ChapterThree 第三章

1、Fourier Series Representation of Periodic Signals第第3章章 周期信号的傅里叶级数表示周期信号的傅里叶级数表示本章内容：本章内容：. . 周期信号的频域分析周期信号的频域分析. . LTI系统的频域分析系统的频域分析. . 傅立叶级数的性质傅立叶级数的性质3.0 引言引言 Introduction v时域分析方法的基础时域分析方法的基础 ： 1)1)信号在时域的分解。信号在时域的分解。2)LTI系统满足线性、时不变性。系统满足线性、时不变性。v从分解信号的角度出发，基本信号单元必须满从分解信号的角度出发，基本信号单元必须满足两个要求：足两个要求：

2、 1.1.本身简单，且本身简单，且LTI系统对它的响应能简便得到。系统对它的响应能简便得到。 2.2.具有普遍性，能够用以构成相当广泛的信号。具有普遍性，能够用以构成相当广泛的信号。 3.1历史的回顾历史的回顾 （A Historical Perspective）任何科学理论任何科学理论, , 科学方法的建立都是经过许科学方法的建立都是经过许多人不懈的努力而来的多人不懈的努力而来的, , 其中有争论其中有争论, , 还有人为还有人为之献出了生命。之献出了生命。 历史的经验告诉我们历史的经验告诉我们, , 要想在要想在科学的领域有所建树，必须倾心尽力为之奋斗。科学的领域有所建树，必须倾心尽力为之

3、奋斗。今天我们将要学习的傅立叶分析法，也经历了曲今天我们将要学习的傅立叶分析法，也经历了曲折漫长的发展过程，刚刚发布这一理论时，有人折漫长的发展过程，刚刚发布这一理论时，有人反对，也有人认为不可思议。但在今天，这一分反对，也有人认为不可思议。但在今天，这一分析方法在许多领域已发挥了巨大的作用。析方法在许多领域已发挥了巨大的作用。v17681768年生于法国年生于法国v18071807年提出年提出“任何周任何周期信号都可以用正弦期信号都可以用正弦函数的级数来表示函数的级数来表示”v拉格朗日反对发表拉格朗日反对发表v18221822年首次发表年首次发表“热热的分析理论的分析理论”v18291829

4、年狄里赫利第一年狄里赫利第一个给出收敛条件个给出收敛条件傅里叶生平傅里叶生平17681830傅里叶的两个最重要的贡献傅里叶的两个最重要的贡献v“周期信号都可以表示为成谐波关系的正弦信周期信号都可以表示为成谐波关系的正弦信 号的加权和号的加权和”傅里叶的第一个主要论点傅里叶的第一个主要论点v“非周期信号都可以用正弦信号的加权积分来非周期信号都可以用正弦信号的加权积分来表示表示”傅里叶的第二个主要论点傅里叶的第二个主要论点v复指数函数复指数函数 、 是一切是一切LTI系统的特征函数。系统的特征函数。 、 分别是分别是LTI系统与复指数信号相对应系统与复指数信号相对应的特征值。的特征值。( )H s

5、( )H zstenz( )( )stH sh t edt( )( )nkH zh n z结论：结论：v只有复指数函数才能成为一切只有复指数函数才能成为一切LTI系统的特征函数。系统的特征函数。对时域的任何一个信号对时域的任何一个信号 或者或者 , ,若能将其若能将其表示为下列形式：表示为下列形式：( )x t( )x ntststseaeaeatx321321)(tskkkkesHaty)()(利用系统的齐次性与叠加性利用系统的齐次性与叠加性tststsesHaesHaesHatytx321)()()()()(332211tskkkeatx)(所以有所以有即：即：nkkkZanx)(nkkk

6、kZZHany)()(* *问题：问题：究竟有多大范围的信号可以用复指数信号的究竟有多大范围的信号可以用复指数信号的线性组合来表示？线性组合来表示？111( )s ts teH s e222()s ts teH s e333( )s ts teH s e由于由于Fourier Series Representation of Continuous-Time Periodic Signals一一. . 连续时间傅里叶级数连续时间傅里叶级数 成谐波关系的复指数信号集成谐波关系的复指数信号集: : 其中每个信号都是以其中每个信号都是以 为周期的，它们的公共为周期的，它们的公共周期为周期为 ，且该集合

7、中所有的信号都是彼此独，且该集合中所有的信号都是彼此独立的。立的。 0( )jktkte02k023.3 连续时间周期信号的傅里叶级数表示连续时间周期信号的傅里叶级数表示如果将该信号集中所有的信号线性组合起来，有如果将该信号集中所有的信号线性组合起来，有 显然显然 也是以也是以 为周期的。该级数就是为周期的。该级数就是傅里傅里叶级数叶级数， 为傅立叶级数的系数。为傅立叶级数的系数。 这表明用傅里叶级数可以表示连续时间周期信号，这表明用傅里叶级数可以表示连续时间周期信号，即即: : 连续时间周期信号可以分解成无数多个复指数连续时间周期信号可以分解成无数多个复指数谐波分量谐波分量。02( )x t

8、0( )jktkkx ta e0( )cosx tt001122jtjteeka00( )cos2cos3x ttt00003312jtjtjtjteeee在在该信号中，有四个谐波分量，即该信号中，有四个谐波分量，即, 3, 1 k显然该信号中，有两个谐波分量，显然该信号中，有两个谐波分量， 为相应为相应分量的加权因子分量的加权因子112a时对应的谐波分量。时对应的谐波分量。傅里叶级数表明：傅里叶级数表明：连续时间周期信号可以按傅立叶连续时间周期信号可以按傅立叶级数被分解成无数多个复指数谐波分量的线性组合。级数被分解成无数多个复指数谐波分量的线性组合。二二. .频谱频谱（Spectral）的概

9、念的概念 信号集信号集 中的每一个信号，除了成谐波关系中的每一个信号，除了成谐波关系外，每个信号随时间外，每个信号随时间 的变化规律都是一样的，的变化规律都是一样的，差别仅仅是频率不同。差别仅仅是频率不同。 在傅里叶级数中，各个信号分量（谐波分量）在傅里叶级数中，各个信号分量（谐波分量） 间的区别也仅仅是幅度（可以是复数）和频率不间的区别也仅仅是幅度（可以是复数）和频率不同。因此，可以用一根线段来表示某个分量的幅同。因此，可以用一根线段来表示某个分量的幅度，用线段的位置表示相应的频率。度，用线段的位置表示相应的频率。t( )kt121200001分量分量 可表示为可表示为0jte 因此，当把周

10、期信号因此，当把周期信号 表示为傅里叶级数表示为傅里叶级数 时时，就可以将就可以将 表示为表示为( )x t( )x t0( )jktkkx ta e这样绘出的图这样绘出的图称为称为频谱图频谱图0001cos()2jtjttee000a1a2a3a3a2a1agggggggg 频谱图其实就是将频谱图其实就是将 随频率的分布表示出来，随频率的分布表示出来，即即 关系。由于关系。由于信号的频谱完全代表了信号信号的频谱完全代表了信号，研究它的频谱就等于研究信号本身。因此，这种表研究它的频谱就等于研究信号本身。因此，这种表示信号的方法称为示信号的方法称为频域表示法频域表示法。kaka三.傅里叶级数的其

11、它形式傅里叶级数的其它形式 0000*( )jktjktjktjktkkkkkkkkx ta ea ea ea ekkaa或或*kkaa 若若 是实信号是实信号, ,则有则有)()(txtx，于是，于是( )x t若令若令kjkkaA e则则 为实数为实数0a0001kkjktjjktjkkkaA eeA ee0001()()01( )kkkjjktj ktj ktkkkkkkx tA eeaA eA e*kkjjkkkkaaA eA eQ即即：kkAAkk 表明表明 的的模关于模关于 偶对称偶对称，幅角关于幅角关于 奇对称奇对称。kakk0001( )kkjktjjktjkkkx taA e

12、eA ee0012cos()kkkaAkt 傅里叶级数的三角函数表示式傅里叶级数的三角函数表示式kkkaBjC 若令若令则则00101( )()()jktjktkkkkkkx taBjC eBjC e0001()()jktjktkkkkkaBjCeBjCe*kkaaQkkkkBjCBjC因此因此kkBBkkCC即即 的的实部关于实部关于 偶对称偶对称，虚部关于虚部关于 奇对称奇对称。kakk0001( )()()jktjktkkkkkx taBjCeBjCe00012cossinkkkaBktCkt 傅里叶级数的另一种三角函数形式傅里叶级数的另一种三角函数形式将此关系代入，可得到将此关系代入，

13、可得到四四. .连续时间傅里叶级数的系数确定连续时间傅里叶级数的系数确定如果周期信号如果周期信号 可以表示为傅里叶级数可以表示为傅里叶级数0( )jktkkx ta e02T( )x t则有则有00()( )jntj k ntkkx t ea e对两边同时在一个周期内积分，有对两边同时在一个周期内积分，有0000()00( )TTjntj kntkkx t edtaedt0000()00000cos()sin()TTTj k ntedtkntdtjkntdt0000( )Tjntnx t edta T00001( )Tjntnax t edtT即即 在确定此积分时，只要积分区间是一个周期即可，

14、在确定此积分时，只要积分区间是一个周期即可，对积分区间的起止并无特别要求，因此可表示为对积分区间的起止并无特别要求，因此可表示为00,Tknkn01( )jktkTax t edtT01( )Tax t dtT是信号在一个周期的平均值，通常称直流分量。是信号在一个周期的平均值，通常称直流分量。0a五五. .周期性矩形脉冲信号的频谱周期性矩形脉冲信号的频谱1001110 100 00 02sin11Tjktjkt TkTTkTaedteTjkTkT 01111101001000sin2222()sin ()kTTTTTSa kTckTkTTTTsinSa( )xxxsinsin ( )xc xx

15、其中其中10T0Tt( )x t 根据根据 可绘出可绘出 的频谱图。的频谱图。 称为占空比称为占空比ka( )x t102TT0( )Sa x1x0121sin ( )c x1x110212TT10214TT10218TT不变不变 时时0T1T 10212TT10214TT10218TT1T不变不变 时时0T 周期性矩形脉冲信号的频谱特征：周期性矩形脉冲信号的频谱特征： 1. 1. 离散性离散性 2. 2. 谐波性谐波性 3. 3. 收敛性收敛性 考查周期考查周期 和脉冲宽度和脉冲宽度 改变时频谱的变化：改变时频谱的变化：1.1. 当当 不变，改变不变，改变 时，随时，随 使占空比减小，使占空

16、比减小，谱谱线间隔变小，幅度下降线间隔变小，幅度下降。但。但频谱包络的形状不变频谱包络的形状不变，包络主瓣内包含的谐波分量数增加。包络主瓣内包含的谐波分量数增加。2.2. 2.2. 当当 改变，改变， 不变时，随不变时，随 使占空比减小，使占空比减小，谱线间隔不变，幅度下降谱线间隔不变，幅度下降。频谱的包络改变频谱的包络改变，包，包络络主瓣变宽主瓣变宽。主瓣内包含的谐波数量也增加。主瓣内包含的谐波数量也增加。0T12T1T1T 0T0T 1T0T表明：表明：奇信号的奇信号的 是关于是关于 的奇函数、虚函数。的奇函数、虚函数。当当 时，有时，有表明：表明：偶信号的偶信号的 是关于是关于 的偶函数

17、、实函数。的偶函数、实函数。当当 时，有时，有( )()x txt( )()x txt kaka02200212( )( )cosTTjktkTax t edtx tktdtTT02200212( )( )sinTTjktkTax t edtjx tktdtTT kk信号对称性与频谱的关系：信号对称性与频谱的关系：若若 以以 为周期为周期3.4 连续时间傅里叶级数的收敛连续时间傅里叶级数的收敛0( )jktkkx ta e002T( )x t 这一节来研究用傅氏级数表示周期信号的普遍这一节来研究用傅氏级数表示周期信号的普遍性问题，即满足什么条件的周期信号可以表示为性问题，即满足什么条件的周期信

18、号可以表示为傅里叶级数。傅里叶级数。一一. . 傅里叶级数是对信号的最佳近似傅里叶级数是对信号的最佳近似0T用有限个谐波分量近似用有限个谐波分量近似 时，有时，有( )x t0( )NjktNkkNxta eConvergence of the Fourier series误差为误差为( )( )( )NNetx txt 以均方误差作为衡量误差的准则，其均方误差为以均方误差作为衡量误差的准则，其均方误差为00220011( )( )( )( )NNNTTEtetdtx txtdtTT000*01( )( )NNjktjktkkTkNkNx ta ex ta edtT于是：于是：0220012(

19、 )cos()NNNkkkkkTkNkNEx tdtAA BTT 在均方误差最小的准则下，可以证明，此时在均方误差最小的准则下，可以证明，此时应满足：应满足：ka其中其中kjkkaA e00( )kjktjkTx t edtB e0001( )jktkTax t edtT这就是傅氏级数的系数这就是傅氏级数的系数结论：在均方误差最小的准则下，傅里叶级数结论：在均方误差最小的准则下，傅里叶级数是对是对周期信号的最佳近似。周期信号的最佳近似。傅里叶级数收敛的两层含义傅里叶级数收敛的两层含义： 是否存在是否存在? ? 级数是否收敛于级数是否收敛于 ? ?二二. . 傅里叶级数的收敛傅里叶级数的收敛(

20、)x tka 两组条件：两组条件： 1.平方可积条件：平方可积条件： 如果如果 则则 必存在。必存在。 能量有限能量有限 一定存在。一定存在。ka02( )Tx tdt ka( )x tQ 2. Dirichlet条件：条件： ，在任何周期内信号绝对可积。，在任何周期内信号绝对可积。 在任何有限区间内，只有有限个极值点，且极值在任何有限区间内，只有有限个极值点，且极值为有限值。为有限值。 在任何有限区间内，只有有限个第一类间断点。在任何有限区间内，只有有限个第一类间断点。0( )Tx tdt 0000011( )( )jktkTTax t edtx t dtTT 因此，信号绝对可积就保证了因此

21、，信号绝对可积就保证了 的存在。的存在。ka这两组条件并不完全等价。它们都是傅里叶级数这两组条件并不完全等价。它们都是傅里叶级数收敛的收敛的充分条件充分条件。相当广泛的信号都能满足这两组。相当广泛的信号都能满足这两组条件中的一组，因而用傅里叶级数表示周期信号具条件中的一组，因而用傅里叶级数表示周期信号具有相当的普遍适用性有相当的普遍适用性。几个不满足几个不满足Dirichlet条件的信号条件的信号三三. .Gibbs现象现象 满足满足 Dirichlet 条件条件的信号，其傅里叶级数是如的信号，其傅里叶级数是如何收敛于何收敛于 的。特别当的。特别当 具有间断点时，在间具有间断点时，在间断点附近

22、，如何收敛于断点附近，如何收敛于 ? ?( )x t( )x t( )x t1N 3N 7N 19N 100N 用有限项傅里叶级数表示有间断点的信号时，用有限项傅里叶级数表示有间断点的信号时，在间断点附近会不可避免的出现振荡和超量。超在间断点附近会不可避免的出现振荡和超量。超量的幅度不会随所取项数的增加而减小。只是随量的幅度不会随所取项数的增加而减小。只是随着项数的增多，振荡频率变高，并向间断点处压着项数的增多，振荡频率变高，并向间断点处压缩，从而使它所占有的能量减少缩，从而使它所占有的能量减少。Gibbs现象表明：现象表明：Properties of Continuous-Time Four

23、ier Series3.5 连续时间傅里叶级数的性质连续时间傅里叶级数的性质学习这些性质，有助于对概念的理解和对信号学习这些性质，有助于对概念的理解和对信号进行级数展开。进行级数展开。一一. . 线性：线性：若若 和和 都是以都是以 为周期的信号，且为周期的信号，且( )Fkx ta ( )Fky tb ( )x t( )y tT则则( )( )FkkAx tBy tAaBb 二二. .时移时移: :三三. .反转反转: :0 00()jktFkx tta e ( )Fkx ta 若若 是以是以 为周期的信号，且为周期的信号，且( )x tT则则02T若若 是以是以 为周期的信号，且为周期的信

24、号，且( )x tT( )Fkx ta 则则()Fkxta 四四. .尺度变换尺度变换: : 若若 是以是以 为周期的信号，且为周期的信号，且( )x tT( )Fkx ta 则则 以以 为周期，于是为周期，于是()x at/T a0/()()jkatFkTaax atbx at edtT 令令 ，当，当 在在 变化时，变化时， 从从 变化，变化，att0 /T a0T于是有：于是有：01( )jkkkTbxedaT ()Fkkx atba 五五. 相乘相乘: 若若 和和 都是以都是以 为周期的信号，且为周期的信号，且( )Fkx ta ( )Fky tb ( )x t( )y tT则则01(

25、 )( )( ) ( )jktFkTx ty tCx t y t edtT g001( )jltjktklTlCa ey t edtTg也即也即0()1( )j k ltkllk lTllCay t edtabT( ) ( )Flk lkklx t y tabab 六六. .共轭对称性共轭对称性: :若若 是以是以 为周期的信号，且为周期的信号，且( )x tT( )Fkx ta 则则katx)(由此可推得，由此可推得，对实信号有对实信号有： 或或kkaakkaakjkkaA e时有：时有：kkkkAA 七七. .Parseval 定理：定理：kkTadttxT22)(1表明：表明：一个周期信

26、号的平均功率就等于它所有谐波一个周期信号的平均功率就等于它所有谐波分量的平均功率之和分量的平均功率之和. .* * 掌握表掌握表3.1kkkaBjC时有：时有：kkkkBBCC 对实信号，对实信号，当当 时，时，( )()x txtkkaa（实（实偶函数）偶函数）当当 时，时，( )()x txt kkaa （虚奇函数）虚奇函数）例例1：kkTttx)()(-T1tT0)(tx)()()(11TtxTtxtg0/2/211( )TjktkTat edtTT01( )jktkx teT02T)(tg101T1T-TTt例例2：周期性矩形脉冲：周期性矩形脉冲将其微分后可利用例将其微分后可利用例1表

27、示为表示为（不记直流分量）（不记直流分量）)(tg1t01T1T设设( )( )FFkkg tcg tb 由由时域微分性质有时域微分性质有0kkbjkc由例由例1知知1/kaT根据时移特性，有根据时移特性，有0 10 10 12sinjkTjkTkkkbaeejakT0 10 11000 12sinsin2kkbkTkTTcjkkTTkT02 /T0k 考察成谐波关系的复指数信号集考察成谐波关系的复指数信号集: : 该信号集中每一个信号都以该信号集中每一个信号都以 为周期，且该集合中为周期，且该集合中只有只有 个信号是彼此独立的。个信号是彼此独立的。 Fourier Series Repres

28、entation of Discrete-Time Periodic Signals2( )jknNkneN一一. .离散时间傅里叶级数离散时间傅里叶级数（DFS） Discrete-Time Fourier SeriesN3.6 离散时间周期信号的傅里叶级数表示离散时间周期信号的傅里叶级数表示 将这将这 个独立的信号线性组合起来，一定能表个独立的信号线性组合起来，一定能表 示一个以示一个以 为周期的序列。即：为周期的序列。即：2( )jknNkkNx na e其中其中 为为 个相连的整数个相连的整数 这个级数就称为离散时间傅里叶级数（这个级数就称为离散时间傅里叶级数（DFS），），其中其中

29、也称为周期信号也称为周期信号 的频谱。的频谱。ka( )x n二二. . 傅里叶级数系数的确定傅里叶级数系数的确定给给 两边同乘以两边同乘以 ，得，得2( )jknNkkNx na e2jrnNeNNNk22() 21()()0,2()011j k rNjk r njk r nNNNj k rnNnNeeee22()( )jrnjk r nNNkkNx n ea e显然显然 仍是以仍是以 为周期的为周期的2( )jrnNx n e222()()( )jrnjk r njk r nNNNkknNnN kNkNnNx n ea eae 而而 2( )jrnNrnNx n eNakrkrN 显然上式

30、满足显然上式满足 即即 也是以也是以 为周期为周期的，或者说的，或者说 中只有中只有 个是独立的个是独立的。21( )jrnNrnNax n eN21( )jknNknNax n eN即即或或kNkaakaka对实信号同样有对实信号同样有：kkaakkaakkaa RRReRekkaaImImkkaa NN三三. .周期性方波序列的频谱周期性方波序列的频谱112121()()221jkjkNjkNNNNjkjkjkNNNeeeNeee211112(1)22111jkNNjNkNNjknNkjknNNeeaeNNe121kNaNkrN 显然显然 的包络具有的包络具有 的形状。的形状。kasins

31、inxx时时1sin(21)1sinkNNNkN0, 2 ,kNNkkk1220NN1110NN1210NN周期性方波序列的频谱周期性方波序列的频谱u 当当 不变、不变、 时，频谱的时，频谱的包络形状不变包络形状不变，只是只是幅度减小，谱线间隔变小幅度减小，谱线间隔变小。u 当当 改变、改变、 不变时，由于不变时，由于 的包络具有的包络具有 的形状，而的形状，而 ，可知其包络可知其包络形状一定形状一定发生变化。当发生变化。当 时，包络的第一个时，包络的第一个零点会远离零点会远离原点从而使原点从而使频谱主瓣变宽频谱主瓣变宽。这一点。这一点也与连续时间周期矩形也与连续时间周期矩形脉冲的情况类似。脉

32、冲的情况类似。1N1NNN kasinsinxx121N1N 三三. . DFS的收敛的收敛 DFS 是一个有限项的级数，确定是一个有限项的级数，确定 的关系的关系式也是有限项的和式，因而式也是有限项的和式，因而不存在收敛问题不存在收敛问题，也不，也不会产生会产生Gibbs现象现象。ka 周期序列的频谱也具有周期序列的频谱也具有离散性、谐波性离散性、谐波性，当在，当在 区间区间 考查时考查时，也具有也具有收敛性收敛性。不同的是，。不同的是，离散时间周期信号的频谱具有离散时间周期信号的频谱具有周期性周期性。 1. 相乘相乘 2. 差分差分周期卷积周期卷积Properties of Discret

33、e-Time Fourier Series 3.7 DFS的性质的性质DFS有许多性质，这里只选几个加以讨论。有许多性质，这里只选几个加以讨论。( )DFSkx na ( )DFSky nb ( ) ( )DFSklk llNx n y ncab ( )DFSkx na 00( )()(1)j nDFSkx nx nnea 3. 时域内插时域内插( )mx n ( / )x n m0nrmnrm若若 以以N为周期，为周期，则则 以以mN为周期。为周期。( )x n( )mxn( )Fmkxnh 令令21( )jknmNkmnmNhxn emN令令 ，则有，则有nrm时时0 nmN0 rN221

34、11( )( )jkrmjkrmNNkkrNrNhx r ex r eamNmNm4. Paseval定理定理左边是信号在一个周期内的平均功率，右边是左边是信号在一个周期内的平均功率，右边是信号的各次谐波的总功率。信号的各次谐波的总功率。上式表明：上式表明：一个周期信号的平均功率等于它的所一个周期信号的平均功率等于它的所有谐波分量的功率之和。有谐波分量的功率之和。也表明：也表明：周期信号的功周期信号的功率既可以由时域求得，也可以由频域求得。率既可以由时域求得，也可以由频域求得。221| ( )|knNkNx naN( )DFSkx na 称称 、 为系统的为系统的系统函数系统函数。( )H sFourier Series and LTI Systems( )( )stH sh t edt( )( )nnH zh n z( )H z LTI系统对复指数信号所起的作用只是给输入信系统对复指数信号所起的作用只是给输入信号加权了一个相应的特征值。号加权了一个相应的特征值。对连续时间系统对连续时间系统对离散时间系统对离散时间系统3.8 傅里叶级数与傅里叶级数与LTI系统系统如果如果sj有有()( )j tH jh t edt()H j被称为连续时间被称为连续时间LTI系统的系统的频率响应频率响应如果如果jze则则()( )