几何证明——线段和差模型(中级).

1、几何证明线段和差模型(中级 )【知识要点】在几何证明中，我们经常遇到要求证明两条线段之和等于一条线段（abc ），或者两条线段之差等于一条线段（abc）。在处理这类线段和差关系的问题时，我们常用“截长”与“补短”的方法。截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，也是把几何问题化难为易的一种思想。截长就是在一条线段上截取成两段（一分为二），补短就是在一条边上延长，使其等于一条所求边（合二为一）。截长法： 如果要证明线段等式abc ，可以在长的一条线段a 上截取一条线段等于b （或者 c ），然后只需证明线段a 上去掉 b （或者 c ）之后剩下的线段等于c （或者 b ）就行了。补短法

2、： 如果要证明线段等式abc ，可以先将短的两条线段b 和 c 拼接在一起形成一条长线段d ，然后只需要证明ad 就行了。截长补短的方法比较灵活， 要根据具体的题目条件， 作出相应的辅助线。 对于一些经典的截长补短模型，希望同学们能记住并掌握其用法，以便在遇到类似的几何情境时能迅速作出反应。【经典例题】例 1、（ 1）正方形 ABCD 中，点 E 在 CD 上，点 F 在 BC 上，EAF45 。求证： EFDEBF 。ABFDEC（ 2 ）正方形ABCD 中，点 E 在 CD 延长线上，点F 在 BC 延长线上，EAF45 。请问现在EF 、 DE 、 BF 又有什么数量关系？ABEDCF（

3、 3）正方形ABCD 中，点E 在 DC 延长线上，点F 在 CB 延长线上，EAF45 。请问现在EF 、 DE 、 BF 又有什么数量关系？FABDCE例 2、正三角形ABC 中， E 在 AB 上， F 在 AC 上EDF60 。 DBDC，BDC120 。请问 EF 、 BE、 CF 有什么数量关系？AFEBCD例 3、已知： AC 平分BAD ， CEAB ，BD1800 ，求证：AEADBE 。CDAEB例 4、正方形 ABCD中，对角线AC与 BD交于 O，点 E 在 BD上， AE 平分 DAC.求证：ACADEO .2ABOEDC例 5、已知，如图，在ABC 中， ABAC

4、，BADCAD ， P 为 AD 上任一点 .求证： ABACPBPC 。APBDC【提升训练】1、如图，已知ABC 中，边 BC 上的高为 CD ，B2C ，求证： CDABBD 。ACBD2、已知：AD 平分BAC ， ACABBD ，求证：B2C 。ABDC3、已知ABC3ACB ，BAECAE ， BEAE ，求证： ACAB2BE 。AEBC4、如图，在ABC中，BAC60 ，AD是BAC的平分线，且ACABBD，求ABC的度数。ABDC5、如图，四边形ABCD 中， AB / DC ， BE 、 CE 分别平分ABC 、BCD ，且点 E 在 AD 上。求证：BCABDC。BAEC

5、D6、如图所示，ABC是边长为1的正三角形，BDC是顶角为120的等腰三角形，以D 为顶点作一个60 的MDN，点M、N 分别在AB 、AC 上，求AMN的周长。ANMBCD7、如图，在梯形ABCD 中， AD / BC， C90 ， E为CD 的中点， EF / AB交BC 于点 F 。（ 1）求证： BFAD CF ；（ 2）当 AD1， BC7，且 BE平分ABC 时，求 EF 的长。ADADEEBCBCFF8、已知ABC中，A60， BD、 CE分别平分ABC和 .ACB ， BD、 CE交于点O ，试判断BE 、CD、BC的数量关系，并加以证明。AEDOBC9、己知， ABC 中，

6、ABAC ，CDAB ，垂足为 D ， P 是 BC 上任一点， PEAB，PFAC 垂足分别为 E、 F . （ 1）求证： PEPF CD ；（ 2）若 P 在 BC 延长线上，求证：PE PFCD 。AAEDDEFPBCBPCF10、（ 1）如图，四边形ABCD是正方形，点E 是边BC的中点。AEF90 ，且 EF交正方形外角DCG的平行线CF于点F，求证：AEEF。ADFBECG（ 2）如图，四边形ABCD 是正方形， 点 E 是边 BC 上（除 B ， C 外）的任意一点。AEF90 ，且 EF 交正方形外角DCG 的平行线 CF 于点 F ，求证： AEEF 。ADFBECG（ 3

7、）如图，四边形 ABCD 是正方形， 点 E 是 BC 的延长线上 （除 C 点外）的任意一点。AEF90 ，且 EF交正方形外角DCG 的平行线 CF 于点 F ，求证： AEEF 。ADFBCEG11、在等边ABC 的两边AB 、 AC 所在直线上分别有两点 M 、N ，D 为ABC 外一点， 且 MDN60 ，BDC120 ， BDCD 。探究：当 M 、 N 分别在直线 AB 、 AC 上移动时， BM 、 NC 、 MN 之间的数量关系及AMN 的周长 Q 与等边 ABC 的周长 L 的关系。NAAAMNMNCBBCBCMDDD图1图 2图 3（ 1）如图1，当点 M 、N边AB、AC上，且 DMDN 时， BM 、 NC、 MN 之间的数量关系是_；此时Q；L（ 2）如图2，点