函数奇偶性与单调性的综合应用--专题.

1、函数奇偶性与单调性的综合应用 专题【寄语：亲爱的孩子， 将来的你一定会感谢现在拼命努力的自己！ 】教学目标： 1.掌握函数的单调性与奇偶性的概念以及基本性质； .2.能综合运用函数的单调性与奇偶性来分析函数的图像或性质；3.能够根据函数的一些特点来判断其单调性或奇偶性 .教学重难点： 函数单调性的证明；根据单调性或奇偶性分析函数的性质 .【复习旧识】1.函数单调性的概念是什么？如何证明一个函数的单调性？2.函数奇偶性的概念是什么？如何证明一个函数的奇偶性？3.奇函数在关于原点对称的区间上，其单调性有何特点？偶函数呢？【新课讲解】一、常考题型1.根据奇偶性与单调性，比较两个或多个函数值的大小；2

2、.当题目中出现“f (x1) f (x )2x1x20（或 0）”或“ xf (x) 0（或 0）”时，往往还是考察单调性；3.证明或判断某一函数的单调性；4.证明或判断某一函数的奇偶性；5.根据奇偶性与单调性，解某一函数不等式（有时是“ f (x) 0（或 0）”时 x的取值范围）；6.确定函数解析式或定义域中某一未知数（参数）的取值范围 .二、常用解题方法1.画简图（草图），利用数形结合；2.运用奇偶性进行自变量正负之间的转化；3.证明或判断函数的单调性时，有时需要分类讨论 .三、误区1.函数的奇偶性是函数的整体性质，与区间无关；2.判断函数奇偶性，应首先判断其定义域是否关于原点对称；3.

3、奇函数若在“ x 0”处有定义，必有“ f (0) 0”；4.函数单调性可以是整体性质也可以是局部性质，因题而异；5.运用单调性解不等式时，应注意自变量取值范围受函数自身定义域的限制 .四、函数单调性证明的步骤：（1） 根据题意在区间上设 ；（2） 比较大小 ；（3） 下结论 .函数奇偶性证明的步骤：（1）考察函数的定义域 ；（2）计算 的解析式，并考察其与 的解析式的关系；（3）下结论 .【典型例题】例 1 设 f (x) 是定义在 ( ， ) 上的偶函数，且它在 0 ，) 上单调递1 1增，若 a f ) ，b f ) ，c f ( 2) ，则 a，b ，c的大小关系(log (log2

4、33 2是( )A abc B bcaC cab D cba【考点】函数单调性；函数奇偶性，对数函数的性质 .【解析】 因为 log 3<log 2 2，2 20<log 2<log 31，3 3所以 log 2<log 3<2.3 2因为 f ( x) 在0 ，) 上单调递增，所以 f (log 2)< f (log 3)< f (2) ，3 2因为 f ( x) 是偶函数，所以1a f (log ) f ( log233) f (log 3) ，2 21b f (log ) f ( log322) f (l og 2) ，3 3c f ( 2) f

5、 (2) 所以 cab .【答案】 C例 2 （2014?成都一模）已知 f（x）是定义在 1，1上的奇函数，且 f （1）=1，若 m，n1，1，m+n0 时有 0（1）判断 f （x）在 1，1上的单调性，并证明你的结论；（2）解不等式： f（x+ ）f（ ）；（3）若 f（x）t22at+1 对所有 x1，1，a1，1恒成立，求实数 t 的取值范围【考点】 函数的奇偶性； 函数单调性的判断与证明； 函数的最值与恒成立问题【解析】 解：（ 1）任取 1x1x21，则f（x1） f（x2）=f（x1）+f（ x2）=1x1x21， x1+（ x2）0，由已知 0，又 x1x20，f（x1）f（x2）0，即 f（x）在1，1上为增函数；（2）f（x）在 1，1上为增函数，故有（3）由（ 1）可知： f（x）在 1，1上是增函数，且 f（1）=1，故对 xl，1，恒有 f（x） 1所以要使 f（x）t 22at+1，对所有 x1，1，a1，1恒成立，即要 t 22at+11成立，故 t22at 0成立即 g（a）=t22at 对 a1，1，g（a） 0恒成立，只需 g（a）在1，