几种构造辅助函数的方法及应用

1、几种构造辅助函数的方法及应用许生虎（西北师范大学数学系，甘肃兰州 730070 ）摘 要：在对数学命题的观察和分析基础上给出了构造辅助函数的方法， 举例说明了寻求辅助函数的几种方法及在解题中的作用。关键词： 辅助函数 弧弦差法 原函数法 几何直观法 微分方程法1. 引言在解题过程中，根据问题的条件与结论的特点，通过逆向分析、综合运用数学的基本概念和原理，经过深入思考、缜密的观察和广泛的联想，构造出一个与问题有关的辅助函数， 通过对函数特征的考查达到解决问题的目的，这种解决问题的方法叫做构造辅助函数法。构造函数方法在许多命题证明中的应用，使问题得以解决，如在微分中值定理、泰勒公式、中值点存在性、

2、不等式等证明。但构造辅助函数方法的内涵十分丰富没有固定的模式和方法，构造过程充分体现了数学的发现、类比、逆向思维及归纳、猜想、分析与化归思想。但如何通过构造，构造怎样的辅助函数给出命题的证明，是很难理解的问题之一，本文通过一些典型例题归纳、分析和总结常见的构造辅助函数方法及应用。2. 构造辅助函数的七中方法2.1 “逆向思维法 ”1例 1： 设 f x 在 0,1上可微，且满足f 1 2 2 xf x dx ，证明在 0,1 内至0少有一点 ，使 ff.证明 : 由所证明的结论出发 , 结合已知条件 , 探寻恰当的辅助函数 .将 fff0 , 联想到 xf x xff,变为 f可考虑辅助函数F

3、 xxf x , x0,1 .因为 f 1f,而对于 F x , 有 Ff, F 1f 1 .精选文库所以, FF 1 , 由罗尔定理知 , 至少存在一点,1 ,使得F0即: ff.证毕2.2原函数法在微分中值定理 ( 尤其是罗尔定理 ) 求解介值 ( 或零点 ) 问题时要证明的结论往往是某一个函数的导函数的零点 , 因此可通过不定积分反求出原函数作为辅助函数 , 用此法构造辅助函数的具体步骤如下 :(1) 将要证的结论中的 (或 x0 )换 x;(2) 通过恒等变换 , 将结论化为易积分 ( 或易消除导数符号 ) 的形式 ;(3) 用观察法或凑微分法求出原函数 ( 必要时可在等式两端同乘以非

4、零的积分因子 ), 为简便起见 , 可将积分常数取为零 ;(4) 移项 , 将等式一边为零 , 则等式的另一边为所求的辅助函数 .例 2:设f x 在 a, b 上连续，在a, b 内可导，其中 a0, 且 f a 0,证明：a, b ,fbfab分析 :ffab x令xfxxfafxafxbx积分lnf xa ln b xln cbx afxc可令 F xbx a fx证明 : 作辅助函数Fxbx a fxF x 在 a, b 上连续，在 a, b 内可导，又F aba a f a0(f a0)-2精选文库F bbb a f b0故F x 在 a,b 上满足罗尔定理的条件于是，a,b ，使

5、F0即： a ba 1 fbf0亦即：bffa证毕2.3 设置变量法当结论中含两个中值, 时，我们常常联想到应用拉格朗日定理柯西定理的证明，这是可用设置变量法作辅助函数F x。即：将结论中的或 看作变量，作恒等变形后与中值定理的公式相对照，即可看出辅助函数的结构。例 3：设函数 f x , g x在 a,b 上连续，且 g bg a 1, 在 a,b内 f x , g x 可导 ,且g xgx0, fx0 .试证明 :,a, b ,feggfe分析 : 欲证等式ffegge将和均看作变量 ,则上式写成ffe ge辅助函数可取：( x)ex g(x)( x)ex证明： 令( x)exg( x),

6、 则由题设可知f ( x), g( x)在 a, b 上满足柯西中值定理，于是，(a, b), 使得f (b)f (a)f ( )eb g (b)ea g(a)e g( )g ( )因为 g (a) g(b) 1所以，f (b)f (a)f( )(1)ebeae g ( )g ( )-3精选文库再令 ( x)ex , 则 f ( x),( x)在a, b 上满足柯西中值定理， 于是，(a, b), 使得f (b)f (a)f( )ebea( 2)e由（ 1），（2）得f( )=f ( )g (ee g()f ( )e g( )g ( )f ( )ey2.4 几何直观法对于某些证明题可以先从结论

7、的几何意义进行分析， 作为符合已知定义、 定理的辅助曲线，再利用解析几何知识列出辅助曲线方程进而找出证明题所需要的辅助函数，打开证明思路。例 4 设函数 f (x) 在 0, ) 内可导， f ( x)严格递增， f (0) 0. 试证明：在 (0, )内 xf ( x) f (x) 0.分析：由 f (x)严格递增 知， f ( x) 是下凸函数 .由图 1 知：x1 0,)有 f ( x)( x)即：f (x)f ( x1 )f ( x1 )( xx1 )(1)即：切线总在曲线的下方（几何意义）.由图 2 知： 由k1和 k2 分别表示 l1和 l 2的斜率 .则 k2k 1.即：x1 x

8、20,f x1f x0f x2f x0,x0x2x0x1证明：方法一：有分析及（1）知取 x0, x1 x 时 f 0f xf x 0 x-4精选文库即：fxxfxf00xfxfx .方法二：由（ 2）知，令 x00 ，则 (2)式变为f ( x1 )f (0)f ( x2 )f (0)x1x20,x10x20f (x1)f ( x2 )(x1x2 )x1x2再次引进辅助函数，Fxfxx0,),x则 F ( x) 递增，F (x)0.即：xfxfx0xfxf x0x22.5 微分方程法所 谓 “ 微 分 方 程 法 ” 是 指 遇 到 诸 如 “ 求 证 存 在(a, b) ， 使 得f (

9、)， f ( ) ”之类的问题时，可先解微分方程G ( x, y)c，则可构造辅助函数 F (x) G( x, y).例 5设 f (x) 在 a, b上连续,在f ( x)0, x(a, b), 若 f (a) f (b)0,y (x, y) ，得其通解：(a, b)内可导,且证明：对 k R,(a, b), 使f ( x)k .f ( x)分析：将结论中的换成 x ，得可分离变量的微分方程：f (x)k ，f (x)即dyykdx.其通解为 f (x)cekx ，即： e kx f ( x)c于是可是辅助函数为F xfx e kx则 F (x)在 a, b上连续，再 (a, b)内可导，且

10、 F (a)F (b)0.-5精选文库由 Rolle 定理知，至少存在一点(a, b), 使得F () 0即：f ()f (k.)2.6 常数 k 值法此法适用于从结论中可分离出常数部分的命题，构造出辅助函数F ( x) 的具体步骤如下：（1） 从结论中分离出常数部分，将它令为k；（2） 做恒等变化，是等式（或不等式）一端为a 及 f(a)构成的代数式，另一端为 b 和 f(b) 构成的代数式；（3） 分析端点 a,b 的表达式是否为对称式或轮换式。若是将端点改为x，相应的函数值 f(a)(或 f(b) 改为 f(x) ，则关于 x,f(x) 的表达式即为索求的辅助函数 F(x).例 6： 设

11、 ba0,f ( x)在 a, b上连续，在 (a, b)内可导，证明：( a, b), 使得af (b)bf (a)2ab baf ( )f () .分析：分离 a,b 与 ，则待证式afbbfaffab b a2则上式的左端显然是关于a,b 的对称式 .令其为 k,得af (b)bf (a) kab(ba)af (b)kab2bf ( a)ka2 bf (b)kb2f (a)ka2ba于是，可令 F ( x)f (x)kx 2f (x)xkxx证明：作辅助函数F ( x)f ( x)kx（其中 kaf (b)bf (a) ）xab(ba)由题设条件可知 F (x)在 a, b上连续，在 (

12、a, b)内可导，并且f (b)f ( a)F (b)F (a)kbkaba-6精选文库f (b)f (a)(b a)kbaf (b)f (a)af (b)bf ( a) (b a)baab(ba)0可见,F ( x)在 a, b上满足罗尔中值定理条件，(a, b), 使得 F ( ) 0于是 ,af (b)bf ( a)f ( )f ()即ab(ba)2.亦即()bf() 2(b)f( )f( )af baaba2.7 弧弦差法利用弧弦差来构造辅助函数，称为弧弦差构造函数法。微分中值定理的相关证明就采用种方法 2 ，现以拉格朗日中值定理为例： (原定理叙述略 )题 7： f ( x)在 a,

13、 b上连续，在 (a, b)内可导，有向线段 NM 是 x 的函数，设直线AB 的方程为 y L( x).f (b) f (a) (则L( x) f (a)x)ab a由于点 M , N 的纵坐标分别为 f ( x), L (x).有向线段 MN 的重数( x)f ( x)L ( x)f (x)f (a)f (b)f (a) ( xa)ba在 xa及 x b处点 M 与点 N 重合，即 MN0, 也就是 (a)(b) 0则 (x)满足 Rolle 定理条件，故有(a, b),( )0,于是就有拉格朗日中值定理的结论f (b)f ( a),(a, b)f ( )ab-7精选文库参考文献：1 华东

14、师范大学数学系 .数学分析 M. 北京：高等教育出版社， 2001.2 杨根学 .待证结论构造辅助函数法 J. 天水师院学报， 2001 ，（ 5 ）： 55-563 裴礼文 .数学分析中的典型问题与方法 M. 高等教育出版社， 1986.4 王德利 .证题中引进辅助函数的几种方法J. 江汉大学学报，1995 ，（ 3 ）： 565 尹必华 .运用中值定理证题时构造辅助函数的三种方法J. 自然科学报 .2002 ：（ 6 ）29 31Several Methods for Constructing the AuxiliaryFunction and their ApplicationsXu Shenghu(Northwest Normal University, Gansu Lanzhou 730070 )Abstract:On thebasisof studyingand analyzingmathematical,somemethods about construction of auxiliary are proposed. By thepropertyof thefunction s graphand me