 平面内,长度因数 ;在 平面内,长度因数 。解: 考虑 平面失稳考虑 平面失稳采用中柔度杆的临界应力公式计算 9-10(9-19) 试

42、检查图示千斤顶丝杠的稳定性。若千斤顶的最大起重量 ,丝杠内径 ,丝杠总长 ,衬套高度 ,稳定安全因数 ,丝杠用 钢制成,中柔度杆的临界应力公式为 解:看成是一端固定、一端自由。 ,最大伸长长度 , 用中柔度杆的临界应力公式计算。 所以,千斤顶丝杠不会失稳。 第 十二 章   非对称弯曲 1( 121)在梁的图示截面上,弯矩 M=10 kN·m。试计算最大弯曲正应力。已知截面的惯性矩Iy=Iz= 4.75´106mm4,Iyz=2.78´106mm4。 题10l图解: 2(123)图示悬臂梁,承受载荷F1与 F2作用,试校核梁的强度。已知 F1=

43、 5 kN,F2=30kN,许用拉应力st=30 MPa,许用压应力sc = 90 MPa。解:在固定端截面上 梁强度不满足要求。 3(128)图示用钢板加固的木梁,承受载荷 F=10 kN作用,钢与木的弹性模量分别为Es= 200 GPa与 Ew= 10 GPa。试求钢板与木梁横截面上的最大弯曲正应力以及截面 C的挠度。解: 由上册附录E知 第 十三 章    能量法131(111)图示各梁,弯曲刚度EI均为常数。试计算梁的应变能及所加载荷的相应位移。 题13l (a) 图解: 题13l (a) 利用对称性梁的应变能: 题13l (b) 图  题13l

44、 (b) 解:梁的应变能: 132(112)图示变宽度平板,承受轴向载荷F作用。试计算板件的总伸长。板件的厚度为d,长度为l,左、右端的截面宽度分别为b1与b2 ,材料的弹性模量为E。  题132图  解: 注意:(1)该题为变截面,各截面横截面上正应力不同。(2)各截面上正应力不同,故不能用 ,只能用 计算。 133(113)图示等截面直杆,承受轴向载荷F作用。设杆的横截面面积为A,材料的应力应变关系为 ,其中c为已知常数。试计算外力所作之功。解: 注意:该题为材料非线性(1)      对轴向拉压, 仍适用;(2)

45、60;     不适用;(3)      仍适用。解法二:   134(114)图示圆柱形大螺距弹簧,承受轴向拉力F作用。试用能量法证明弹簧的轴向变形为式中:D为弹簧的平均直径,d为弹簧丝的直径,n为弹簧的圈数,a为螺旋升角,E为弹性模量,G为切变模量。解 题134图 135(115)图示等截面直杆,承受一对方向相反、大小均为F的横向力作用。设截面宽度为b、拉压刚度为EA,材料的泊松比为m。试利用功的互等定理,证明杆的轴向变形为 状态题135图状态解:用功(位移)互等定理关键: (1)找出状态,

46、使状态的外力在(状态)所求的位移上做功; (2)状态的外力作用下,(状态)外力作用点、(状态)外力相应位移容易求出。用功的互等定理, 136(116)图示纤维增强复合材料,轴1沿纤维方向,轴2垂直于纤维方向。当正应力sl单独作用时(图a),材料沿1和2方向的正应变分别为 式中,E1与m12分别为复合材料的纵向弹性模量与纵向泊松比。当s2单独作用时(图b),上述二方向的正应变则分别为 式中,E1与m21分别为复合材料的横向弹性模量与横向泊松比。试证明: 即上述四个弹性常数中,只有三个是独立的。状态 题136图状态解:设垂直于纤维方向边长为b,纤维方向边长为a,厚度为t,用功互等定理 137(11

47、7)试用卡氏第二定理解题131。 题13l (a) 图解: 由13l (a)知梁的应变能: 题13l (b) 图  解: 题13l (b)梁的应变能: 138(118)图示桁架,在节点B承受载荷F作用。试用卡氏第二定理计算该节点的铅垂位移DB。各杆各截面的拉压刚度均为EA。题138图解: 139(119)图示刚架,承受载荷F作用。试用卡氏第二定理计算截面C的转角。设弯曲刚度EI为常数。题139图解:由于截面没有转角相应的外力偶,故需虚加一个力偶m。注意(1)用卡氏第二定理时,在求某点位移(转角)时,则在求位移点沿求位移方向(转角)必须有一相应的集中力(集中力偶)。若实际结构不存在相应

48、的力(力偶),则需虚加相应力(力偶)。在对相应力(力偶)求偏导后,令虚加力(力偶)为零。(2)卡氏第二定理可有二种形式(以弯曲为例)、 (3)当求下梁A点的位移 时,必须先把A点外力记为FA,再用 求A 点位移 ,最后,FA用F表示。若直接用 求出的 物理意义为A点F方向位移与C点F方向位移代数和。 1310(1111)图示等截面杆,承受轴向均布载荷q及集中载荷F作用。试用卡氏第二定理计算杆端截面A的轴向位移。设拉压刚度EA为常数。题1311图  解: 1(133)图示圆截面钢杆,直径 d= 20 mm,杆长 l= 2 m,弹性模量 E=210GPa,一重量为P= 500 N的冲击物

49、,沿杆轴自高度 h=100 mm处自由下落。试在下列两种情况下计算杆内横截面上的最大正应力。杆与突缘的质量以及突缘与冲击物的变形均忽略不计。 (1)冲击物直接落在杆的突缘上(图a); (2)突缘上放有弹簧,其弹簧常量k=200 Nmm(图 b)。解:   2(135)图示等截面刚架,一重量为P=300 N的物体,自高度 h50 mm处自由下落。试计算截面A的最大铅垂位移与刚架内的最大正应力。材料的弹性模量 E= 200 GPa,刚架的质量与冲击物的变形均忽略不计。题135图M图M0图解: 3(136)图示悬臂梁,一重量为P的物体,以速度v沿水平方向冲击悬臂梁端部的截面A。试求该截面的

50、最大水平位移与梁内的最大弯曲正应力。材料的弹性模量为E,梁的质量与冲击物的变形均忽略不计。解: 4(137)图示两根正方形截面简支架,一重量为P= 600 N的物体,自高度 h= 20 mm处自由下落。试在下列两种情况下计算梁内的最大弯曲正应力; (1)二梁间无间隙; (2)二梁间的间隙d=2mm。已知二梁的跨度 l= 1m,根截面的边宽 a= 30 mm,弹性模量 E= 200 GPa。梁的质量与冲击物的变形均忽略不计。解:(1) 一次静不定问题。设两梁相互作用为R,由变形协调条件: (2)设上梁冲击点变形到最低点时动载荷为Pd ,两梁相互作用为Rd,由变形协调条件: 冲击物位能改变为 上梁

51、的变形能为 下梁的变形能为 由能量守恒由(1)、(2)解得: 第 十四 章   静不定问题1(141)试判断图示各结构的静不定次数。解:(a) 4次静不定问题(3次内力静不定,1次外力静不定)。(b) 3次静不定问题(2次内力静不定,1次外力静不定)。(c) 1次静不定问题(1次内力静不定)。(d) 1次静不定问题(1次内力静不定)。 2(132)图示各刚架,弯曲刚度EI均为常数。试求支反力,并画弯矩图。解:(a) 1次静不定问题。相当系统如上右图。相当系统M图单位载荷结构 3(143)图示圆弧形小曲率杆,弯曲剧度EI为常数。试求支反力。对于题(b),并计算截面A的水平位移

52、。解:(a) 1次静不定问题。 相当系统M图单位载荷结构解:(b) 1次静不定问题。  相当系统 单位载荷结构计算截面A的水平位移略。 4(144)图示桁架,各杆各截面的拉压刚度均为EA。试求杆BC的轴力。解: 1次静不定问题。相当结构 单位载荷结构 5(145)图示小曲率圆环,承受载荷F作用。试求截面A与C的弯矩以及截面A与B的相对线位移。设弯曲刚度EI为常数。题145图相当系统解:(1)求截面A与C的弯矩由对称性取相当系统如图求qA单位载荷结构求DAB单位载荷结构(2)求截面A与B的相对线位移 6(146)图示结构,承受载荷F作用。试计算杆BC的轴力及节点B的铅垂位移。(a)  题146图解:(a)取相当系统如图相当系统M图N图单位载荷结构M0图N0图(b)解略 7(147)试画图示刚架的弯矩图。设弯曲刚度EI为常数。(a)(b)题147图(a)      提示:由对称性取相当系统如图,解略(b)      提示:由反对称性取相

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