相似的基本模型教师版带答案

1、相似三角形模型分析大全、相似三角形判定的基本模型认识（二）8字型、反8字型（蝴蝶型）=AD，BD= AB 9 ADBC2 ="跖图1母子型相似三角形例1 :如图，梯形 ABCD中，AD / BC,对角线 AC、BD交于点O, BE/ CD交CA延长线于 E.2求证：OC2 OA OE -2FD FB FC .例2:已知：如图， ABC中，点E在中线AD上， DEB ABC.求证：DB2 DE DA ；相关练习:1、如图，已知 AD 为 ABC的角平分线，EF为AD的垂直平分线.求证:如囹。已却AD为A ABC的角平会线EF为AD的垂直平分线一求证FOF日FC.解析 AF.再由ZkAC

2、F-LBAF,对应边成比例即可求证悦考网证明连接AF.2、已知：AD是Rt ABC中Z A的平分线，/ 0=90° , EF是AD的垂直平分线交 AD于M 交于一点NN连AF.则DF二EF、BC的延长线求证：(1) AMEA NMD; (2)ND2 =NC NB深明，1、YEF垂直裕AD .ZMMA=ZNMD=90'.ZDNM 十 ZADC=90/ZACB=90/.ZCAD+ZADC=90.ZDNM=ZCAD.AMEsZkNMD CAA)LEF垂直平分AD/.NA=ND/.Znad-ndaLAD 平 ZBAC.ZBAD=ZCADZNAD= ZNAC4ZCAD, ZNDA=ZB

3、+ZBAD三角形A日明卜角.ZNAC=ZB；ZANC=ZBNA (公共角/.AANCABNA (AA).'.NA/NGNB/NA/.NANCkNB.-.D-NCxbJB3在 ABC中，AB=AC高A由B咬于H, EF BC ,垂足为F,延长A倒G,使DG=EF 观AH勺中点。求证： GBM 90圈2分析：依题意知口侦仁BE1AC f因而有诸务的直角三角形，故应充分考虑母子相似形的应用欲证ZGBM =如.因 £D±GM只要证日= GD DM而BADE, GD=EF敌只要证。玲=EF* DM若将EF平移至晌并连ME,这时只要证甜敬阐iD戏是母子相似形，即只饕证口敬=9孔

4、也就是要证£】二4,而在直角三角形险矛皿中，D、峪别为斜边职0的中点，所以容易得/1 = Z：3S 22 = 24，又易证匕3=匕4,至此，思路理顺，命题可证(四)一线三等角型:(五)一线三直角型:一线三等角型相似三角形例1:如图，等边 ABC中，边长为 6, D是BC上动点，Z EDF =60(1) 求证： BDEA CFDD(2) 当 BD=1, FC=3 时，求 BE例 2：已知在梯形 ABCD 中，AD / BC, ADv BC,且 AD= 5, AB= DC= 2.(1)如图8, P为AD上的一点，满足/ BPC=Z A. 求证； ABPs DPC 求AP的长.(2)如果点

5、P在AD边上移动(点 P与点A、D不重合)，且满足/ BPE=Z A, PE交直线BC于 点E,同时交直线 DC于点Q,那么当点Q在线段DC的延长线上时，设 AP= x, CQ = y,求y关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；解析；(1KEH1F 明：根据题有，容易知道此梯形是等旧震格形PC-A又 L 匕BPC4 APB + DPC-180° ,/. A9CAPB + DPC又=Z. AFiP+PnC/.ZA3P=DPCX -'A=U/. ABARCAPDCInin-斧CL< 餐番oadv$dvtoVYW 椒裕如波贸nh<i成基堪与NLLIdsN£

6、后降dIIz) 2/(dqlnlld<& QoQdnd<a<. ood<lsd<CD<l-0S(w)wx£0g)+x号T唐 a7xg+¥liv 竺 ¥xgTQ90?A-:w<CNAg/xx-g)-: Ns.&noa gx立我& QQO牛 d<£<.相关练习:1、如图，已知在 ABC中， AB=AC=6, BC=5 , D是AB上一点，BD=2, E是BC上一动点，联结 DE ,并作 DEF B，射线EF交线段AC于F.(1)求证： DBEs ECF ;(2)当F是线段AC中点时

7、，求线段 BE的长；(3)联结 DF,如果 DEF与 DBE相似，求 FC的长.先证明ABDEACEF /ZB+ZDEB+ZBDE=1&a& ZDEB+Z DE B+Z FEC=16CD 又 VZDEF=/B .'.ZBDE=ZFEC'AB=AC AZB-ZC二BDSSCEF若DFEsZWEB,前面已经证得/.Z BDE=ZEDF,ZDFE=Z CFE 二点E是DE.EFR角平分线交点 连接AE,则AEZBAC的平分线 又，AB=ACAE又是底边明中点-&E=CE=5/2ADEBAEFC；.6D：EC=BE：CF即土 (5/2)二(5/2) : FC二

8、FC 二祠 82、已知在梯形 ABCD 中，AD / BC, AD V BC,且 BC =6, AB=DC=4,点 E 是 AB 的中点.(1) 如图，P为BC上的一点，且 BP=2 .求证： BEPs CPD;(2) 如果点P在BC边上移动(点 P与点B、C不重合)，且满足/ EPF = / C, PF交直线CD于点F, 同时交直线 AD于点M,那么当点F在线段CD的延长线上时，设 BP=x , DF= y，求y关于x的 函数解析式，并写出函数的定义域；(第25题图)(备用图)解答：根据题意梯形ABC盼等腰梯形通过角度计亶可拓ZPBE = ZPCDZEP6 = ZPFC所以三角形EPB和三角

9、形PFC相似(两角对应相等，两三角形相两三角形的边有如下关系BP7FC二 EBfFC即 x/(4+y)=2/6-X)整理可得舟C-1 /2)Xz2+3X-4根据题ft 0<X<6又要保 ffiy>0 也即=(-1/2)XA2+3x-4>0 可得 2<X<4综上所述V关于K的函数关系式为自娈量X的职值范围为2*4一线三直角型相似三角形例1、已知矩形 ABCD中，CD=2 , AD=3，点P是AD上的一个动点， 且和点 A,D不重合，过点 P作PE CP，交边 AB于点E,设PD x,AE y ,求y关于x的函数关系式解:根据题意有三角形APE相似于三角形PDC

10、,则有PDJAE二CDJAP,即x/y二趴所以y关于椭解 析式为件-伉M的平方+3G【练习1】 在直角 ABC中，C 90°, AB 5, tan B -，点D是BC的中点，点E是AB边上的动点，DF DE4ACD交射线AC于点F(1) 、求AC和BC的长(2) 、当EF/BC时，求BE的长。(3) 、连结EF,当 DEF和 ABC相似时，求BE的长。解：1) 'ZC=90% 则tanB=AC/BC=3M;又AB=A 设AC=3X .ACA2+BC2=A0A2,即 25+2=25,X=1ijAO3EC=42 尚 EFlIBCfl 寸厕 AAFEs2kAC B 一故 AF：FE

11、：EA=AC：C 巳 BQ= 3 ：4S i§FE=4mJSZCDF= ZCFE； ZC=ZFDE=90c可知：AFC>»AEDF, 贝ijDF/EF=CD/DF, DFA2=CD*EF=2EF=8lD.'DFA2-CDA2=C FA2,g18m-2A2=(3-3mr2/-m=(13-213y9(nn=13+由 13)/环言题羸 舍去)flijBE=A0-A E=5-5 m=55(1 »2、13y9= (1QW 3-2 09.3尚点E4C3的中垂线上即ED1CB、F与谴合时, AEDCAEDDco AACBo !?JBE/BA=BD/BC, BE/2

12、/4,则BE=2.5。向左转 C向右转一线三等角的变形一线三直角的变形（六）双垂型:双垂型1、如图，在 ABC中，/ A=60° , BD CE分别是AG AB上的高求证：(1) ABtA ACE (2) ADEA ABC<1) -ZA=ZA* ZADB-ZAECW4*,AABDAACE,"/ABDAACE,/. AD/AB= AE/AC,ZA=ZA,Z.AADEcoAABC.2、如图，已知锐角 ABC , AD、CE分别是BC、AB边上的高， ABC和 BDE的面积分别是 27和3, DE=6 /2 ,求：点B到直线AC的距离。ABDC、相似三角形判定的变化模型旋转型：由A字型旋转得到厂： 8字型拓展共享性1、 ABC是等边三角形,D、B C E在一条直线上，Z DAE=l20共享型相似三角形,已知BD=1, CE=3，求等边三角形的边长.BCE2、已知：如图，在 Rt ABC 中，AB=AC, Z DAE =45°.求证：(1) ABEs X ACD