损伤与断裂力学第4章(矿大)高峰

1、第4章 线弹性断裂力学 的基本理论4-1 应力强度因子概念和能量释放观点的统一 假设不考虑塑性变形能、热能和动能等其它能量的损耗，则能量转换表现为所有能量在裂端释放以形成新的裂纹面积。下面以带有穿透板厚的I型裂纹的平板为例，来建立应力强度因子和能量释放率间的关系。 裂纹尖端正前方的应力分布 裂纹长度(或裂纹半长度)为a的裂纹端点正前方r处有使裂纹面撑开的拉伸应力: rKrIy2)0 ,(23sin2sin12cos2rKIy裂纹面上的位移 在初始应力如上式给出的情形下，设裂纹可以延长a长度，即把裂端前方撑开成长度为a+s的裂纹。此时在原坐标系的x=r处或离新裂纹端点s-r处，新裂纹上表面的位移

2、v(s-r,)：2sin2cos2) 1(2222/1rKvIsaIKrsrsv221),(裂纹形成时外力做功 当裂纹表面张开至上式给出的位移值时，裂纹表面才当裂纹表面张开至上式给出的位移值时，裂纹表面才真正形成，此时裂纹表面已无应力作用。由于作用力与位真正形成，此时裂纹表面已无应力作用。由于作用力与位移同向，当裂纹长度延长移同向，当裂纹长度延长s时，作用力对裂纹上表面所做的时，作用力对裂纹上表面所做的功为：功为：Bdrrsvrsy02),()0 ,(B为平板的厚度能量释放与应力强度因子 按照Griffith能量释放的观点，裂纹长度延长s时，此裂纹端所释放的能量将等于裂纹上下表面所做的功。因此

3、，按照I型裂纹能量释放率GI的定义 :当s0时，有KIa+s KI，经过积分得：BdrrsvrBsGsysI002),()0 ,(2lim281IIKG简化的统一形式对于平面问题，若取有效弹性模量对于平面问题，若取有效弹性模量E1和有效泊松比和有效泊松比1，而而平面应力平面应力平面应变平面应变则平面应力和平面应变状态下的本构关系及其解均将完全相同则平面应力和平面应变状态下的本构关系及其解均将完全相同 。于是：于是：211EEE1112EKGII这这就是就是著名的能量释著名的能量释放率与应力强度因子放率与应力强度因子的关系式。的关系式。 其余裂纹类型情况 上式成立是基于裂纹沿原方向扩展的假设上。

4、若假设II型裂纹和III型裂纹的扩展方向也是裂端正前方，则有： 如果带裂纹的平板受到I，II，III三种载荷而成复合型裂纹时，若仍假设裂纹沿原方向扩展，则总能量释放率为 ：EKGEKGIIIIIIIIII212)1 (EKEKKGGGGIIIIIIIIIIII2122)1 (提 示 实验结果指出，除实验结果指出，除I型裂纹可以沿原方向型裂纹可以沿原方向扩展外，其余裂纹型往往不沿原方向扩展。扩展外，其余裂纹型往往不沿原方向扩展。因此总能量释放率只是近似估计式。如果要考虑裂纹真正的扩展方向来计算，这已不是解析的方法所能做到，必须要用数值解法，同时还要一套断裂理论指出裂纹开裂的方向。?练 习思考题思

5、考题 为何不同型裂纹的能量释放率可以线性叠加为何不同型裂纹的能量释放率可以线性叠加?而应力强而应力强度因子却不能度因子却不能?习题习题 试建立试建立IIII型和型和IIIIII型裂纹的应力强度因子和能量释放率型裂纹的应力强度因子和能量释放率之间的关系之间的关系 。4-2 柔度法 柔度法是通过柔度随裂纹长度而改变这个性质，用测量的方法来得到G，然后再利用G与K的关系来得到K值。 由于I型裂纹的G与K的关系式是精确的，并且I型裂纹容易施加载荷，所以柔度法一般只用在I型裂纹。 I型裂纹是最危险的。恒载荷和恒位移时G的表达式 当边界是给定位移时，外界对系统不做功，则这是恒位移时能量释放率的表达式 。若

6、系统边界某范围是给定载荷 ，这是恒载荷时的能量释放率表达式。柔度法一般限制在二维问题，尤其是I型裂纹，柔度法通常用来做应力强度因子的标定dAUWdG)(dAdUGdUPddW2pdAdUG恒载荷柔度法 一块很长的矩形板，板厚为B，板下边固定，上边某点有拉力P，载荷点位移为。拉力P方向垂直裂纹面。在裂长为a时，拉力P可产生位移(a)，当裂纹增至 时，位移也增至 :因为位移和拉力有如下关系 ,C是柔度 ,于是：aa)(aaaaaaa)()(aaCPaaPPUP22212CPPaCBPaBUG22恒位移柔度法 长矩形板如图，一边固定，另一边强迫作位移 后也加以固定。假设裂纹长度 由增至 ，则应变能的

7、改变是OBC减去OAC，即等于负的OAB的面积，。此时，载荷改变量P也是负值。 caaa1;21CPPUc)(2)(221121aCBaCBaBPdAdUGcccc 应该指出，载荷与位移之间的正比关系是建立在材料服从虎克定律的基础上，因此要求裂纹尖端的塑性区是微小的，如果裂端塑性区大到不可忽略时，则载荷与位移之间的线性关系不再成立，这时属于弹塑性断裂力学的范围。 柔度法一般应用于恒载荷时平板的I型裂纹问题，要求裂纹前沿整齐，有相同的能量释放率。整个应力强度因子标定的步骤如下 (1) 选定一标准试件长条板单边裂纹试件，用薄刀片加工，制成长为a1的I型裂纹。然后材料试验机上拉伸，画出拉力和加载点位

8、移关系线。此时关系应是线性的。 拉力值不得大到使P-关系产生非线性。下一步，再度使裂纹稍稍延长至长度a2，有在同一张纪录纸上记下此时的P-关系。如此进行至少十多次，裂纹长度已相当长时才停止。 (2) 求出不同裂纹长度下的柔度C，柔度C是直线P-斜率的倒数。把柔度与裂长的关系画在图中。若是数据点足够多，可用最小二乘法把数据点拟合成一条多项式表示的曲线。 44332210)()()()(habhabhabhabbBECPaCBPaBUG22)(4)(3)(22134232122habhabhabbPEhGB2134232121)(4)(3)(2)2(habhabhabbhBPK12EKGII 习题

9、1.求恒拉力下双悬臂梁试件的应力强度因子。2.有限大小弹性圆柱体含有位于中心的圆裂纹时，试求在拉力作用下类似 的能量释放率表达式。3.如图所示，在上下表面，有位移v=v0和xy=0，即被刚体固接。此时横向位移u不受约束。求在平面应力时的应力强度因子。PaCBPG224-3 断裂判据断裂过程区 断裂总是始于裂端的极小区域，当其损伤达到临界程度时才发生的。在此小区域中材料的微结构起决定影响，也是宏观力学不适用的地方。这个小区域就叫做断裂过程区FPZ (fracture process zone)。 K场区 在第三章中，给出各型裂纹的裂端应力场时，已忽略掉高次项，因此也仅适合裂纹尖端的小区域内，此区

10、域称为K场区。K场区内的应力应变强度可用应力强度因子来度量；场区外则须加上高次项。 关于K场区和断裂过程区 如果K场区尺寸小于断裂进行区尺寸，则计算应力强度因子已失掉意义，此时宏观力学在裂端区是不实用的。 反过来，若K场区尺寸比断裂进行区尺寸大几倍以上，则断裂进行区是否会发生断裂，受其外部的K场区强度所制约，因此，断裂判据可建立在K场区强度是否达到临界条件这个基础上。 由于无限大应力实际上不存在，裂端总有个塑性区，而塑性区内的应力是有界的。因此，应力强度因子断裂判据成立的条件是，塑性区尺寸比K场区小几倍，也要比裂纹长度小几倍以上。 幸运的是，许多高强度合金和工程材料在发生脆性断裂时，多是K场区

11、强度起支配作用的。因此，应力强度因子断裂判据适合于这些材料的脆性断裂。断裂判据 对于一个单独型的裂纹，利用应力强度因子和能量释放率的对于一个单独型的裂纹，利用应力强度因子和能量释放率的关系，可有断裂判据：关系，可有断裂判据： I I型裂纹是最常见的裂纹型，其失稳断裂开始的临界点型裂纹是最常见的裂纹型，其失稳断裂开始的临界点K Kcrcr，通通常与试件常与试件( (或构件或构件) )的厚薄、大小有关。当试件的厚薄、大小有关。当试件( (或构件或构件) )厚到某一厚到某一程度和大到某一程度，脆性材料的程度和大到某一程度，脆性材料的K Kcrcr值达到极小值，以后尺寸厚值达到极小值，以后尺寸厚度再增

12、加，度再增加， K Kcrcr仍维持此极小值，此极小值用符号代表即为仍维持此极小值，此极小值用符号代表即为K KICIC ，其相应的其相应的G GICIC值称为平面应变的断裂韧度。因此，值称为平面应变的断裂韧度。因此，I I型裂纹保守的型裂纹保守的判据为判据为: :crKK ICIKK 断裂判据可以解决下列两个问题(1)当知道工作载荷时，可以计算出断裂时的临界裂纹尺寸；(2)当知道裂纹尺寸和位置时，可计算出可能引起断裂的载荷。例 题例题例题 34GrNi3Mo钢所制成的粗轴，探伤检查发现主要的缺陷是内部有一半径为40mm的圆裂纹，裂纹面的法线方向与轴向平行。已知轴半径远大于裂纹尺寸，同时测得钢

13、的KIC为99.2MN/m3/2,试问要是发生断裂，轴向拉伸应力至少有多大?解 答 因为粗轴半径远大于圆裂纹半径，可采用无限大弹性体有圆裂纹的应力强度因子的解。于是临界条件为：于是：ICcrKa 2)MN/m(44722aKICcr习 题1 1 有一平均半径为有一平均半径为800mm800mm，壁厚壁厚10mm10mm的圆柱壳形高压的圆柱壳形高压容器，所用钢材具有容器，所用钢材具有K KICIC值值130MN/m130MN/m3/23/2, ,现发现有一长为现发现有一长为12mm12mm、最深为最深为4mm4mm的内表面半椭圆轴向裂纹。问的内表面半椭圆轴向裂纹。问(A)(A)内内压多达时才会发

14、生断裂压多达时才会发生断裂?(B)?(B)若内压只是临界内压的若内压只是临界内压的1/41/4，并假设裂纹形状不变，问裂纹扩展至多大才会发生断并假设裂纹形状不变，问裂纹扩展至多大才会发生断裂裂? ?2 2 在习题在习题1 1中，若发现的裂纹是长为中，若发现的裂纹是长为200 mm200 mm，深为深为4 4 mmmm的内表面横向的内表面横向( (圆周向圆周向) )裂纹。试求出习题裂纹。试求出习题1 1中的两个中的两个问题。问题。4-4 阻力曲线 能量释放率可做为裂纹是否扩展的倾向能力的度量，又称为裂纹扩展力。裂纹扩展力必须大于裂纹扩展阻力，裂纹才有可能扩展。对平面应变的脆性断裂来说，裂纹扩展阻

15、力由KIC确定，是个常数值，不随裂纹增长而变。但对不同厚度的平板，尤其是厚度小于平面应变所要求的厚度时，裂纹扩展阻力不再是常数。为了说明裂纹扩展阻力的观念，现在以平面应变无限大平板I型中心裂纹为例， 脆性断裂阻力曲线 当拉伸应力保持定值时，裂纹扩展力G随a增加而线性上升。在1时，裂纹半长度为a1就达到裂纹扩展阻力值GIC。超过a1 ，就发生失稳断裂；低于a1 ，则裂纹不扩展。 脆性断裂阻力曲线 以小于1的拉伸应力2作用时，必须超过较长的a2才会发生断裂。图中带箭头的直线代表裂纹扩展力，只有当裂纹扩展力大于常数值的阻力R=KIC，才会发生失稳断裂。 脆性断裂阻力曲线 如果将x轴改为代表裂纹扩展增

16、量a，则可以改画成下图。 a 0部分才是真正扩展。 a 0部分即表示不扩展，而以负方向离原点的距离表示裂纹半长度的大小。 韧性断裂阻力曲线 在板厚较薄而不合乎平面应变条件时，裂纹扩展阻力R随a增加而增加。图(49)的例子仍是Griffith裂纹，此时裂纹扩展阻力是一曲线。此曲线叫做阻力曲线或R曲线。 图4-9 非平面应变的R曲线韧性断裂阻力曲线 例如在韧性断裂时，裂纹扩展阻力往往是呈曲线的。一旦达到并稍为超过裂纹开始扩展的条件时，若外力仍维持不变，则较长的裂纹(例如图中的裂长a2受到2作用时)有可能稍为扩展，然后很快地停止下来。只有当外力较大时，才有可能引起失稳扩展。图4-9 非平面应变的R曲

17、线韧性断裂阻力曲线 阻力曲线的测定一般是针对裂纹扩展阻力不为常数值时才实施。脆性材料平面应变的恒载荷试验时，试件一启裂就立即失稳扩展。但对阻力随裂纹扩展增量而变的情形，达到启裂点后不一定会发生扩展，即使扩展也不一定是失稳扩展。当扩展力稍稍超过启裂点时，往往有一段稳定扩展(也叫做亚临界裂纹扩展)。当达到失稳断裂时，这时的a量已达到不可忽略了，对于有稳定扩展阶段的断裂韧度测试中，若监测启裂点不容易时，可以用阻力曲线的测量，然后用外推法得出启裂点。 思考题1.在带裂纹平板的表面铆接或焊接一块平板，把裂纹覆盖起来(此称为加筋板)。试根据阻力曲线的原理，讨论裂纹可能的扩展行为。2.如果已测量到一组(R,

18、 a)数据，这里R是裂纹扩展阻力。你如何得到启裂时的R值?3.图(49)中，若裂纹很短(例如为a1)，裂纹扩展力为G1的概念在什么情况下是正确的?什么情况下是不正确的?4-5 应变能密度因子 考虑二维的裂纹问题，受到I、II、III型三种载荷中的任一种或两种以上载荷的作用。裂纹前缘是平直的，即整个前缘各点的应力强度因子值都相同，如图所示，裂纹端点区附近的一点P处有体积元，其应力场为三种裂纹应力场的叠加 ：一般情况下的裂纹尖端应力场23cos2cos22sin223cos2sin12cos221rkrkx23cos2cos2sin223sin2sin12cos221rkrky)(0yxz23si

19、n2sin12cos223cos2cos2sin221rkrkxy平面应力平面应变2cos22sin233rkrkyzxz321,kKkKkKIIIIII记记应变能密度公式)(21)()(21222222zxyzxyxzzyyxzyxEEdVdU212333222221122111kakakkakardVdU于是，平面应变于是，平面应变时在时在P P点的应变能点的应变能密度为密度为 ：式中：41)1cos3)(cos1 ()cos1)(1 (4161)21 ()cossin2(161)cos1)(cos43(16133221211aaaaFPZ 设裂端有个以裂端为原点、半径为r0的圆形损伤核(

20、或叫断裂进行区)。设r0值远小于K场区尺寸，如此，在脆性断裂时，断裂是否会发生要由K场区应力应变强度来决定。 对于复合型裂纹，应变能密度可综合度量K场区应力应变的强度；更重要的是，应变能密度是个单参数，它代替两个以上的应力强度因子(多参数)。因此，根据应变能密度的概念而建立的断裂判据，显然要比多参数判据简单。 K场区 损伤核周界是损伤核与K场区的交界。在K场区所有位置的应变能密度中，周界上的应变能密度对断裂是否发生，起着决定性的作用。 应变能密度因子S 此应变能密度因子只是极坐标的函数，与另一变数r无关。 2333222221122111020kakakkakadVdUrSrSih (薛昌明)

21、 假说 Sih (薛昌明)提出下列两个假说 （1）裂纹扩展的方向为S的一个局部极小值的方向，即 这里0为裂纹扩展角，或叫做开裂角。 （2）当此S极小值，即Smin=S(0 )，达到或超过一临界值Scr时，就发生失稳断裂。 000022SS薛昌明介绍 国际著名学者、美籍华裔科学家、美国 Lehigh大学资深教授、现代工程断裂力学的奠基人之一， Lehigh大学断裂与固体力学研究所所长。现担任华东理工大学特聘兼职教授等。 生于1953年获美国Porland大学机械工程学士学位，1957年获美国纽约大学机械工程硕士学位，1960年获美国里海大学机械工程博士学位。1965年，任美国里海大学教授。从19

22、65年开始，薛博士先后兼任美国加州理工学院客座教授（1965）、美国Hahnemann医学院和费城医院兼职教授（1972）、西安交通大学名誉教授（1995）、清华大学客座教授（1995）、中国科学院荣誉研究员（1995）、西安交通大学高科技研究院院长（1996）、中国科技大学客座教授（1997）等。 主要兼职有：国际理论与应用断裂力学杂志主编；国际断裂力学杂志地区编委；美国ASME应用力学杂志副主编；工程断裂力学杂志、断裂杂志、热传导杂志和先进复合材料杂志的编辑顾问委员会成员；美国机械工程师协会（ASME）理事；国际断裂协会名誉理事；国际断裂联合会和国际细观力学学会的创始人。薛昌明教授编写出版

23、了六本学术专著，编撰出版了6个系列31卷的科学技术系列丛书，编撰出版了24次学术会议论文集，获得了3项美国专利，发表了350余篇学术论文。疑 问 上述的假说给出了裂纹的开裂角和失稳断裂发生的条件，但损伤核究竟有多大?真的是圆形吗?这些都是薛昌明避而不谈的地方。此外，有局部极小值的角度可能不只一处，裂纹开裂的方向究竟其中哪一方向?是不是最小的那个方向?从物理意义讲，应变能密度最小的地方，应该是最稳定的地方，因为可以释放的多余的能量较少。而应变能密度最大处则有更多的能量可释放，因此应该比较不稳定，比较容易从该处开裂。基于上述的争论，薛昌明对此理论做了一番补充。 薛昌明的补充说明 考虑到损伤核尺寸甚

24、小，该区域的塑性变形相当大，应变能密度可以分为两部分，一部分是体积膨胀能密度，另一部分是歪形能密度。决定脆性开裂的是体积膨胀能密度，决定塑性失稳的则是歪形能密度。因此，在S的几个局部极小值的角度处，裂纹应沿体积膨胀能密度较大的方向开裂。在S最大值处，可以验证此处歪形能密度是占支配地位的。体积膨胀能和歪形能 考察应变能密度，可以分静水应力引起的体积膨胀能密度和歪变形引起的歪形能密度两部分，如图所示。因此应变能密度可分为： 下标V代表体积膨胀部分， D代表歪形部分。DVdVdUdVdUdVdU 由弹性力学公式可得： 薛昌明认为I型裂纹开裂方向，虽说是Smin在所处方向，但此时(dU/dV)V占支配

25、地位。2321)(621EdVdUV)(1)(311332212321EEdVdUDS因子理论的验证现在考虑平面应变I型裂纹来验证S因子理论是否恰当 。对于I型裂纹：即：于是： 时，S有极小值。 时，S有极大值。2111kaS )(),cos1)(cos43(1621kS)21 (cossin821kScos)21 (sincos8222122kS00)21 (cos14)21 (21minkS 在损伤核周界，应变能密度因子分为膨胀和歪变形相关的两部分，即 对I型裂纹，在 时 ： 这里若取=1/3，则有: 故平面应变I型裂纹的在薛昌明应变能密度因子理论所确定的开裂角处膨胀变形能占支配地位。 V

26、VdVdUrS0DDdVdUrS00216)21)(1 (kSV21212)21 (kSD821)1 (2DVSS习 题1.试用应变能密度因子的假说求平面应变II型裂纹的可能扩展方向。问此时SV是否仍占支配地位?在无限大平板有相同的中心裂纹时，问纯I型裂纹和II型裂纹的临界应力比cr/cr为多少?2.试求平面应变I型裂纹的SV表达式，问其极大值是否在 =0的方向?4-6 平面I-II复合型裂纹S因子判据：2222211221112kakkakaS2sin3sin)21 (216cos)1 (2cos4sin)21 (22sin16222121kkkkSS因子理论 由Sih的因子理论可确定裂纹扩

27、展方向。现在以无限大平板有穿透板厚的斜裂纹为例，来确定可能的裂纹扩展方向和断裂时机。2cos3cos)21(8sin)1 (2sin4cos)21 (2cos822212122kkkkSS因子理论在xy坐标系下，无穷远处的应力分量为: y=,x=xy=0。在新坐标系xy下，应力分量变为 : 这是I、II型 复合裂纹问题，其应力强度因子为： cossincossin22xyxyakakcossinsin221S因子理论确定裂纹扩展方向的方程 ：此时：由S因子第二个假说，断裂判据为:02sin)2(2sin2)2sin()21 (2000220222101221011min)()(2)(kakka

28、kaS2min2)21)(1 (ICcrkESSS因子理论 对于不同的角，表给出上述例题的开裂角0，表中数据是在=1/3的情形下得到的（单位:度）。 最大周向应力理论 与S因子假说比较，最大周向应力理论显得比较简单，且容易被接受，此理论假设裂纹是沿着裂端区圆形损伤周界的最大周向应力所处位置的方向开裂。现在仍以I和II型复合型来说明： 裂端区周向应力和剪切应力可由应力转换而得到 ：) 1cos3(sin2cos21sin232cos2cos2121221kkrkkrr对求偏导，得 ：确定开裂角的方程为：即：所得结果与S因子理论相差不多。失稳判据为损伤核周界的最大周向应力大于等于材料的临界应力（强度） ：) 1cos3(sin2cos24321kkr0) 1cos3(sin0201kkcotcoscot3sin