初一数学绝对值难题解析

1、学习资料收集于网络，仅供参考初一数学绝对值难题解析绝对值是初一数学的一个重要知识点， 它的概念本身不难， 但却经常拿来出一些难题， 考验的是学生对基本概念的理解程度和基本性质的灵活运用能力。绝对值有两个意义：（ 1 ）代数意义：非负数（包括零）的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数。即|a| a（当 a0） , |a| a （当 a 0）（ 2 ）几何意义：一个数的绝对值等于数轴上表示它的点到原点的距离。灵活应用绝对值的基本性质：（1 ） |a| 0；（ 2） |ab| |a| ·|b| ；（ 3） |a/b| |a|/|b|(b0)（ 4 ） |a| |b| |a b| |a|

2、 |b| ；（ 5） |a| |b| |a b| |a| |b| ；思考： |a b| |a| |b| ，在什么条件下成立？|a b| |a| |b| ，在什么条件下成立？常用解题方法：（ 1 ）化简绝对值：分类讨论思想（即取绝对值的数为非负数和负数两种情况）（ 2 ）运用绝对值的几何意义：数形结合思想，如绝对值最值问题等。（ 3 ）零点分段法：求零点、分段、区段内化简、综合。例题解析：第一类：考察对绝对值代数意义的理解和分类讨论思想的运用1 、在数轴上表示a 、 b 两个数的点如图所示，并且已知表示c 的点在原点左侧，请化简下列式子：（ 1 ） |a b| |c b|解： a 0， b 0

3、a b 0c 0， b 0 c b 0故，原式（ b a） (b c) c a（ 2 ） |a c| |a c|解： a 0， c 0 a c 要分类讨论， a c 0当 a c 0时， a c，原式（ a c） (a c) 2a 当 ac0 时， a c，原式（ c a） (a c) 2c2、 设 x 1 ，化简 2 |2 |x 2|。解： x 1 x 2 0原式 2|2 （ 2 x）| 2 |x| 2 x3、设 3 a 4 ，化简 |a 3| |a 6|。解： 3a 4 a 3 0， a 6 0原式（ a 3） (a 6) 34、 已知 |a b| a b ，则以下说法：（1）a 一定不是

4、负数；（2） b 可能是负数；哪个是正确的？答：当 a b0时， ab， |a b| a b，由已知 |a b| a b，得 a b a b，解得 b 0，这时 a0；学习资料学习资料收集于网络，仅供参考当 ab 0 时， a b ， |a b| b a，由已知 |a b| a b，得 ba ab ，解得 a 0，这时 b 0；综上所述，（ 1 ）是正确的。第二类：考察对绝对值基本性质的运用5 、 已知 2011|x 1| 2012|y 1| 0 ，求 x y 2012的值？解： |x 1| 0， |y 1| 0 2011|x 1| 2012|y 1| 0又已知2011|x 1| 2012|y

5、 1| 0， |x 1| 0, |y 1| 0 x 1 ，y 1，原式 1 1 2012 20126 、设 a 、b 同时满足：(1)|a 2b| |b 1| b 1(2) |a 4| 0那么 ab 等于多少？解： |a 2b| 0， |b 1| 0 |a 2b| |b 1| b 10 （ 1 ）式 |a 2b| b 1 b 1 ，得 |a 2b| 0，即 a 2b |a 4| 0 a 4 0， a 4 a 2b b 2 ， ab 4×2 87 、设 a 、b 、 c 为非零有理数，且 |a| a 0， |ab| ab ， |c| c 0, 请化简： |b| |a b| |c b|

6、|a c| 。解： |a| a 0 ，a0 a 0 |ab| ab0 ， b0， a 0 b 0 ， ab 0 |c| c 0， c0 c 0 ， c b 0， a c 0原式 b（ a b）（ c b ） c a b8 、满足 |a b| ab 1 的非负整数（a ，b ）共有几对？解： a， b 都是非负整数 |a b| 也是非负整数， ab 也是非负整数要满足 |a b| ab 1，必须 |a b| 1 ， ab 0 或者 |a b| 0， ab 1 分类讨论：当|a b| 1， ab 0 时， a 0， b1 或者 a 1， b 0 有两对（ a， b ）的取值；当|a b| 0， a

7、b 1 时， a 1， b 1 有一对（ a， b）的取值；综上所述，（ a， b ）共有 3 对取值满足题意。9 、已知 a、 b 、 c、 d 是有理数， |a b| 9， |c d| 16，且 |a b c d| 25 ，求 |b a| |d c| 的值？分析：此题咋一看无从下手，但是如果把a b 和 c d 分别看作一个整体，并且运用绝对值基本性质： |x y| |x| |y| 即可快速解出。解：设 xab ， ycd，则 |a b cd| |x- y| |x| |y| |x| 9， |y| 16 |x| |y| 25 ,|x- y| |x| |y| 25已知 |x-y| 25 |x|

8、 9， |y| 16 |b a| |d c| | x| | y| |x| |y| 9 16 7第三类：多个绝对值化简，运用零点分段法，分类讨论学习资料学习资料收集于网络，仅供参考以上这种分类讨论化简方法就叫做零点分段法，其步骤是：求零点、分段、区段内化简、综合。根据以上材料解决下列问题：（ 1 ） 化简： 2|x 2| |x 4|（ 2 ） 求 |x 1| 4|x 1| 的最大值。解：（ 1）令 x 2 0， x 4 0，分别求得零点值：x 2 ，x -4 ，分区段讨论：当 x-4 时，原式 2 （x 2）（ x 4） x 8 当-4 x2时，原式 2（ x2 ）（ x 4） 3x 当 x 2

9、 时，原式 2（ x 2）（ x 4 ） x 8综上讨论，原式（略 )（ 2 ） 使用 “零点分段法 ”将代数式简化，然后在各个取值范围内求出最大值，再加以比较，从中选出最大值。令 x 1 0 ， x 1 0，分别求得零点值： x1 ， x-1 ，分区段讨论：当 x-1 时，原式（x 1 ） 4 （ x 1） 3x 5 ，当 x=-1 时，取到最大值等于2；当-1 x1时，原式（ x 1） 4（ x 1） 5x 3，此时无最大值；当 x 1 时，原式（ x 1 ） 4（ x 1 ） 3x 3，此时无最大值。综上讨论，当 x=-1 时，原式可以取到最大值等于2。11 、若 2x |4 5x| |

10、1 3x| 4 的值恒为常数，则此常数的值为多少？解：我们知道，互为相反数的两个数，它们的绝对值相等，利用这条性质，可以把绝对值内带 x 的项的符号由负号都变成正号，以便于区段内判断正负关系。即原式 2x |5x 4| |3x 1| 4令 5x 4 0， 3x 1 0，分别求得零点值：x 4/5 , x 1/3 ，分区段讨论：学习资料学习资料收集于网络，仅供参考当 x1/3 时，原式 2x（ 5x 4）（ 3x 1 ） 4 6x 9，此时不是恒值；当 1/3 x4/5 时，原式 2x （ 5x 4 ）（ 3x 1 ） 4 7，此时恒为常数 7 ；当 x 4/5 时，原式 2x （ 5x 4）（

11、 3x 1） 4 10x 1，此时也不是恒值。综上所述，若原式恒为常数，则此常数等于7 。12 、若 |a| a 1 ，|x| 2ax ，且 |x 1| |x 5| 2|x m| 的最小值是 7 ，则 m 等于多少？解：当 a0时，|a| a a 1,得到 0 1 矛盾 a 0，|a| a a 1 ，解得 a 1/2 。|x| 2ax x，即 x 的绝对值等于它的相反数 x0令 x 1 0 ， x 5 0， x m 0 ，分别求得零点值：x 1 ，x 5， x mx0 要对 m 进行分类讨论，以确定分段区间：（1 ）若 m0，则 x 取值范围分成x 1 和 1 x0当 x1 ，原式（ x1 ）

12、（ x 5） 2 （ x m） 4x 4 2m ， x 1 时取到最小值 8 2m当 1 x0，原式（ x 1）（ x 5） 2（ xm ） 2x 6 2m ， x 0 时取到最小值 6 2m所以当 m0 时，最小值是 6 2m ，令 6 2m 7，得 m 0.5 ，符合题意（2 ） 若 1m 0 ，则 x 取值范围分成 x 1 和 1 xm和 mx0当 x1 ，原式（ x1 ）（ x 5） 2 （ x m） 4x 4 2m ， x 1 时取到最小值 8 2m, 因为 1m 0 ，所以最小值 6当 1 xm，原式（ x1 ）（ x 5） 2 （x m） 2x 6 2m ， x m 时取到最小值

13、 6所以当 1m 0 时，最小值是6 ，和题意不符。（3 ）若 m 1 ，则 x 取值范围分成xm和 mx 1 和 1 x0当 xm，原式（ x 1）（ x5 ） 2（ xm ） 4x 42m ， x m 时取到最小值 4 2m当 m x1 ，原式（ x 1）（ x5 ） 2（ xm ） 4 2m，这时为恒值4 2m当 1 x0，原式（ x 1）（ x 5） 2（ x m） 2x 2m 6，无最小值所以当 m 1 时，最小值是 4 2m ，令 4 2m 7，得 m 1.5 ，符合题意综上所述， m 0.5 或 1.5 。第四类：运用绝对值的几何意义解题1、 x 的绝对值的几何意义是在数轴上表示x 的点到原点的距离，即|x|=|x 0|x 1| 的几何意义是在数轴上表示x 的点到表示1 的点的距离，|x 2| 的几何意义是在数轴上表示x 的点到表示2 的点的距离，学习资料学习资料收集于网络，仅供参考|a b| 的几何意义是在数轴上表示a 的点到表示 b 的点的距离。2、设 A 和 B 是数轴上的两个点，X 是数轴上一个动点，我们研究下，当X 在什么位置时，X 到 A 点和 B 点的距离之和最小？很显然，当 X 点在 A 点和 B 点之间时， X 点到两个点的距离之和最小，最小值即为A 点到 B 点的距离。当再增加一个C 点时，如何求动点 X 到三个点的距离之