西南交大-研究生课程-振动理论及应用课件05

1、2021年12月11日振动力学22021年12月11日中国力学学会学术大会200522021年12月11日22021年12月11日振动力学3多自由度系统的振动多自由度系统的振动2021年12月11日振动力学32021年12月11日振动力学4多自由度系统的振动多自由度系统的振动/ /2021年12月11日振动力学42021年12月11日振动力学5多自由度系统的振动多自由度系统的振动/ / 该方法由邓柯莱在用实验确定多圆盘轴横向振动频率该方法由邓柯莱在用实验确定多圆盘轴横向振动频率时提出，作为系统时提出，作为系统基频估算公式基频估算公式。 设设n n自由度系统质量阵、柔度阵为自由度系统质量阵、柔度

2、阵为自由振动方程为自由振动方程为112200nnmmMm111212122212nnnnnn0Mxx2021年12月11日振动力学6多自由度系统的振动多自由度系统的振动/ /特征方程为特征方程为 式中式中=1/=1/2 2。展开。展开设上式根设上式根1 1=1/=1/1 12 2 ，2 2=1/=1/2 22 2 ，, n n=1/=1/n n2 2 , ,则（则（3.1013.101）可表为可表为21111122212121222221120(3.100)nnnnnnnnnn mnnnnmmmmmmmm111112222(.).0(3.101)nnnnnnmmm12()().()0(3.10

3、2)n2021年12月11日振动力学7多自由度系统的振动多自由度系统的振动/ /展开得展开得比较（比较（3.1013.101）和（）和（3.1033.103）得）得即即因因1 12 2、 3 3、n n,1/,1/2 2、1/1/ 3 3、1/1/n n较小，得较小，得式中式中iiii=1/k=1/kiiii，则，则112(.).0(3.103)nnn 1211112222.nnnnnmmm1111222222212111.(3.104)nnnnnmmm111122222111.(3.105)nnnnniiiiimmmm211/()(3.106)iiiiiiiiiiiiiimkmkm2021年

4、12月11日振动力学8多自由度系统的振动多自由度系统的振动/ /故故上式即为上式即为邓柯莱公式邓柯莱公式，iiii是系统在质量是系统在质量m miiii单独作用下（其单独作用下（其他质量为零）系统的固有频率。他质量为零）系统的固有频率。 因（因（3.1053.105）左边舍去了一些正项，由（）左边舍去了一些正项，由（3.1053.105）计算的）计算的1/1/12 2值比实际大，值比实际大，12 2实际值小实际值小。2222211112211111.(3.107)ninnii2021年12月11日振动力学9多自由度系统的振动多自由度系统的振动/ /【例例3.103.10】图图3.153.15为

5、等截面简支梁。其有为等截面简支梁。其有3 3集中质量是集中质量是m m1 1、 m m2 2、 m m3 3，梁弯曲刚度为，梁弯曲刚度为EIEI，质量不计。用邓柯莱法计算系统，质量不计。用邓柯莱法计算系统第一阶固有频率的近似值。已知：第一阶固有频率的近似值。已知： m m1 1= m= m3 3 =m, m=m, m2 2 =2m=2m。【解解】由材料力学知，简支梁由材料力学知，简支梁在单位下的挠曲线公式为在单位下的挠曲线公式为a a、b b分别为力作用点到左右端的距离。分别为力作用点到左右端的距离。2021年12月11日振动力学10多自由度系统的振动多自由度系统的振动/ /求得柔度影响系数为

6、求得柔度影响系数为由（由（3.1073.107）得）得求得的求得的1 1值比精确值小值比精确值小2.5%2.5%。2021年12月11日振动力学112021年12月11日振动力学11多自由度系统的振动多自由度系统的振动/ /2021年12月11日振动力学112021年12月11日振动力学12多自由度系统的振动多自由度系统的振动/ /2 2 瑞雷法瑞雷法 多自由度系统的动能多自由度系统的动能T T与势能与势能U U的表达式为的表达式为系统作某一阶主振动时系统作某一阶主振动时代入（代入（3.1083.108）和）和(3.109)(3.109)得系统在作第得系统在作第i i阶主振动时，最大阶主振动时

7、，最大动能动能T Tmaxmax与最大势能与最大势能U Umaxmax1(3.108)21(3.109)2TTTx MxUx Kx( )sin()(3.110)iiixAt2( )( )max( )( )max1(3.113)21(3.114)2i Tiii TiTAM AUAKA2021年12月11日振动力学13多自由度系统的振动多自由度系统的振动/ /由机械能守恒定律，由机械能守恒定律， T Tmax max = U= Umax max 得得在（在（3.1153.115）中）中A A(i)(i)代入假设振型代入假设振型A A，结果以，结果以R R1 1表示，则表示，则称为称为瑞雷商瑞雷商。

8、这种计算系统固有频率的方法称为。这种计算系统固有频率的方法称为瑞雷法瑞雷法. . 因很难选因很难选A A(i)(i)接近高阶主振型，接近高阶主振型，通常不用瑞雷法求高阶通常不用瑞雷法求高阶固有频率，只用它求低阶固有频率固有频率，只用它求低阶固有频率。2( )( )( )( )1122i Tii TiiAM AAKA( )( )2( )( )(3.115)i Tiii TiAKAAM A1(3.116)TTA KARA M A2021年12月11日振动力学14多自由度系统的振动多自由度系统的振动/ / 取接近一阶主振型的假设振型取接近一阶主振型的假设振型A A代入（代入（3.1153.115），

9、则瑞雷），则瑞雷商为一阶固有频率平方近似值。证明如下：商为一阶固有频率平方近似值。证明如下： 如假设振型如假设振型A A不是主振型，将其用正则振型线性表示不是主振型，将其用正则振型线性表示 有有瑞雷商为瑞雷商为(1)(2)( )( )111.(3.117)nniNNnNiNiAC AC AC AC A( )( )2221211( )( )222222112211()().()().nnTiTiiNiNniinnTiTiiNiNnNiiA MAC AMC ACCCA KAC AKC ACCC2222221122122212.(3.118).TnNTnCCCA KARA M ACCC2021年12

10、月11日振动力学15多自由度系统的振动多自由度系统的振动/ /若若A A接近于一阶主振型接近于一阶主振型A A（1 1），则，则C C2 2/C/C1 11, C1, C3 3/C/C1 11, 1, C Cn n/C/C1 11,1, 则由（则由（3.1183.118）有）有一般以静变形作假设振型，可得相当准确的结果。一般以静变形作假设振型，可得相当准确的结果。如选取如选取A A有困难，可任选一有困难，可任选一A A。与动力矩阵。与动力矩阵D(=D(= M)M)相乘，得相乘，得B B1 1=DA=DA，然后以，然后以B B1 1或与其成比例的或与其成比例的B B1 1作作A A(1)(1)的

11、近似振型，再按的近似振型，再按（3.116)3.116)计算计算R R1 1，可得，可得1 12 2好的近似。好的近似。222222222111122222112222222211222211111.(3.119)1.1(1).(1)nnnnnCCRCCCCCCCC2021年12月11日振动力学16多自由度系统的振动多自由度系统的振动/ / 瑞雷法也可用于以柔度阵瑞雷法也可用于以柔度阵建立振动方程的情况，这时建立振动方程的情况，这时系统势能系统势能U U等于外力的功，即等于外力的功，即在振动过程中，只有惯性力作用，即在振动过程中，只有惯性力作用，即因因x x为为得得1(3.120)2TUP x

12、(3.121)PMx (3.122)xPMx 12TUx M Mx2021年12月11日振动力学17多自由度系统的振动多自由度系统的振动/ /势能、动能最大值势能、动能最大值由由T Tmaxmax= U= Umax max ，得，得当当A A为第为第i i阶主振型，由（阶主振型，由（3.1223.122）得第）得第i i阶固有频率的平方值阶固有频率的平方值i i2 2。在（。在（3.1223.122）中代入假设振型）中代入假设振型A A，结果用，结果用R R2 2表示，则有表示，则有上式称为上式称为第二瑞雷商第二瑞雷商。2(3.123)TTA MAA M MA4max12TUA M MA24m

13、ax1122TTTA MAA M MA2(3.124)TTA MARA M MA2021年12月11日振动力学18多自由度系统的振动多自由度系统的振动/ /注意：用（注意：用（3.1153.115）或（）或（3.1233.123）计算的）计算的12 2总比精确值总比精确值1 12 2大。因任选一大。因任选一A A，即对系统增加了约束，提高了系统刚度，即对系统增加了约束，提高了系统刚度，使频率增大。使频率增大。【例例3.113.11】用瑞雷法求例用瑞雷法求例3.103.10中一阶固有频率的近似值。中一阶固有频率的近似值。【解解】由例由例3.103.10系统质量阵系统质量阵M M和柔度阵和柔度阵为

14、为2021年12月11日振动力学19多自由度系统的振动多自由度系统的振动/ /三点处静挠度为三点处静挠度为最大势能为最大势能为各点最大速度为各点最大速度为y y1 1、y y2 2、y y3 3，最大动能为，最大动能为2021年12月11日振动力学20多自由度系统的振动多自由度系统的振动/ /由（由（3.1243.124）得）得此结果比真实值略高，误差为此结果比真实值略高，误差为0.02%0.02%。2021年12月11日振动力学212021年12月11日振动力学212021年12月11日振动力学212021年12月11日振动力学212021年12月11日振动力学212021年12月11日振动

15、力学212021年12月11日振动力学212021年12月11日振动力学212021年12月11日振动力学21多自由度系统的振动多自由度系统的振动/ /多自由度系统的振动多自由度系统的振动2021年12月11日振动力学222021年12月11日振动力学222021年12月11日振动力学22多自由度系统的振动多自由度系统的振动/ /2021年12月11日振动力学222021年12月11日振动力学23多自由度系统的振动多自由度系统的振动/ /李兹法李兹法3 3 李兹法李兹法 瑞雷法理论上可求系统的各阶固有频率，但实际上难以瑞雷法理论上可求系统的各阶固有频率，但实际上难以用于求高阶固有频率。用于求高

16、阶固有频率。 李兹法对瑞雷商进行了改进，采用其极值形式，能找到李兹法对瑞雷商进行了改进，采用其极值形式，能找到较精确的低阶和高阶振型，不仅可求出更精确的基频，还可较精确的低阶和高阶振型，不仅可求出更精确的基频，还可计算高阶频率和振型，故李兹法也称为计算高阶频率和振型，故李兹法也称为瑞雷瑞雷李兹法李兹法。 李兹法需先假定若干振型，并进行线性组合，用瑞雷法李兹法需先假定若干振型，并进行线性组合，用瑞雷法计算前几阶固有频率。若系统自由度很大，矩阵阶数很高，计算前几阶固有频率。若系统自由度很大，矩阵阶数很高，其存储量大，运算速度慢。其存储量大，运算速度慢。2021年12月11日振动力学24多自由度系统

17、的振动多自由度系统的振动/ /李兹法李兹法如希望有如希望有s s阶频率与振型为准确值，需假设阶频率与振型为准确值，需假设n n1 1个振型个振型(2sn(2sn1 1n) n) ，矩阵阶数大为降低，故，矩阵阶数大为降低，故李兹法是一种缩减系统李兹法是一种缩减系统自由度的近似解法自由度的近似解法。介绍如下：。介绍如下： 任取任取n n1 1个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量1 1 、 2 2 、 n1 n1 ，用，用其线性组合作为新的假设振型其线性组合作为新的假设振型A,A,即即式中式中C C1 1 、 C C2 2 、 C Cn1n1为待定常数，将（为待定常数，将（3.1253.125）

18、表为矩阵）表为矩阵形式形式其中其中11111221.(3.125)nnnjjjACCCC(3.126)AC121121.,.TnnCC CC 2021年12月11日振动力学25多自由度系统的振动多自由度系统的振动/ /李兹法李兹法将将A=A=C C代入（代入（3.1163.116）得）得由瑞雷商极值性质，可得待定常数由瑞雷商极值性质，可得待定常数C Cj j，即令，即令将这将这n n1 1个方程表为矩阵形式个方程表为矩阵形式其中其中 分别为分别为n n1 1n n1 1的广义刚度阵和的广义刚度阵和广义质量阵广义质量阵. .2(3.127)TTTTTTA KACK CRA MACMC10,1,2

19、,.,(3.128)jRjnC0(3.129)(*)0(3.130)TTK CRMCKRMC*M*MTTKK，2021年12月11日振动力学26多自由度系统的振动多自由度系统的振动/ /李兹法李兹法（3.1303.130）为特征值问题，因阶数）为特征值问题，因阶数n n1 1远小于系统自由度数远小于系统自由度数n n，求解简便。求解简便。 由（由（3.1303.130）得）得s s个特征值个特征值R R1 1 、R R2 2 、R Rn1n1为系统最低的为系统最低的n n1 1个固有频率，个固有频率，C C(1)(1)、 C C(2) (2) 、 C C(n1)(n1) 为对应的为对应的n n

20、1 1个主振型个主振型【例例3.123.12】图示弹簧图示弹簧质量系统质量系统, ,用李兹法求其前三阶固有用李兹法求其前三阶固有频率和主振型。频率和主振型。(j)(j)1A =C ,1,2,.,(3.131)jn2021年12月11日振动力学27多自由度系统的振动多自由度系统的振动/ /李兹法李兹法【解解】取广义坐标取广义坐标x x1 1 、x x2 2 、 x x3 3、x x4 4 ，系统质量阵、刚度阵，系统质量阵、刚度阵为为设设则广义刚度阵为则广义刚度阵为2021年12月11日振动力学28多自由度系统的振动多自由度系统的振动/ /李兹法李兹法广义质量阵为广义质量阵为代入（代入（3.130

21、3.130）得）得解得解得2021年12月11日振动力学29多自由度系统的振动多自由度系统的振动/ /李兹法李兹法系统最低二阶固有频率的近似值为系统最低二阶固有频率的近似值为主振型的近似值为主振型的近似值为同样可以求出另两阶频率和振型。同样可以求出另两阶频率和振型。2021年12月11日振动力学302021年12月11日振动力学302021年12月11日振动力学302021年12月11日振动力学302021年12月11日振动力学302021年12月11日振动力学302021年12月11日振动力学302021年12月11日振动力学302021年12月11日振动力学30多自由度系统的振动多自由度系

22、统的振动/ /多自由度系统的振动多自由度系统的振动2021年12月11日振动力学312021年12月11日振动力学312021年12月11日振动力学31多自由度系统的振动多自由度系统的振动/ /2021年12月11日振动力学312021年12月11日振动力学32多自由度系统的振动多自由度系统的振动/ /法法4.4.传递矩阵法传递矩阵法 质量阵、刚度阵形成后，前述方法有广泛应用。质量阵、刚度阵形成后，前述方法有广泛应用。 对一环连一环，呈链状的工程结构（如发动机曲轴、连对一环连一环，呈链状的工程结构（如发动机曲轴、连续梁等），可采用另一计算方法续梁等），可采用另一计算方法传递矩阵法。传递矩阵法。

23、 该法只需对低阶次的传递矩阵进行乘法运算，并计算其该法只需对低阶次的传递矩阵进行乘法运算，并计算其特征值，节省计算工作量。特征值，节省计算工作量。 由界面上的力和位移组成列矢量，称为由界面上的力和位移组成列矢量，称为状态矢量状态矢量。联系。联系相邻单元间状态矢量的矩阵，称相邻单元间状态矢量的矩阵，称传递矩阵传递矩阵。传递矩阵把状态。传递矩阵把状态矢量从一个位置转换到另一位置，因此称为矢量从一个位置转换到另一位置，因此称为传递矩阵法传递矩阵法，又，又称称变换矩阵法变换矩阵法。2021年12月11日振动力学33多自由度系统的振动多自由度系统的振动/ /法法（1 1）梁上有集中质量的横向振动系统）梁

24、上有集中质量的横向振动系统 连续梁或汽轮机的发动机转子可简化为无质量的梁附加连续梁或汽轮机的发动机转子可简化为无质量的梁附加若干集中质量的横向振动系统，如图若干集中质量的横向振动系统，如图3.173.17（a a）。）。图图 3.173.172021年12月11日振动力学34多自由度系统的振动多自由度系统的振动/ /法法设第设第i i个单元集中质量个单元集中质量m mi i，梁长，梁长l li i，抗弯刚度，抗弯刚度EIEIi i。梁段及集中质量受力如图梁段及集中质量受力如图3.173.17（c c）、（）、（d d）。）。各截面挠度各截面挠度y y、截面转角、截面转角、剪力、剪力Q Q及弯矩

25、及弯矩M M约定为正值。约定为正值。任一截面状态向量有任一截面状态向量有4 4个分量，即广义位移个分量，即广义位移y y与与及广义力及广义力Q Q与与M M，表示为，表示为(3.132)TZyMQ2021年12月11日振动力学35多自由度系统的振动多自由度系统的振动/ /法法由图由图3.173.17（d d）的力平衡条件有）的力平衡条件有图图 3.17 3.17 111(3.133)(3.134)LRiiLRLiiiiQQMQ lM2021年12月11日振动力学36多自由度系统的振动多自由度系统的振动/ /法法设第设第i i段梁上距左端段梁上距左端x x处截面的弯矩、剪力、转角、挠度分别处截面

26、的弯矩、剪力、转角、挠度分别为为M Mi i(x)(x)、Q Qi i(x) (x) 、i i(x) (x) 及及y yi i(x) (x) ，则，则上式中令上式中令x=lx=li i, ,得得11( )RRiiiMxQ xM21111023111110111( )( )211( )( )26xRRRRiiiiiiiiixRRRRRiiiiiiiiixMx dxMxQ xEIEIEIyxyx dxyxMxQ xEIEI211123211111(3.135)2(3.136)26RRLRiiiiiiiiRRLRRRiiiiiiiiiiiMlQlEIEIMlQlyylMxEIEI2021年12月11

27、日振动力学37多自由度系统的振动多自由度系统的振动/ /法法表为矩阵形式表为矩阵形式简写成简写成式中式中H Hi i f f称为称为场传递矩阵场传递矩阵。 由图由图3.173.17（c c），集中质量两边的挠度、转角、弯矩、），集中质量两边的挠度、转角、弯矩、剪力满足剪力满足2321126(3.137)0120010001LRiilllyyEIEIllMMEIEIlQQ1(3.138)LfRiiiZH Z2021年12月11日振动力学38多自由度系统的振动多自由度系统的振动/ /法法当系统以频率当系统以频率振动时，（振动时，（3.1423.142）为）为（3.1393.139）- -（3.14

28、33.143）表示矩阵形式）表示矩阵形式(3.139)(3.140)(3.141)(3.142)RLiiRLiiRLiiRLiiiiyyMMQm yQ 2(3.143)RLLiiiiQm yQ210000100(3.144)0010001RLiiyyMMQmQ 2021年12月11日振动力学39多自由度系统的振动多自由度系统的振动/ /法法H Hi iP P称为称为点传递矩阵点传递矩阵。 由（由（3.1383.138）、（）、（3.1453.145）得）得Z Zi-1i-1R R到到Z Zi iR R的传递关系为的传递关系为其中其中H Hi i称为称为第第i i单元的传递矩阵单元的传递矩阵11

29、(3.146)RPLPfRRiiiiiiiiZH ZH H ZH Z(3.145)RPLiiiZH Z23222322212601(3.147)2001126PfiiilllEIEIllHHHEIEIlmlmlmmlEIEI2021年12月11日振动力学40多自由度系统的振动多自由度系统的振动/ /法法由此得到由此得到记总传递矩阵为记总传递矩阵为则从最左端与最右端间的传递关系为则从最左端与最右端间的传递关系为1102211,.,(3.148)RRRRRnnnZH Z ZH ZZH Z0(3.150)RnZHZ11121314212223241213132333441424344(3.149)n

30、nhhhhhhhhHH HH Hhhhhhhhh2021年12月11日振动力学41多自由度系统的振动多自由度系统的振动/ /法法具体形式为具体形式为H H中各元素依赖于中各元素依赖于，表示为，表示为 两端边界条件已知，可以得到梁的固有频率。两端边界条件已知，可以得到梁的固有频率。1112131421222324313233344142434400(3.151)RnhhhhyyyhhhhHhhhhMMMhhhhQQQ11121314212223243132333441424344()()()()()()()()(3.152)()()()()()()()()hhhhhhhhHhhhhhhhh202

31、1年12月11日振动力学42多自由度系统的振动多自由度系统的振动/ /法法（2 2）轴盘扭转振动系统）轴盘扭转振动系统 对图对图3.183.18（a a）示链状轴盘扭振系统，其典型单元包括）示链状轴盘扭振系统，其典型单元包括无质量轴段和刚性圆盘。无质量轴段和刚性圆盘。 设第设第i i单元内轴段扭转刚度单元内轴段扭转刚度k ki i，长度，长度l li i ，圆盘转动惯量，圆盘转动惯量J Ji i ，轴段及圆盘受力如图，轴段及圆盘受力如图3.183.18（b b）- -（c c）。）。 各截面转角各截面转角、扭矩、扭矩M M约定为正值。截面状态向量为约定为正值。截面状态向量为不计轴段转动惯量，由

32、图不计轴段转动惯量，由图3.183.18知两边扭矩相等知两边扭矩相等(3.153)TZM1(3.154)LRiiMM2021年12月11日振动力学43多自由度系统的振动多自由度系统的振动/ /法法 轴段两边转角满足：轴段两边转角满足：3.18图111-=(3.155)LRRiiiiMk2021年12月11日振动力学44多自由度系统的振动多自由度系统的振动/ /法法（3.1543.154）与（）与（3.1553.155）写成矩阵形式）写成矩阵形式即即表示从状态向量表示从状态向量Z Zi-1i-1R R到到Z Zi iL L的传递关系，的传递关系，H Hi if f称为称为场传递矩阵场传递矩阵。

33、由图由图3.183.18（c c）知圆盘两边转角相等，即）知圆盘两边转角相等，即圆盘振动方程为圆盘振动方程为(3.157)RLiii+=LRiiiiJMM11101LRiiikMM1(3.156)LfRiiiZH Z2021年12月11日振动力学45多自由度系统的振动多自由度系统的振动/ /法法当轴盘系统以频率当轴盘系统以频率振动时，有振动时，有 ，代入得，代入得（3.1583.158）与（）与（3.1573.157）的矩阵形式）的矩阵形式得得表示从状态向量表示从状态向量Z Zi iL L到到Z Zi iR R的传递关系，的传递关系，H Hi iP P称为称为点传递矩阵点传递矩阵。2=Lii

34、210(3.159)1RLiiiMJM (3.160)RPLiiiZH Z2+(3.158)RLLiiiiMJM 2021年12月11日振动力学46多自由度系统的振动多自由度系统的振动/ /法法由（由（3.1563.156）、（）、（3.1603.160）得从）得从Z Zi iR R到到Z Zi-1i-1R R的传递关系的传递关系H Hi i称为称为第第i i单元的传递矩阵。单元的传递矩阵。等于等于H Hi i是频率的函数。通过各单元的传递矩阵，可建立结构最左是频率的函数。通过各单元的传递矩阵，可建立结构最左端与最右端的状态向量之间的传递关系。端与最右端的状态向量之间的传递关系。2211(3.

35、162)1PfiiikHH HJJk 11(3.161)RPLPfRRiiiiiiiiZH ZH H ZH Z2021年12月11日振动力学47多自由度系统的振动多自由度系统的振动/ /法法【例例3.133.13】3 3圆盘扭振系统。各圆盘的转动惯量圆盘扭振系统。各圆盘的转动惯量J J1 1=4.9kg.m=4.9kg.m2 2，J J1 1=4.9kg.m=4.9kg.m2 2 ，J J3 3=19.6kg.m=19.6kg.m2 2 ，轴段扭转刚度，轴段扭转刚度k k2 2=98=9810103 3N.mN.m， k k3 3=196=19610103 3N.m .N.m .用传递矩阵法求

36、各阶固有频率和主振型。用传递矩阵法求各阶固有频率和主振型。【解解】由传递矩阵法，系统由传递矩阵法，系统最左端与最右端状态向量之最左端与最右端状态向量之间传递关系为间传递关系为即即2021年12月11日振动力学48多自由度系统的振动多自由度系统的振动/ /法法边界条件为边界条件为M M1 1L L=M=M3 3R R=0=0。对左端边界条件，在（对左端边界条件，在（a a）中）中M M1 1L L =0=0，得，得因因1 1L L任意，任意，是固有频率，是固有频率，M M3 3R R=0=0，代入（，代入（b b），有），有上式即为频率方程。上式即为频率方程。设最左端状态向量为设最左端状态向量为

37、321 1211( )( )RLLMhhb 21( )0( )hc1110LLZM 2021年12月11日振动力学49多自由度系统的振动多自由度系统的振动/ /法法Z Z1 1R R=H=H1 1P PZ Z1 1L L, Z, Z2 2R R=H=H1 1f fZ Z1 1R R, Z, Z3 3R R=H=H3 3Z Z2 2R R的具体形式为的具体形式为可得该扭转系统的固有频率和模态（可得该扭转系统的固有频率和模态（注意刚体运动注意刚体运动） 1230,126/ ,210/rad srad s2021年12月11日振动力学50多自由度系统的振动多自由度系统的振动/ /法法3.20图对应主

38、振型为对应主振型为2021年12月11日振动力学512021年12月11日振动力学512021年12月11日振动力学512021年12月11日振动力学512021年12月11日振动力学512021年12月11日振动力学512021年12月11日振动力学512021年12月11日振动力学512021年12月11日振动力学51多自由度系统的振动多自由度系统的振动/ /法法2021年12月11日振动力学522021年12月11日振动力学522021年12月11日振动力学522021年12月11日振动力学52多自由度系统的振动多自由度系统的振动/ /2021年12月11日振动力学522021年12月1

39、1日振动力学53多自由度系统的振动多自由度系统的振动/ /矩阵迭代法矩阵迭代法5.5.矩阵迭代法矩阵迭代法（1 1）求一阶固有频率和振型）求一阶固有频率和振型 对无阻尼多自由度振动系统，其固有频率及主振型可对无阻尼多自由度振动系统，其固有频率及主振型可由下式求出：由下式求出：上式也可写为上式也可写为引入引入 D=D=M M 和和 =1/=1/2 2，则（，则（3.1643.164）可写为）可写为D D称为称为系统的动力矩阵系统的动力矩阵。20(3.163)KAMA21(3.164)AM A(3.165)DAA2021年12月11日振动力学54多自由度系统的振动多自由度系统的振动/ /矩阵迭代法

40、矩阵迭代法用矩阵迭代法是计算固有频率和主振型步骤如下：用矩阵迭代法是计算固有频率和主振型步骤如下：（1 1）任假设一初始振型）任假设一初始振型A A；（2 2）按下格式计算）按下格式计算位形列阵位形列阵序列序列 A Am m，m=1,2,m=1,2,；当当m m足够大时，位形列阵趋于第一主振型，即足够大时，位形列阵趋于第一主振型，即 且且 10211(3.166)mmADAADAADA(1)2111()1(3.167)()mimimAAaa2021年12月11日振动力学55多自由度系统的振动多自由度系统的振动/ /矩阵迭代法矩阵迭代法式中式中（a ai i）m m为列阵为列阵A Am m=a=

41、a1 1 a a2 2 a ai im mT T的第的第i i个元素。个元素。证明如下：证明如下： 因任意初始振型因任意初始振型A A0 0可表为主振型的线性组合，即可表为主振型的线性组合，即第一次迭代得第一次迭代得同样同样(1)(2)()012.nnAC AC AC A( )101( )1niiiniiiiADAC DACA2( )211niiiiADACA2021年12月11日振动力学56多自由度系统的振动多自由度系统的振动/ /矩阵迭代法矩阵迭代法继续迭代有继续迭代有当迭代次数较大时，当迭代次数较大时，( (2 2/ / 1 1 ) )m m， ( (3 3/ / 1 1 ) )m m

42、， ( (n n/ / 1 1 ) )m m 均小于均小于1 1，除了第一项外，其他各项均可忽略，除了第一项外，其他各项均可忽略.#.# 影响迭代收敛速度因素：影响迭代收敛速度因素：（1 1）系统本身性质，即系统本身性质，即2 2/ / 1 1的大小；的大小；（2 2）初始列阵）初始列阵A A0 0，越接近一阶主振型，即，越接近一阶主振型，即C C2 2/ / C C1 1 、 C C3 3/ / C C1 1 、等越小，收敛越快。等越小，收敛越快。 迭代收敛速度主要取决于迭代收敛速度主要取决于2 2/ / 1 1的比值。的比值。1( )1(1)1(2)1( )2211111111(1)(1)

43、(2)( )221111111().()().()nmimmmnnnmiiinmmmmnnnmiiiCCACAC AAACCCCACAC AAACC2021年12月11日振动力学57多自由度系统的振动多自由度系统的振动/ /矩阵迭代法矩阵迭代法(2)(2)求高阶固有频率和振型求高阶固有频率和振型 矩阵迭代法可求出全部固有频率及主振型。下面说明矩阵迭代法可求出全部固有频率及主振型。下面说明求各阶固有频率及主振型的求各阶固有频率及主振型的清除矩阵迭代法清除矩阵迭代法。 设第一阶固有频率设第一阶固有频率1 1和主振型和主振型A A(1)(1)已求得已求得, ,将将A A(1)(1)对质量对质量阵正则

44、化得阵正则化得A AN N(1) (1) 。为求二频率，构造如下动力矩阵：。为求二频率，构造如下动力矩阵：D D2 2称为称为清除矩阵清除矩阵（清除第一振型的动力矩阵）。（清除第一振型的动力矩阵）。 用上述迭代步骤，任取初始振型用上述迭代步骤，任取初始振型A A0 0，用，用D D2 2替代原来替代原来D D，则，则迭代将收敛于迭代将收敛于2 2及及A A(2) (2) 。(1)(1)21(3.168)TNNDDA AM2021年12月11日振动力学58多自由度系统的振动多自由度系统的振动/ /矩阵迭代法矩阵迭代法证明如下：由于证明如下：由于第一次迭代第一次迭代注意到注意到得到得到( )( )( )( )