趣味结构力学——探索与实践

1、· 趣味结构力学探索与实践东南大学 单 建1 学习需要趣味 图1 孔子 图2 爱因斯坦 图3 陈省身学习需要趣味。孔子（图1）说：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者。”爱因斯坦（图2）说：“兴趣是最好的老师。”已故数学大师陈省身（图3）在被问到他为什么要把数学当作自己终身的事业时，回答得十分简单、可爱而又发人深省因为数学“好玩”。“好玩”者，有趣也。研究一门学问或者学习一门课程，能否从中发现并获得乐趣，效果大不相同。· 2 结构力学好玩吗？对于土木工程专业的学生来说，结构力学是一门十分重要，又相当难学的课程。作者曾在课堂上谈到结构力学的趣味性问题，说“结构力学可能是你们在

2、大学阶段最有趣味的课程之一”，结果非但没有引起如期的共鸣，反倒是有学生在下面窃窃私语，掩口而笑，似乎老师的话乃是诳语。就在那一刻，作者产生了写一本趣味结构力学的冲动。其实，结构力学不但有趣，而且相当有趣。这是作者从多年的结构力学教学实践中获得的体会之一。结构力学的趣味性来自于其研究思路的逻辑性、研究内容的系统性、研究对象和方法的多样性和它贴近工程的实践性。逻辑性，故能引人入胜，使人乐此不疲；系统性，故能举一反三，时时温故知新；多样性，故能灵活运用，感到乐在其中；实践性，易于触类旁通，趣味层出不穷。总之，结构力学的“趣”是和蕴含于其中的“道”联系在一起的。学好结构力学，既能积累知识，又能启发心智

3、、锻炼思维，开拓视野、提高能力，从而为今后的学习和工作打下良好的基础。3 结构力学教师的责任能否收到上面所说的效果，重要的问题是“怎样教”和“怎样学”。一门有趣的课程，不见得人人都觉得有趣，学生如此，教师未必不如此。其中，教师是主导方面。如果教师不能把课程的趣味性挖掘出来，在教学中有意识地加以阐发和利用，去激发、调动学生的学习兴趣，学生自己是很难去发现其中的趣味的。教师干巴巴地教，学生苦巴巴地学，再有趣的课程也教不好、学不好。质言之，结构力学教师的责任是：挖掘趣味性；引导学生“好之”、“乐之”；在“传道、授业、解惑”的过程中培养学生的学习能力和钻研精神。然而现实情况是：不少教师仅仅以使学生“知

4、之”为目标，而很少去引导他们“好之”、“乐之”，结果往往是学生连“知之”的要求也做不到。在结构力学的趣味性教学方面，作者的老师龙驭球先生堪称典范。龙先生在他的结构力学教程中大讲“方法论”，不仅授业、解惑，更注重传道。在“传道”时，他旁征博引，妙趣横生，引用诸葛亮、尼采、钱钟书、郑板桥、齐白石、孔子、苏东坡等中外古今名人的论述，使读者感到结构力学决不是什么“枯燥无味”的学问。书中的语言生动，言简意赅：郑板桥的一副对联“删繁就简三秋树，领异标新二月花”，深刻地阐明了“学习”和“创新”的道理；“手算怕繁，电算怕乱”八个字，形象地总结了“手算”与“电算”两者的特点和区别4 趣味结构力学六题（新）基于以

5、上认识，作者近几年来在结构力学教学以及相关的科研乃至日常生活中对于“结构力学”和“趣味”的结合给予了特别的留意，积累、搜集了一定数量的素材，写成了趣味结构力学一书。本书的目的很简单，就是使读者觉得结构力学确实有点“好玩”，从而对结构力学“教”与“学”两个方面的趣味性起到一定的促进作用。它的部分内容曾在2006年教育部高校力学教学指导委员会结构力学及弹性力学指导小组工作会议上作过报告，题目是“趣味结构力学六题”，这里不再重复；下面是“新六题”。4-1       形形色色的“链杆”链杆就是仅在两端与结构的其余部分铰接的杆件。链杆可长可短

6、，如图4所示；链杆可以是直杆，也可以是折杆、曲杆，图5中的折杆1和4、图6中的曲杆1和3都是链杆，它们的作用可以用图中虚线所示的直杆代替。图4  链杆可长可短                                    

7、                图5  折链杆                                 图6 曲链杆在几何组成分析中

8、，地基通常被当成“刚片”看待，但地基有时也可以当成链杆。图7所示的体系，如果将地基看成链杆，如图中的虚线所示，就很容易用“三刚片规则”分析，得出“几何瞬变”的结论。这里地基之所以能够当成链杆，是因为它符合链杆的基本要求，即仅在两点与结构的其余部分铰接。图7 地基也能当链杆· 4-2       瞬变，还是常变？                  &

9、#160;                       关于瞬变体系和常变体系，常见的定义是：                    常变体系是“可发生大量（或有限量）运动”的体系；   &

10、#160; 瞬变体系是“只能发生微小运动” 且“微小运动后几何不变”的体系。       这两个定义存在着不明确之处，例如“大量”和“微小”的界限就很不清楚。不少作者针对这一问题提出了改进的建议。下面是由于上述定义不明确而导致“悖论”的一个例子。图8a所示的体系显然是不能发生大量运动的，因此根据上述定义，它不是常变体系。它的一种运动形式如图8b所示，按这一形式发生微小运动后，它并没有成为几何不变体系；这时它虽不能按原来的形式继续运动，但仍可通过微小运动变成其它形式，如图8c所示；而图8c也不是什么“终极”状态，运动仍然可以按其它形式继

11、续发生。由此观之，图8a所示的体系也不是瞬变体系。事实上，体系的计算自由度W = 1，这是体系无论怎样运动也不会改变的，因此它永远不会成为几何不变体系。  图8 瞬变，还是常变？以上例子说明：常变或瞬变的本质区别，不在机构运动量的大小，而在转变为不变体系的可能性是否存在。“常变”就是“始终能变”。常变体系“大量运动”的定义仅适用于只有一个机构位移模态的体系，而图8中的体系具有两个机构位移模态，它可以通过微小运动在不同模态及其组合形式之间不断“切换”。4-3       直觉弄人对于研究者来说，敏锐的直觉是很宝贵的。然而，有时

12、直觉也会捉弄或误导我们，因而我们不能过分相信自己的直觉，甚至不能过分相信自己的眼睛。图9是眼睛不能相信的两个例子。在图9a中，两个梯形的上底长度相等，但看起来却是上边的那个长些；图9b 中梯形的上底长度好像长于下底的三分之一，其实两者也是等长的。          图9  眼睛不可信之二例                

13、0;                                                 

14、0;                        图10 “跷跷板”的平衡                   结构力学中也有类似的例子。图10a所示结构，利用静定结构的性质容易判断AB杆

15、的内力为零，其弯矩图如图10b所示，一般都不会画错。但有人偏要这样想：如果移去AB杆，则BD杆在荷载作用下会发生图10c所示的变形，B端将会下降；而AB杆要限制这种变形，它会因BD杆的反作用而向下弯曲。AB杆怎么会没有弯矩呢？ 以上困惑源自“错觉”。第一，它将“平衡”和“对称”不必要地捆在了一起；第二，它混淆了“结构”和“机构”的概念。如果移去AB杆，则BD杆在荷载作用下可在任意位置实现平衡（随遇平衡），如同一个跷跷板；它成了一个机构，在不同平衡位置之间转换不需要外力，因此AB杆不受力，也不会变形。事实上，图10a所示结构的变形如图10d所示，其中B点不动而D点的位移是图10c中D点位移的两倍

16、。再举一个例子。图11a中，CF杆受拉还是受压？这是个定性分析问题，根据“隔离体平衡法”可以判断CF杆受拉，如图11b所示。但如果凭“直觉”，则容易得出相反的结论。                                     图

17、11  CF杆受拉还是受压？  有人想：如果没有CF杆，AD杆将发生图12a所示的弯曲。CF杆要抵抗这一变形倾向，因此很显然：CF杆受压！然而实际情况是：如果没有CF杆，结构将变成机构，相应的机构位移如图12b所示，C、F间的距离将增大。CF杆要抵抗这一变形倾向，因此同样很显然：CF杆受拉！                        

18、                  图12  两种直觉 从以上两个例子可见，人们之所以会被直觉所欺骗，之所以会产生错觉，往往与自己的“思维定势”有关，与某种“经验”的不假思索的推广有关。为了获得真正可靠的、有益的直觉，必须在加强“三基”（基本概念、基本原理、基本方法）上多下功夫。4-4       定性分析又一例定性结构力学或概念结构力学正在引起结构力学同人

19、的广泛重视。上面的第二个问题可作为定性分析的一个例子。下面再贡献一个例子。图13a所示的桁架中，各杆 EA；问：BC杆是拉杆、压杆还是零杆？这个桁架是超静定的，题目没有给出各杆的长度和相对刚度，因此如果进行定量计算，条件是不够的，但这并不妨碍我们对它的杆件的受力情况作定性判断。定性判断的一个思路是用力法。切断BC杆，采用图13b所示的基本体系，容易判断基本结构在荷载作用下只有BD杆受压，而在单位多余力作用下，BD杆也受压。因为EA，所以；而总是正的，所以，BC杆是压杆。          

20、60;            图13 BC杆受拉还是受压？本题还可以用更直接了当的方法来回答。因为原结构中BD杆总是受压而它的EA，所以BD两点的距离将缩短，将BD杆连同它所承担的一部分荷载移去，得到的静定结构如图13c所示，显然BC杆是压杆。4-5       随心所欲的刚度杆件截面的抗弯刚度EI 和极限弯矩 Mu 有何关系？回答是两者并无确定关系，它们不但不成比例，甚至可能EI 大的截面Mu反而小。  

21、                        图14 求极限荷载的例题 在求极限荷载的问题中，一般都只给出结构各部分的极限弯矩，而不给出抗弯刚度，因为第一，用平衡法或虚功法求极限荷载，只需要知道结构各部分的极限弯矩，不需要知道抗弯刚度；第二，用增量变刚度法求极限荷载，在结构变为静定之前的每个阶段都需要给出结构各部分抗弯刚度的相对值，但是抗弯刚度（包括结点刚度）可任意

22、假设并且可以分阶段采用不同的相对刚度，这样只影响计算过程，不影响最终结果。        弄清楚了上面的第二点并且运用得当，在用增量变刚度法求极限荷载时可以收到简化计算的效果。例如求图14所示刚架的极限荷载，                       图15 随心所欲的刚度   可以采用

23、以下步骤： 1）弹性阶段。设结点B、D的刚度为0，即设这两个结点为铰结点，求得FP1 = 2 Mu / l，本阶段结束，在支座A、E各形成一个塑性铰，如图15a所示；2）两个塑性铰阶段，设柱 EI ，梁 EI，求得荷载增量FP2 = Mu / l，结点C形成第三个塑性铰，如图15b所示；3）三个塑性铰阶段，结构静定，荷载增量FP3 = 0.5 Mu / l，结点D形成第四个塑性铰，如图15c所示；4）将以上三步的荷载增量相加，得极限荷载FPu = 3.5 Mu / l，极限状态下的弯矩图如图15d所示。在以上过程中，由于灵活假定结构各部分的相对刚度，特别是假定结构某些部分的刚度或为零

24、、或为无穷大，计算比较简单。4-6       飘忽的塑性铰讲到增量变刚度法，龙驭球、包世华二位先生主编的结构力学中有这样一段提醒：“在上述计算过程中均假定在加载过程中，已经形成的塑性铰不再受到反向变形而恢复其弹性作用。如果结构的实际变形不符合上述假定，则上述算法需要修改。” 换句话说，计算过程中有可能出现以下现象：加载 形成塑性铰 再加载 塑性铰消失（恢复弹性）    继续加载 形成新塑性铰 破坏（极限状态）似乎塑性铰是飘忽不定的，它会在此处出现，消失，然后又在别处出现，这未免有点难以置信。下面举一个例

25、子来打消这种怀疑。图16a所示梁，Mu 常数，求它的极限荷载。用虚功法或平衡法可求得FPu = 4 Mu / （7a），极限状态下的弯矩图和破坏机构分别如图16b、c所示；塑性铰分别出现在B、E截面。用增量变刚度法计算这一问题，可以采用三个不同方案：1  设梁的EI常数；2    设AB段EI，BC段EI（相当于设梁段BC在B端固定）；图16 飘忽的塑性铰3    设AB段EI，BC段EI（相当于设梁段BC在B端铰支）。按照方案1或方案2，不会出现塑性铰飘忽不定的问题，只是塑性铰出现的顺序有所不同，前者为E、B，后者为B、E；按照方案3，计算过程如下：            1）弹性阶段结束时，相应的弯矩图如图16d所示，在截面D形成一个塑性铰，如图16e所示；2）一个塑性铰阶段，结束时弯矩图如图16f所示，DE 段形成无限多个连续塑性铰，如图16g所示，但破坏机构并未形成，图中虚线所示的运动是不可能的，因为虚线左端塑性铰的转动方向与塑性铰所受的弯矩方向相反；3