函数的单调性和奇偶性精品讲义.

1、第三讲 函数的单调性、奇偶性一、知识点归纳函数的单调性（ 1）定义：设函数y=f ( x) 的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D内的任意两个自变量x1，2，当x1< 2 时，都有f(1)<f(x2) （(x1)>f(x2) ），那么就说f(x) 在区间D上xxxf是 增 函 数 （ 减 函 数 ）， 区 间D 为 函 数y=f ( x) 的 增 区 间 （ 减 区 间 ） 概 括 起 来 ， 即x1x2x1x2增函数f ( x2)或f ( x2 )f (x1)f (x1)“同增异减 ”x1x2x1x2减函数f (x2 )或f ( x2 )f (x1)f ( x1)

2、（2）函数单调性的证明的一般步骤：设x1 ， x2 是区间 D上的任意两个实数，且 x1 x2作差 f ( x1)f (x2 ) ，并通过因式分解、配方、通分、有力化等方法使其转化为易于判断正负的式子；确定f (x1) f( x2 ) 的符号；给出结论证明函数单调性时要注意三点：x1 和 x2 的任意性，即从区间D中任取 x1 和 x2 ，证明单调性时不可随意用量额特殊值代替；有序性，即通常规定x1x2 ；同区间性，即 x1 和 x2必须属于同一个区间。（3）设复合函数yf g x 是定义区间 M上的函数，若外函数f(x) 与内函数 g(x) 的单调性相反，则 yf g x在区间 M上是减函数

3、；若外函数f(x) 与内函数 g(x) 的单调性相同，则 yf g x 在区间M上是增函数。概括起来，即“同增异减II 号”（4）简单性质： f (x) 与f ( x) 单调性相同； f ( x) 与 f ( x) 及1单调性相反f (x)在公共定义域内：增函数 f ( x)增函数 g ( x) 是增函数；减函数f ( x)减函数 g( x) 是减函数；增函数 f ( x)减函数 g ( x) 是增函数；减函数f ( x)增函数 g( x) 是减函数。（ 5）必须掌握特殊函数单调性 一次函数 y kx b ： 二次函数 yax 2 bx c ： 反比例函数 yk：x 双钩函数 y xk：x注：

4、函数的多个单调区间通常不能用并集联接；单调区间的端点只要在定义域内就要加上增函数在图像上反映出来就是“向上”，减函数从图像上反映出来就是“向下”函数的最值（1）定义：f ( x) 的最大值：f (x) 最大的函数值；f (x) 的最小值：f (x) 最小的函数值（ 2）求最值方法与求值域方法类似函数的奇偶性1定义 :设 y=f(x)，定义域为A 且 A 关于原点对称，如果对于任意x A，都有 f ( x)f (x) ，称 y=f(x) 为偶函数。设 y=f(x)，定义域为 A 且 A 关于原点对称， 如果对于任意x A，都有 f ( x)f ( x) ，定义域关于原点对称称 y=f(x)为奇函

5、数。概括起来，即f ( x)为偶函数f (x)，f ( x)为奇函数f (x)f ( x)f (x)定义域关于原点对称f ( x)f ( x)2函数奇偶性的判断的步骤：求 f ( x) 定义域，若 f ( x) 定义域不关于原点对称，则函数f (x)既不是奇函数也不是偶函数；若f (x) 定义域关于原点对称，则判断f ( x) 与 f (x) 的关系判断 f ( x) 与 f (x) 的关系，若f (x)f (x) ，则 f ( x) 为偶函数；若f (x)f ( x) ，则 f (x) 为奇函数；若f (x)f ( x) 且 f (x)f ( x) ，则 f (x) 既是奇函数又是偶函数；若

6、 f (x)f ( x) 且 f (x)f (x) ，则函数f ( x) 既不是奇函数也不是偶函数3. 性质：（ 1）若 f ( x) 为奇函数，则：f ( x)f (x) ； f ( x) 图像关于原点对称；0 在 f ( x) 定义域内时有f (0)0 ； f (x) 在关于原点对称的区间上单调性相同几种特殊的奇函数yx ， yx3 ， y1 ， y sin xx（2）若 f ( x) 为偶函数，则：f (x)f (x) ； f ( x) 图像关于y 轴对称f ( x) 在关于原点对称的区间上单调性相反；几种特殊的偶函数：yx ， yx2 ， ycos x注：若二次函数yax2bxc 为偶

7、函数，则 b0 ；在同一定义域内，奇偶 =奇 ，奇奇 =奇 ， 偶偶=偶；既是奇函数又是偶函数的函数只有一个解析式f ( x)0二、典例例题解析：题型一单调性的定义例 1 定义在 R 上的函数 f ( x) 对任意两个不相等的实数a,b 总有 f (a)f (b)0 ，试判断 f (x)ab单调性。例 2若 f ( x) 在区间 ( a,b) 上是增函数，在区间 (b,c) 上也是增函数，则函数f ( x) 在区间(a, b)(b, c) 上（）A. 必是增函数B. 必是减函数C. 是增函数或减函数D.无法确定单调性变式训练下列说法中正确的有 个若 x1 , x2I ，当 x1x2 时，f (

8、x1) f (x2 ) ，则 yf ( x) 在 I 上是增函数函数 yx2 在 R 上是增函数； 函数 y1 在定义域上是增函数； y1 的单调区间是 (,0)(0,)xx题型二单调性的证明例1 证明函数 yx1 在区间 (0,1) 上为减函数x例2 证明函数f ( x)x21x 在其定义域内是减函数例3已知函数 yf ( x) 在 (0,) 上为增函数，且f (x) 0( x 0) ，试判断 F (x)1在f (x)(0,) 上的单调性，并给出证明过程题型三利用单调性求函数值域和最值例1求下列函数的最值f ( x)1 2x x ； f (x)3 x3 x ； f ( x)x 1x 1f ( x)x 21 f (x)1 x , x1, )x2x变式 如果函数f ( x)-x2 -2x3 ，求 f ( x) 的单调区间和值域例2 已知 f (x)x22(1a) x2 在 (,4 ，上是减函数，求a 的取值范围变式 1已知 f (x) x2 2(1 a) x 2 的减区间是 ( ,4 ，求 a的值变式 2 函数 f(x)= x 2 + 3x +2 在区间 (-5,5) 上的最大值、最小值分别为（）A 、 42,12111B、 42， -C、 12， -D 、无最大值，最小值 -444.变式 3 函数 y 2x2 (a 1)x