实数集与函数PPT学习教案

1、会计学1实数集与函数实数集与函数第1页/共95页1. 我们用符号“” 表示“任取”或“对于任意的”或“对于所有的” ,符号“” 称为全称量词.几个常用符号几个常用符号第2页/共95页2. 我们用符号“”表示“存在”.例：命题“对任意的实数x, 都存在实数y, 使得x+y=1”可表示为“xR, yR,使x+y=1”符号“”称为存在量词.第3页/共95页3. 我们用符号“”表示“充分条件”比如, 若用p, q分别表示两个命题或陈述句. 或 “推出” 这一意思.则“ p q”表示“ 若p成立, 则q也成立”. 即p是q成立的充分条件.第4页/共95页4. 我们用符号“”表示“当且仅当”比如“p q”

2、表示“p成立当且仅当q成立” 或者说p成立的充要条件是q成立.或 “充要条件” 这一意思.第5页/共95页1.集合v集合 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 集合可用大写的字母A, B, C, D 等标识.v元素 组成集合的事物称为集合的元素. 集合的元素可用小写的字母a, b, c, d 等标识. a是集合M的元素记为aM, 读作a属于M. a不是集合M的元素记为aM, 读作a不属于M.第6页/共95页v集合的表示列举法 把集合的全体元素一一列举出来. 例如Aa, b, c, d, e, f, g. 描述法 若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所组成, 则M可表示为 Mx | x

3、具有性质P . 例如M(x, y)| x, y为实数, x2y21. 第7页/共95页v几个数集 所有自然数构成的集合记为N, 称为自然数集. 所有实数构成的集合记为R, 称为实数集. 所有整数构成的集合记为Z, 称为整数集. 所有有理数构成的集合记为Q, 称为有理集.v子集 如果集合A的元素都是集合B的元素, 则称A是B的子集, 记为AB(读作A包含于B). AB若xA, 则xB. 显然, NZ, ZQ, QR.第8页/共95页2.集合的运算 设A、B是两个集合, 则 ABx|xA或xB称为A与B的并集(简称并). ABx|xA且xB称为A与B的交集(简称交). ABx|xA且xB称为A与B

4、的差集(简称差). ACIAx|xA为称A的余集或补集, 其中I为全集.提示: 如果研究某个问题限定在一个大的集合I中进行, 所研究的其他集合A都是I的子集. 则称集合I为全集或基本集. 第9页/共95页v集合运算的法则 设A、B、C为任意三个集合, 则有 (1)交换律 ABBA, ABBA; (2)结合律 (AB)CA(BC), (AB)CA(BC); (3)分配律 (AB)C(AC)(BC), (AB)C(AC)(BC); (4)对偶律 (AB)CACBC, (AB)CACBC. (AB)CACBC的证明所以(AB)CACBC. xACBC, xAC且xBCxABxA且xB x(AB)C第

5、10页/共95页v直积(笛卡儿乘积) 设A、B是任意两个集合, 则有序对集合 AB(x, y)|xA且yB称为集合A与集合B的直积. 例如, RR(x, y)| xR且yR 即为xOy面上全体点的集合, RR常记作R2. 第11页/共95页说明: 对于负实数x,y,若有-x = -y与-x -y, 则分别称x = y与x x)3.实数集v两个实数的大小关系 说明: .自然规定任何非负实数大于任何负实数.)2 , 1(, 2 , 1,. 90 , 90), 2 , 1(,.,.110000210210 xyyxx，yyxbalkbalbay；x，yxkbaba，kba，babbbbyaaaaxl

6、lkkkkkkkknn或分别记为小于或大于则称而使得或存在非负整数若记为相等与则称若有为整数为非负整数其中 给定两个非负实数LLLLLLL 定义1 第12页/共95页定义2 LLLL, 2 , 1 , 0101.210210，nnxxx，nxaaaaxaaaaxnnnnnn位过剩近似的称为而有理数位不足近似的为实数称有理数为非负实数设说明: .101.210210210nnnnnnaaaaxaaaaxnaaaaxLLLL-与分别规定为位不足近似与过剩近似的负实数说明: .,210210LLxxx，nxxxx，nxxnn即有增大时不增当过剩近似即有增大时不减当的不足近似实数第13页/共95页命题

7、1 .,:.位过剩近似的表示位不足近似的表示其中的充要条件是则为两个实数与设nyy，nxxyxNnyx，bbbyaaaxnnnnLL第14页/共95页v实数的性质 1.实数集R对加,减,乘,除(除数不为0)四则运算是封闭的.即任意两个实数和,差,积,商(除数不为0)仍然是实数. 2.实数集是有序的.即任意两个实数a, b必满足下述三个关系之一: a b .第15页/共95页3.实数集的大小关系具有传递性.即若a b, b c,则有acv实数的性质 .，则存在正整数 n,使得 nb a. 即对任何4.实数具有阿基米德性,a b 0,第16页/共95页5.实数集R具有稠密性.即任何两个不相等的实数

8、之间几有另一个实数,且既有在理数,也有无理数.6.实数集R与数轴上的点具有一一对应关系.即任一实数都对应数轴上唯一的一点,反之,数轴上的每一点也都唯一的代表一个实数.v实数的性质 第17页/共95页例1 证明 .:,yrxr，yx满足存在有理数证明为实数设.,)(21.,yrxyyrxx，ryxryxn，yxnnnnnn即得且有为有理数则令使得故存在非负整数由于第18页/共95页.,:,babaRba则有若对任何正数证明设ee例2 .,.bababababa，从而必有矛盾这与假设为正数且则令有则根据实数的有序性假若结论不成立用反证法eeee证明 第19页/共95页3.小结 P9: 1, 2,

9、3, 4, 5.(1), 两个实数的大小关系;:作业(2), 实数的性质;(3), 区间和邻域的概念;(4), 确界原理.第20页/共95页第21页/共95页 数集x|axb称为开区间,记为(a, b), 即 (a, b)x|axb. a, bx|axb闭区间. a, b)x|axb半开区间, (a, bx|axb半开区间.v有限区间 上述区间都是有限区间, 其中a和b称为区间的端点, b-a 称为区间的长度.1.区间和邻域 第22页/共95页 (-, b x|xb, (-, ) x| |x|. a, ) x|ax,v无限区间 (-, b) x|xb, (a, ) x|a0, 则称 U(a,

10、)(a-, a)x| |x-a|为点a的邻域, 其中点a称为邻域的中心, 称为邻域的半径.v去心邻域U(a, )x|0|x-a|NMnMnMN，).()()(),()(下界的一个上界称为数的数集下界为有上界则称都有使得对一切若存在数中的一个数集是设SLM，SLxMxS，x，LM，RS.有下界而无上界为正整数数集例如nnN 第25页/共95页定义2 说明: Sxx1x2x3x4x5xn,)(xaxSx使得x0，S的最小上界又是即x;.,)(的上界是即有满足若数中的一个数集是设SxSxi，RSxxx.supS，Sxx记作的上确界为数集则称数 同理可得下确界的定义.定义3: ;.,)(的下界是即有满

11、足若数中的一个数集是设SxSxi，RShhh.inf,)(00S，S，SxSxiihhhbhb记作的下确界为数集则称数的最大下界又是即使得第26页/共95页u 确界原理 设S为非空数集,若S有上界,则S必有上确界;若S有下界,则S必有下确界.例3 设 A, B为非空数集,满足:.,yxByAx有证明数集 A有上确界, 数集B有下确界,且.infsupBA证: 故有确界原理知,数集A有上确界,数集B有下确界. 是数集A的一个上界,而由上确界的定义知,Byy由假设,数集B中任一数 都是数集A的上界, y A中任一数 都是B的下界,xy.supA 是数集A的最小上界, 故有supA第27页/共95页

12、下确界都存在的上因此，S设设A,B为非空有限数集为非空有限数集, . 证明证明:BAS 而此式又表明数 是数集B的一个下界, supA 故由下确界的定义证得 .infsupBA例4 证:显然是非空有界数集由于BASBxAxBxAxSxisupsup,)(或或有,sup,supmaxBAx 从而有;sup,supmaxsup)(BASi.inf,infmininf)(BASiisupS;sup,supmaxBA 故得第28页/共95页,supsupsup,SASxSxAx，另一方面.supsupSB 同理又有 综上,即证得.sup,supmaxsupBAS (ii) 可类似证明.supS.sup

13、,supmaxBA 所以第29页/共95页3.小结 P9: 1, 2, 3, 4, 5.(1), 两个实数的大小关系;:作业(2), 实数的性质;(3), 区间和邻域的概念;(4), 确界原理.第30页/共95页第31页/共95页说明: 记号f和f(x)的区别: 前者表示自变量x和因变量y之间的对应法则, 而后者表示与自变量x对应的函数值. 说明: 为了叙述方便, 常用记号“f(x), xD”或“yf(x), xD”来表示定义在D上的函数, 这时应理解为由它所确定的函数f . 说明: 函数的记号是可以任意选取的, 除了用f 外, 还可用“g”、“F”、“”等, 此时函数就记作yg(x)、 yF

14、(x)、y(x)等. 但在同一问题中, 不同的函数应选用不同的记号. 设数集DR, 则称映射f : D R为定义在D上的函数, 通常简记为 yf(x), xD, 其中x称为自变量, y称为因变量, D称为定义域, 记作Df, 即DfD. 1.函数概念 v定义 第32页/共95页 构成函数的要素是定义域Df及对应法则f. 如果两个函数的定义域相同, 对应法则也相同, 那么这两个函数就是相同的, 否则就是不同的. v函数的两要素 函数的定义域通常按以下两种情形来确定: 对有实际背景的函数, 根据实际背景中变量的实际意义确定. v函数的定义域 对抽象地用算式表达的函数, 其定义域是使得算式有意义的一

15、切实数组成的集合, 这种定义域称为函数的自然定义域. 第33页/共95页 表示函数的主要方法有三种: 表格法、图形法、解析法(公式法). 用图形法表示函数是基于函数图形的概念, 坐标平面上的点集 P(x, y)|yf(x), xD称为函数yf(x), xD的图形. v函数的表示法第34页/共95页v单值函数与多值函数 在函数的定义中,对每个xD, 对应的函数值y总是唯一的, 这样定义的函数称为单值函数. 如果给定一个对应法则, 按这个法则, 对每个xD, 总有确定的y值与之对应, 但这个y不总是唯一的, 我们称这种法则确定了一个多值函数. 例如, 由方程x2y2r2确定的函数是一个多值函数:

16、此多值函数附加条件“y0”后可得到一个单值分支 221)(xrxyy-. 22xry-. 第35页/共95页 此函数称为绝对值函数, 其定义域为D(-, +),其值域为Rf 0, + ).例 6. 函数-0 0 |xxxxxy. 例6 例5 函数 y2. 这是一个常值函数,其定义域为D(-, ),其值域为Rf 2.v函数举例 第36页/共95页 此函数称为符号函数,其定义域为D(-, +) ,其值域为Rf -1, 0, 1. 例8 函数yx. 例7 例 7. 函数01000 1sgnxxxxy . 注: 设x为任上实数, 不超过x的最大整数称为x的整数部分, 记作x. 此函数称为取整函数,其定

17、义域为D(-, +),其值域为Rf Z.第37页/共95页例 6. 函数1110 2xxxxy . 例9 此函数的定义域为D0, 1(0, )0, ). 当 0 x1 时, xy2 当 x1 时, y1x. 例如2212)21(f2 1 2) 1 (f f(3)134.2212)21(f 2 1 2) 1 (f v分段函数 在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数. 当 x1 时, y1x. 第38页/共95页2.反函数 设函数 f : Df(D)是单射, 则它存在逆映射 f -1: f(D)D, 称此映射f -1为函数 f 的反函数. 按习惯, yf(x), x

18、D的反函数记成yf -1(x), xf(D). 例如, 函数yx3, xR是单射, 所以它的反函数存在, 其反函数为 31xy, xR. 31yx, yR. 函数yx3, xR的反函数是提问: 下列结论是否正确？第39页/共95页2.反函数v反函数 设函数 f : Df(D)是单射, 则它存在逆映射 f -1: f(D)D, 称此映射f -1为函数 f 的反函数. 按习惯, yf(x), xD的反函数记成yf -1(x), xf(D). 若 f 是定义在D上的单调函数, 则 f : Df(D)是单射, 于是 f 的反函数f -1必定存在, 而且容易证明f -1也是f(D)上的单调函数. 第40

19、页/共95页 相对于反函数yf -1(x)来说, 原来的函数yf(x)称为直接函数. 函数yf(x)和yf -1(x)的图形关于直线 yx 是对称的. v反函数 设函数 f : Df(D)是单射, 则它存在逆映射 f -1: f(D)D, 称此映射f -1为函数 f 的反函数. 按习惯, yf(x), xD的反函数记成yf -1(x), xf(D). 第41页/共95页3.复合函数 设函数yf(u)的定义域为D1, 函数ug(x)在D上有定义且g(D)D1, 则由 yfg(x), xD确定的函数称为由函数ug(x)和函数yf(u)构成的复合函数, 它的定义域为D, 变量u称为中间变量. 函数

20、g与函数 f 构成的复合函数通常记为f o g, 即 (f o g)(x)fg(x). 说明: g与f 构成的复合函数f o g的条件是: 是函数g在D上的值域g(D)必须含在f 的定义域Df 内, 即g(D)Df . 否则, 不能构成复合函数. 例如第42页/共95页4.函数的运算 设函数f(x), g(x)的定义域依次为D1, D2, DD1D2, 则可以定义这两个函数的下列运算: 和(差) f g : (f g)(x)f(x)g(x), xD; 积 f g : (f g)(x)f(x)g(x), xD; 商gf: )()()(xgxfxgf, xDx|g(x)0. 第43页/共95页 例

21、10 设函数f(x)的定义域为(-l, l), 证明必存在(-l, l)上的偶函数g(x)及奇函数h(x), 使得f(x)g(x)h(x). 提示: 如果f(x)g(x)h(x), 则f(-x)g(x)-h(x), 于是)()(21)(xfxfxg-, )()(21)(xfxfxh-. 证 作)()(21)(xfxfxg-, )()(21)(xfxfxh-, 证 则 f(x)g(x)h(x), 且)()()(21)(xgxfxfxg-)()()(21)()(21)(xhxfxfxfxfxh-)()()(21)(xgxfxfxg-)()()(21)(xgxfxfxg-, )()()(21)()(

22、21)(xhxfxfxfxfxh-)()()(21)()(21)(xhxfxfxfxfxh-)()()(21)()(21)(xhxfxfxfxfxh-. 第44页/共95页幂函数: yx (R是常数); 指数函数: ya x(a0且a1); 对数函数: yloga x (a0且a1), 特别当ae时, 记为yln x; 三角函数: ysin x, ycos x, ytan x, ycot x, ysec x, ycsc x; 反三角函数: yarcsin x, yarccos x, yarctan x, yarccot x . v基本初等函数 第45页/共95页(一)幂函数的图形 第46页/共

23、95页第47页/共95页同一坐标系中同一坐标系中幂函数的图象幂函数的图象)( 是常数是常数 xyoxy)1 , 1(112xy xy xy1 xy 第48页/共95页(二)指数函数的图形 第49页/共95页同一坐标系中指数函数的图象同一坐标系中指数函数的图象)1, 0( aaayxxay xay)1( )1( a)1 , 0( 第50页/共95页(三)对数函数的图形 第51页/共95页同一坐标系中对数函数的图象同一坐标系中对数函数的图象)1, 0(log aaxyaxyalog xya1log )1( a)0 , 1( 第52页/共95页正弦函数的图象xysin xysin(四)三角函数的图形

24、 第53页/共95页xycos xycos余弦函数的图象第54页/共95页第55页/共95页第56页/共95页(五)反三角函数的图象第57页/共95页第58页/共95页第59页/共95页第60页/共95页 设函数yf(u)的定义域为D1, 函数ug(x)在D上有定义且g(D)D1, 则由 yfg(x), xD确定的函数称为由函数ug(x)和函数yf(u)构成的复合函数, 它的定义域为D, 变量u称为中间变量. 函数 g与函数 f 构成的复合函数通常记为f o g, 即 (f o g)(x)fg(x). 说明: g与f 构成的复合函数f o g的条件是: 是函数g在D上的值域g(D)必须含在f

25、的定义域Df 内, 即g(D)Df . 否则, 不能构成复合函数. 例如v复合函数 第61页/共95页由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数, 称为初等函数. 都是初等函数. 例如, 函数21 xy-, xy2sin, 2cotxy v初等函数 第62页/共95页双曲函数 应用上常遇到的双曲函数是: 双曲正弦:2sh xxeex-双曲余弦:2ch xxeex-双曲正切:xxxxeeeexxx-chshth v双曲函数与反双曲函数 第63页/共95页v双曲函数与反双曲函数 双曲函数的性质比较 sin(xy)sin x cos ycos x s

26、in y. sh(xy)sh x ch ych x sh y, ch2 x- sh2 x1, ch(xy)ch x ch ysh x sh y, sh 2x2sh x ch x, ch 2xch2x+sh2x. 比较 cos(xy)cos x cos y sin x sin y. 第64页/共95页v双曲函数与反双曲函数 反双曲函数 双曲函数 ysh x, ych x, yth x的反函数依次记为 反双曲正弦: y=arsh x, 反双曲余弦: y=arch x, 反双曲正切: y=arth x.可以证明 )1ln(arsh 2xxxy, )1ln(arch 2-xxxy, xxxy-11ln

27、21arth . 第65页/共95页6.小结 P9: 1, 2, 4, 5, 7, 8 .(1), 基本初等函数的概念;:作业(2), 基本初等函数的图象及性质;(3), 复合函数的概念及性质;(4), 双曲函数的概念;(5), 初等函数的概念.第66页/共95页 (1) 符号函数符号函数 010001sgnxxxxy当当当当当当1-1xyoxxx sgnv几个特殊函数举例 第67页/共95页(2) 取整函数取整函数 y=xx表示不超过表示不超过 的最大整数的最大整数 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyo阶梯曲线阶梯曲线x第68页/共95页 是无理

28、数时是无理数时当当是有理数时是有理数时当当xxxDy01)(有理数点有理数点无理数点无理数点1xyo(3) 狄利克雷函狄利克雷函数数第69页/共95页(4) 取最值函数取最值函数)(),(maxxgxfy )(),(minxgxfy yxo)(xf)(xgyxo)(xf)(xg第70页/共95页 - - - - 0, 10, 12)(,2xxxxxf例如例如12- - xy12- - xy在自变量的不同变化范围中在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的对应法则用不同的式子来表示的函数式子来表示的函数,称为称为分段函数分段函数.第71页/共95页第72页/共95页1. 单调单调函数函数 单调

29、递增函数和单调递减函数统称为单调函数.xyof (x)单调递增xyof (x)单调递减设f (x)在(a, b)有定义. 若x1, x2(a, b). x10, 使x(a, b), 有| f (x) |M.则称f (x)在(a, b)内有界.否则, 称f (x)在(a, b)内无界.第82页/共95页若M1, 使x(a, b), 有 f (x) M1, 则称f (x)在(a, b)内有上界. M1称为它的一个上界,看图. 若M2, 使x(a, b), 有 M2 f (x), 则称f (x)在(a, b)内有下界. M2称为它的一个下界,看图.xyo abM2xyoabM1第83页/共95页f

30、(x)在(a, b)有界 f (x)在(a, b)既有上界, 又有下界.易见, 若f (x)在(a, b)有上界M1, 则它在(a, b)有无穷多个上界. 若f (x)在(a, b)有下界M2, 则它在(a, b)有无穷多个下界. 比如M2 1, M2 2, 都是它的下界.比如M1 +1, M1 +2, 都是它的上界.第84页/共95页可以证明, 在这无穷多个上界中必有一个最小的上界M, 称为f (x)在(a, b)的上确界.记作)(sup),(xfMbax在这无穷多个下界中必有一个最大的下界m, 称为f (x)在(a, b)的下确界.记作)(inf),(xfmbax第85页/共95页比如y=sinx, 由于|sinx|1. 所以, 1和-1分别是sinx的上界和下界. 若f (x)在(a, b)内不满足有界性定义4, 则称f (x)在(a, b)无界. 且可看出1是sinx的上确界. 而